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CAPÍTULO 1. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS.
1.1 Introducción.
La mayoría de las estructuras actuales están diseñadas para soportar sólo deformaciones pequeñas linealmente. Este es el caso de las estructuras metálicas, en las que el material se comporta conforme a la ley de Hooke; usualmente también se supone que las estructuras de concreto se deforman linealmente.
Sin embargo, es posible que un miembro estructural recto fabricado con un material que satisfaga la ley de Hooke se deforme no linealmente cuando es sometido a una carga lateral y a una fuerza axial grande.
Es importante reconocer la diferencia fundamental entre las estructuras estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), en las que las fuerzas en estas últimas no se pueden obtener únicamente a partir de las ecuaciones de equilibrio estático: también se requiere conocer algunas de las condiciones geométricas bajo carga.
El análisis de estructuras estáticamente indeterminadas, generalmente requiere la solución de ecuaciones lineales simultáneas, cuyo número depende del método de análisis.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Figura 1-1. Ejemplos de estruc turas retic uladas. (a) Viga c ontinua. (b) y (c ) Amaduras planas. (d) y (e) Marc os planos. (f) Marc o tridimensional (g) Armadura tridimensional. (h) Retíc ula horizontal sometida a c argas vertic ales.
1.2 Equilibrio de un cuerpo.
En la figura 1-2a se representa un cuerpo sometido a fuerzas F 1 , F 2 ,…, Fn en el espacio. En este contexto, el término fuerza significa, ya sea la acción de una carga concentrada, o un par de fuerzas, (un momento); en este último caso, el momento es representado por una flecha de doble cabeza. Una fuerza típica Fi actuando en un punto con coordenadas ( xi, yi, zi ) se muestra en la figura 1-2b empleando el sistema de mano derecha de ejes ortogonales x, y, y z. Las componentes de Fi en la dirección de los ejes de la fuerza son:
Fix = Fi λ ix Fiy = Fi λ iy Fiz = Fi λ iz (1-1)
Donde Fi es la magnitud de la fuerza (valor absoluto); λ ix , λ iy y λ iz se
conocen como cosenos directores de la fuerza Fi, y son iguales al coseno de los ángulos α, β y γ entre la fuerza y las direcciones positivas de x, y, y z ,
respectivamente.
Las ecuaciones de equilibrio 1-3 y 1-4 se pueden emplear para determinar las componentes de las reacciones o las fuerzas internas siempre y cuando el número de incógnitas no exceda el número de ecuaciones. En el caso de armaduras con miembros articulados y fuerzas aplicadas únicamente en los nudos, los miembros están sometidos a fuerzas axiales exclusivamente; por lo tanto, para un nudo de la armadura, las ecuaciones que expresan equilibrio de momentos incluidas en las ecuaciones 1-3 y 1-4 se anulan pero se pueden aplicar a una parte de la armadura para determinar las fuerzas en los miembros.
Ejemplo 1-1. El elemento prismático en voladizo mostrado en la figura está sometido, en el plano de la sección transversal de su extremo libre, a las fuerzas F 1 = P,^ F 2 = 2Pb,^ como se muestra en la misma. Determine las componentes en O de la reacción resultante en el extremo empotrado; el punto O es el centro de la sección transversal.
b 3b
1.5b
1
F1 = P
F2= 2Pb y z
x
30°
Supóngase que las direcciones positivas de las componentes de la reacción son las mismas que las correspondientes a los ejes x, y, y z. Las coordenadas del punto de aplicación de F 1 son (3b, 0.5b, -0.75b). Los cosenos
directores de F 1 son λ 1 x , λ 1 y , λ 1 z ={ 0 , 0. 5 , 0. 866 }
Al aplicar las ecuaciones 1-1 y 1-2, se obtiene { F 1 x , F 1 y , F 1 z } = P { 0 , 0. 5 , 0. 866 }
×
− ×
× − × −
1
1
1 Pb Pb M
M
M
z
y
x
El momento aplicado F 2 sólo tiene una componente: M2y = -2Pb. Las ecuaciones de equilibrio 1-3 proporcionan las componentes de reacción en el punto O:
{ F Ox , FOy , FOz } = P { 0 , − 0. 5 , − 0. 866 }
{ M Ox , MOy , MOz } = Pb {− 0. 808 , 4. 598 , − 1. 5 }
Observe que las reacciones no varían si la flecha de doble cabeza, que representa el momento F 2 en la figura 1-3a, se desplaza a otra posición sin ningún cambio de dirección.
