Mesures de posició, Ejercicios de Estadística

¡Descarga Mesures de posició y más Ejercicios en PDF de Estadística solo en Docsity!

ESTADÍSTICA – 1 (ADE)

Curs 2016-

Tema 3. Mesures de posició

Tema 3. Mesures de posició Introducció (als temes 3 i 4)Mesures de posició central

MitjanaMedianaModa

Quantils

QuartilsDecilsPercentils Box-plot

(o diagrama de caixa)

Mesures de posició central Ens informen d’on es localitza el “centre” de la distribució de freqüències.N’hi ha tres: la mitjana, la mediana i la moda.

Català

Castellà

Anglès

Mitjana

Media

Mean

Mediana

Mediana

Median

Moda

Moda

Mode

La

mitjana

és el centre de gravetat de les dades; el valor que equilibraria

la gràfica (gràfic de barres o histograma).La

mediana

és l’observació central de la distribució (ordenades les

dades).La

moda

és el valor més freqüent.

Quan la distribució és simètrica, les dues primeres coincideixen.

La mitjana És, probablement, la mesura més important degut al gran ús que se’n fa, que es deu, a la vegada, a que la seva fórmula de càlcul faque sigui fàcilment manipulable amb operacions matemàtiques. És el quocient entre la suma de les dades (observacions) i el seu nombre (mida de la mostra). Si les dades es troben agrupades en intervals, es farà servir la marca de classe.

i

n

quan

x

n

x

i

k i

i^

i i

i

k i

i^

f x n x n x

Exemple mitjana: Trucades/dia (en centenars) rebudes a un servei d’atenció al client. Una setmana(laborable).

Dilluns

Dimarts

Dimecres

Dijous

Divendres

10

20

15

25

30

Calcula la mitjana.Comprova que la suma de les dades desviades respecte la mitjana és nul.la.

Exemple mitjana quan hi ha valors repetits X = Descompte (en %) aplicat al client en la venda.

Xi

ni

fi

100fi(%)

Ni

Fi

100Fi(%)

5

48

0,

60%

48

0,

60%

10

24

0,

30%

72

0,

90%

25

8

0,

10%

80

1,

100%

Sumes

80

1,

100%

---

---

---

La mitjana és

sensible a la presència d’observacions extremes: es

arrossegada cap a aquestes. En aquesta situació (presènciad’

outliers

) es pot calcular una mitjana retallada (

treamed mean

, en

anglès) eliminant un determinat percentatge d’observacions a cadacostat de la distribució; per exemple un 5%.Exemple:

Dades ordenades de menor a major

La mitjana (a partir de les 20 dades) és igual a 22,5. La mitjanaeliminant un 10% de les observacions (2) a cada extrem és 19,75.

10

25

33

22

18

15

0

12

100

20

30

27

1

11

29

24

3

13

29

28

0

1

3

10

11

12

13

15

18

20

22

24

25

27

28

29

29

30

33

100

Si es realitza una transformació lineal d’una variable, la mitjana de la variable transformada es pot obtenir a partir de l’original aplicant-hi la mateixa transformació.Sigui la variable X amb mitjana

x

Sigui la variable Y una transformació lineal de l’anterior

bX

a

Y

Aleshores

x b

a

y

Cas particular (1): Canvi d’origen

b

X

a

Y

Aleshores

x

a

y

Cas particular (2): Canvi d’escala

a

bX

Y

Aleshores

x b

y

Exemple (mitjana d’una transf.lin. general) El cost total diari de producció en una fàbrica és igual a

Q

CT

sent

Q

el nivell de producció. Aquest cost total

té, doncs, una part fixa i una altra variable. Si la producciódiària mitjana és de 500 unitats, quin és el cost total mitjà?

Si es subdivideixen les dades (la mostra) en submostres disjuntes,la mitjana global es pot calcular a partir de les mitjanes de cada submostra, ponderant-les pel nombre d’observacions. Exemple: Dades (var. num.) que corresponen a DONES i HOMES.





















La mediana Valor que ocupa la posició central de les dades un cop ordenades.Divideix la distribució en 2 parts amb el mateix nombre d’obs.Quan el nombre d’observacions és senar, hi ha un valor central:aquell que ocupa la posició

n

n

Exemple: La mediana és el valor 15 que ocupa la posició 3

2 / ) 1 5 ( 2 / ) 1 (

=

n

Quan el nombre de dades és parell, hi ha dos valors centrals,aquells que ocupen les posicions

n

i

n

. La mediana serà

igual a la mitjana d’aquests dos valors centrals.

La mediana és 15,5.

10

12

15

16

20

10

12

15

16

20

25

La mediana és una mesura de posició central robusta en el sentit que no és sensible a les observacions extremes, com la mitjana. L’inconvenient és que els valors de les observacions només estenen en compte en el moment d’ordenar les dades i això suposaque no aprofita tota la informació que contenen les dades. El canvi en el valor d’una obs. (la darrera) modificaconsiderablement la mitjana. La darrera observació (20) esconverteix en un

outlier

(en passar de valer 20 a valer 50) i

arrossega la mitjana cap amunt. El valor de la mediana, en canvi, noes veu afectat (segueix sent igual a 15).

Mitjana

10

12

15

16

20

14,

10

12

15

16

50

20,

Quan les dades es troben agrupades en classes, el primer pas és localitzar l’interval que conté la mediana: el primer amb una freqüència relativa acumulada igual o superior a 0,5 (o absoluta acumulada igual osuperior a 0,50n).Després, el valor de la mediana s’aproxima suposant que les dades esreparteixen de forma uniforme dins de l’interval. En concret s’aplica lafórmula següent:

i

i

i

i^

a

n

N

n

L

Me

1

1

−

−

O en termes relatius

i

i

i

i^

a

f

F

L

Me

1

1

−

−

Exemple (mediana dades agrupades en classes): Mediana?

xi

ni

Ni

0 a 10

1

1

10 a 20

6

7

20 a 25

8

15

25 a 30

12

27

30 a 35

14

41

35 a 45

9

50

Total

50