Ejemplo 1-2. Determine las componentes de la reacción para el marco plano que se muestra en la figura.
R 1 = -2P R 3 = -3.2P
4P
A
B
C D
E
F
P 2P
y
2b z x
b 2b 2b
b
Seleccione los ejes x, y, y z como se muestra y aplique la ecuación 1-4:
∑ Fx^ =^0 R 1 +^2 P =^0
∑ M^ z =^0 −^ R 1 b + R 2 (^5 b )− P (^5 b )−^4 P (^2 b )+^2 P ( b )=^0
∑ Fy^ =^0 −^ R 2 − R 3 + P +^4 P =^0
La primera de las tres ecuaciones anteriores proporciona el valor de R 1 , el cual, al sustituirse en la segunda ecuación, permite la determinación de R 2. Al sustituir R 2 en la tercera ecuación, se obtiene R 3. Las respuestas son: R 1 (^) =− 2 P ;
R (^) 2 = 1. 8 P ; R 3 (^) = 3. 2 P.
En este problema, podemos verificar que ∑ M z = 0 con el eje z en un punto
diferente, por ejemplo en el punto A. Nótese que con esto no se obtiene una cuarta ecuación que se podría usar para determinar una cuarta incógnita; ello se debe a que la cuarta ecuación se puede derivar a partir de las otras tres.
Tarea. Obtenga los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante para las vigas y marcos estáticamente determinados que se muestran en la figura del problema 1-4.
A B C^ D 0.4L 0.6L (^) 0.2L
qL (^) q por unidad 0.2qL de longitud
(a)
A
B C
D
90°
L
L
P P
(b)
(e)
A B
C
D E
F G 0.2L
L/5 L/2 L/2 L/
L/
3L/
qL/4 qL/
Carga total en BCD = qL
L (f)
L/ A
Carga total B sobre AB = qL
L L L
0.2L 0.6L 0.2L
0.5L 0.5L
A
B
C
D G F^ E
0.3qL Carga uniforme q/ unidad de longitud
(c )
4@ L = 4L
3L/
L
Carga total sobre FG = 2P A
B
D
F
G
P C E
P
P P P
(g)
0.15L^ L
(^1 ) 1
3 A
B
C
D
(d)
L L
L/
A B
C
x
y
Vista en planta de una viga en voladizo horizontal sometida a su peso propio q por unidad de longitud (h)
CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE
INDETERMINADAS.
2.1 Indeterminación estática.
La indeterminación de una estructura puede ser externa , interna o de ambos tipos. Se dice que una estructura es indeterminada externamente si el número de componentes de reacción excede el número de ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, una estructura tridimensional es, en general, externa y estáticamente indeterminada cuando el número de componentes de reacción es mayor de seis. En una estructura plana, el número correspondiente es de tres. Cada una de las vigas de las figuras 2-1 a y b tiene cuatro componentes de reacción. Como sólo hay tres ecuaciones de equilibrio estático, se tiene una fuerza desconocida en exceso a aquellas que se pueden encontrar por estática, por lo que las vigas son externas y estáticamente indeterminadas. Se define el grado de indeterminación como el número de fuerzas desconocidas que excede el de las ecuaciones de la estática. Por lo tanto, las vigas de las figuras 2-1 a y b son indeterminadas en primer grado.
Algunas estructuras se construyen de tal modo que el esfuerzo resultante en una sección determinada sea cero. Esto proporciona una ecuación adicional de equilibrio estático permite la determinación de una componente adicional de reacción. Por ejemplo, el marco de tres articulaciones de la figura 2-1c tiene cuatro componentes de reacción, pero el momento flexionante en la articulación central debe ser nulo. Esta condición, junto con las tres ecuaciones de equilibrio aplicadas a la estructura como cuerpo libre, es suficiente para determinar las cuatro componentes de reacción.
R 1
R 2 R 3 R 4
(a)
R 2
R 1
R 3
(b)
R 1
R 2 R 3 (c )
Figura 2-1. (a), (b) Estruc turas externa y estátic am ente indeterm inadas. (c ) Marc o de tres artic ulac iones estátic am ente determ inado.
R 4
R 2 R 4
Figura 2-3. Marc o que es estátic amente indeterminado tanto externa c omo internamente.
R 1
R 3
El marco tridimensional de la figura 2-4 tiene seis componentes de reacción en cada apoyo: tres componentes X, Y, y Z y tres momentos Mx, My y Mz. Para evitar congestionar la figura, las seis componentes se muestran sólo en uno de los cuatro apoyos. Los vectores de momentos se indican con flechas de doble cabeza. Por lo tanto, el número de componentes de reacción de la estructura es 24, mientras que el número de ecuaciones de equilibrio que se pueden escribir es seis. Entonces, el marco es externamente indeterminado en 18°.
x
z
y
Figura 2-4. Marc o tridimensional c on nudos rígidos.
Y
X
Z
M (^) y
M (^) z
M (^) x
2.2 Expresiones para el grado de indeterminación.
Una armadura plana con tres componentes de reacción, m miembros y j nudos articulados (incluyendo los apoyos, que también están articulados). Las fuerzas desconocidas son las tres componentes de reacción y la fuerza en cada miembro, en total, 3 + m. Por otra parte, se pueden escribir dos ecuaciones de equilibrio en cada nudo:
∑ Fx^ =^0 ∑ Fy^ =^0 (2-1)
Siendo la sumatoria para las componentes de todas las fuerzas externas e internas que coinciden en el nudo. De ahí que el número total de ecuaciones es 2 j.
Para la determinación estática, el número de ecuaciones de la estática es igual al número de incógnitas, es decir:
2 j = m + 3 (2-2)
Siempre que la estructura sea estable, se puede hacer cierto intercambio entre el número de miembros y el número de componentes de reacción r , de modo que para la determinación total se satisfaga la condición:
2 j = m + r (2-3)
Entonces, el grado de indeterminación es:
i = ( m + r )− 2 j (2-4)
Para la armadura que se ilustra en la figura 2-5, r = 4 , y. Por lo
tanto.
m = 18 j = 10 i = 2
R 1 R 2 R 4
Figura 2-5. Armadura plana estátic amente indeterm inada.
R 3
2.3 Métodos generales de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.
La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en una estructura estáticamente indeterminada y es necesario complementarlas con relaciones geométricas simples entre las deformaciones de la estructura. Con estas relaciones se asegura la compatibilidad de las deformaciones con la geometría de la estructura y se conocen como condiciones geométricas o condiciones de compatibilidad. Un ejemplo de dichas condiciones es que en un apoyo intermedio de una viga continua no puede haber deflexión la rotación es igual en ambos lados del apoyo.
Se pueden usar dos métodos generales de estudio. El primero es el método de las fuerzas de flexibilidad, en que se proporcionan suficientes liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada. La estructura liberada sufre deformaciones inconsistentes, y la inconsistencia geométrica se corrige posteriormente mediante la aplicación de fuerzas adicionales.
El segundo enfoque es el método de los desplazamientos o de rigidez. En este método se agregan restricciones para impedir el movimiento de los nudos y se determinan las fuerzas necesarias para producir la restricción. Después se permite que tengan lugar desplazamientos de los nudos hasta que hayan desaparecido las fuerzas ficticias de restricción. Conociendo los desplazamientos en el nodo, se determinan las fuerzas en la estructura por superposición de los efectos de los desplazamientos separados.
Se puede usar indistintamente el método de las fuerzas o el de los desplazamientos para analizar cualquier tipo de estructura. En el método de las fuerzas, se obtienen las fuerzas necesarias para restablecer la consistencia geométrica, el análisis generalmente comprende la solución de un número de ecuaciones simultáneas igual al número de fuerzas desconocidas, es decir, el número de liberaciones que se necesiten para convertir a la estructura en estáticamente determinada. Las incógnitas en el método de los desplazamientos son las posibles traslaciones y rotaciones de los nudos. La cantidad de fuerzas de restricción que se que se deben agregar a la estructura es igual al número de posibles desplazamientos de los nudos. Esto representa otro tipo de indeterminación, que se puede designar como indeterminación cinemática y se describe en la siguiente sección.
2.4 Indeterminación cinemática.
Cuando una estructura constituida por varios miembros se somete a cargas, los nudos sufren desplazamientos en forma de rotación y traslación. En el método de análisis por desplazamiento, las magnitudes desconocidas son la rotación y la traslación de los nudos.
En un apoyo se conocen una o más de las componentes del desplazamiento. Por ejemplo, la viga continua de la figura 2-6 está empotrada en C y tiene apoyos con rodillos en A y B. La fijación en C impide cualquier desplazamiento en ese extremo, mientras que los apoyos con rodillos en A y B evitan la traslación en dirección vertical pero permiten la rotación. Se debe mencionar que se supone que los apoyos con rodillos pueden resistir tanto fuerzas descendentes como ascendentes.
A B^ C D 1 D 2
Figura 2-6. Indeterminac ión c inemátic a de una viga c ontinua.
Si se supone que la rigidez axial de la viga es tan alta que se puede despreciar el cambio de longitud debido a fuerzas axiales, no habrá desplazamientos horizontales en A o en B. Por lo tanto, los únicos desplazamientos desconocidos en los nodos serán las rotaciones D 1 y D 2 en A y B, respectivamente (figura 2-6). Los desplazamientos D 1 y D 2 son independientes uno del otro, ya que a cualquiera de ellos se le puede asignar un valor arbitrario mediante la introducción de fuerzas apropiadas.
A un sistema de desplazamiento de nudos se le denomina independiente si cada desplazamiento se puede variar arbitraria e independiente de todos los demás. Al número de desplazamientos independientes de nudos de una estructura se le conoce como grado de indeterminación cinemática o número de grados de libertad. Este número es una suma de los grados de libertad en rotación y en traslación. Algunas veces, a esta última se le conoce como libertad de desplazamiento lateral.
El marco plano de la figura 2-7 es otro ejemplo de una estructura cinemática indeterminada. Si se desprecia la deformación axial, el grado de indeterminación cinemática es de dos, siendo los desplazamientos desconocidos de los nudos las rotaciones en A y en B.
B
D
P C
A
D D
D D
D (^) D
6 3 1 4 5
2
x
z
y
Figura 2-8. Indeterm inac ión c inem átic a de un marc o tridim ensional c on nudos rigidos.
Si se toman en cuenta las deformaciones axiales, las longitudes de las cuatro columnas permanecen inalteradas, por lo que se anula la componente D 3 de traslación en la dirección vertical, reduciendo así en cuatro los desplazamientos desconocidos. Además, como no cambian las longitudes de los miembros horizontales, las traslaciones horizontales en la dirección x de los nudos A y D son iguales; lo mismo ocurre en los nudos B y C. En la misma forma, las traslaciones en la dirección y de los nudos A y B son iguales; de nueva cuenta ocurre lo mismo para los nodos C y D. con todo esto se reducen en cuatro los desplazamientos desconocidos. Por lo tanto, el grado de indeterminación cinemática del marco de la figura 2-8, sin deformación axial, es 16.
2.5 Principio de superposición.
Se mencionó que cuando las deformaciones de una estructura son proporcionales a las cargas aplicadas, es válido el principio de superposición. Este principio establece que el desplazamiento debido a varias fuerzas que actúen simultáneamente es igual a la suma de los desplazamientos ocasionados por cada fuerza actuando separadamente.
En el análisis de estructuras, es conveniente usar una notación en que una fuerza Fj produce en un punto i un desplazamiento Dij. Por lo tanto, el primer subíndice de un desplazamiento describe la posición y dirección del desplazamiento, y el segundo subíndice, la posición y dirección de la fuerza que causa el desplazamiento. Cada subíndice se refiere a una coordenada que representa la ubicación y dirección de una fuerza o de un desplazamiento.
Este enfoque se ilustra en la figura 2-9a. Si la relación entre la fuerza aplicada y el desplazamiento resultante es lineal, se puede escribir:
D (^) i 1 = fi 1 F 1 (2-12)
Donde fi1 es el desplazamiento en la coordenada i debido a una fuerza unitaria en la ubicación y dirección de F 1 (coordenada 1).
Di i
A (^) i
F 1
(a)
Di i
A (^) i
F 2
(b)
Di i
A (^) i
F 1
(c )
Fn
Figura 2-9. Superposic ión de desplazamientos y de fuerzas.
Si se aplica una segunda fuerza F 2 que cause un desplazamiento Di2 en i (figura 2-9b):
D (^) i 2 = fi 2 F 2 (2-13)
en que fi2 es el desplazamiento en i debido a una fuerza unitaria en la coordenada 2.
Si varias fuerzas F 1 , F 2 ,…, Fn actúan simultáneamente (figura 2-9c), el desplazamiento total en i es:
Di = fi 1 F 1 + fi 2 F 2 +L+ finF n (2-14)
Supóngase que el símbolo Ai indica una acción general, la cual puede ser una reacción, un momento flexionante, un esfuerzo cortante o compresión en cualquier sección debido al efecto combinado de todas las fuerzas. Se puede escribir entonces una ecuación general de superposición de fuerzas:
Ai = Aui 1 F 1 + Aui 2 F 2 +L+ AuinF n (2-15)
Donde Aui1 es la magnitud de la acción Ai cuando se aplica una fuerza unitaria sola en la ordenada 1. De igual manera, Aui2,…, Auin, son los valores de la acción A.
La ecuación 2-15 puede escribirse en forma matricial:
Ai = [ Aui ] 1 × n { F } n (^) × 1 (2-16)
En las estructuras estáticamente indeterminadas, la superposición de fuerzas sólo es válida si se cumple la ley de Hooke, porque las fuerzas internas dependen de la deformación de los miembros.
2.6 Resumen.
La mayoría de las estructuras modernas son estáticamente indeterminadas, y con el método de flexibilidad es necesario establecer para una estructura dada el grado de indeterminación, que puede se externa, interna o de ambas. En casos simples, el grado de indeterminación se puede encontrar por simple inspección, aunque en estructuras más complejas o de claros múltiples con varias crujías, resulta preferible establecer el grado de indeterminación con la ayuda de expresiones que incluyan el número de nudos, miembros y componentes de reacción. Se cuenta con este tipo de expresiones para armaduras planas y tridimensionales (de nudos articulados) y para marcos (con nudos rígidos).
Existen dos métodos generales para el análisis de estructuras. Uno es el método de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones para convertir la estructura en estáticamente determinada; se calculan los desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los desplazamientos con la aplicación de fuerzas adicionales en la dirección de las liberaciones. De este modo se obtiene una serie de ecuaciones de compatibilidad; al resolverlas, se determinan las fuerzas desconocidas.
En el otro método –de los desplazamientos (o de las rigideces)-, se introducen restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan para impedir los desplazamientos de los nudos. Después se permite que se presenten los desplazamientos en la dirección de las restricciones hasta
que éstas hayan desaparecido; de aquí se obtiene un conjunto de ecuaciones de equilibrio: su solución proporciona los desplazamientos desconocidos. Luego se determinan las fuerzas internas de la estructura mediante superposición de los efectos de estos desplazamientos y de los de la carga aplicada con los desplazamientos restringidos.
El análisis de estructuras con el método de las fuerzas o el de los desplazamientos implica el uso del principio de superposición, que permite una simple suma de desplazamientos (o acciones) debidos a las cargas individuales (o desplazamientos).
Tarea.
1. ¿Cuál es grado de indeterminación estática de las estructuras que se muestran a continuación? Introduzca suficientes liberaciones para hacer cada estructura estáticamente determinada.
(a) (b)
A B^ C A B
C D
E (^) F
A
B
C
(c )
A B E C (^) D
A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
F
F (^) G H
I J
(d)
(e)
(f)
2. (a) Introduzca suficientes liberaciones para convertir el marco mostrado en estáticamente determinado. Indique las liberaciones mediante un sistema de coordenadas.
(b) Introduzca una articulación en la parte media de cada miembro y dibuje el diagrama de momento flexionante para el marco debido a dos fuerzas horizontales, cada una igual a P , aplicadas en E y en C. Muestre esquemáticamente la magnitud y dirección de las componentes de reacción en A.
