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M´etodo de Euler
El m´etodo de Euler consiste en encontrar iterativamente la soluci´on de una ecuaci´on diferencial de primer orden y valores iniciales conocidos para un rango de valores. Partiendo de un valor inicial x 0 y avanzando con un paso h, se pueden obtener los valores de la soluci´on de la siguiente manera:
Yk+1 = Yk + h · f (xk, Yk)
Donde Y es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y f es la ecuaci´on diferencial en funci´on de las variables independientes.
Ejemplo
Se quiere obtener el valor de la corriente en el siguiente circuito RL hasta un segundo con un paso de un cuarto de segundo:
−
v = sen(2πt)
R = 1Ω
L = 1Hy
Planteando la malla correspondiente se puede obtener la ecuaci´on del circuito de la figura:
v = R · i(t) + L · di(t) dt sen(t) = i(t) + i′(t) i′(t) = sen(2πt) − i(t) = f (t, i)
Reescribiendo la f´ormula de iteraci´on con nuestras variables del problema llegamos a:
Ik+1 = Ik + h · f (tk, Ik) En primer lugar, reconocemos nuestros datos iniciales como t 0 = 0 e I 0 = 0. Adem´as, la funci´on ser´a, en este caso, la derivada de la corriente. Respecto a tk, dado que hay un paso constante h, se puede observar que en general tk = t 0 +h·k; por lo tanto, se puede observar que tomar´a tres iteraciones llegar a t = 1 debido a que los valores de salida siempre est´an un paso adelantado. Seg´un nuestros ´ındices, la primer iteraci´on ser´a la n´umero 0:
k = 0
I 1 = I 0 + h · f (0; 0) = 0
k = 1
I 2 = I 1 + h · f (0, 25; 0) = 0, 25
k = 2
I 3 = I 2 + h · f (0, 5; 1) = 0, 1875
k = 3
I 4 = I 3 + h · f (0, 75; −1) = − 0 , 1093
La soluci´on de la ecuaci´on diferencial, te´oricamente, es:
i(t) =
1 + 4π^2
· (2πe−t^ + sen(2πt) − 2 π cos(2πt))
Comparando con los valores te´oricos:
t Valor te´orico Valor aproximado Error 0 0 0 0 0,25 0,1455 0 0, 0,5 0,2493 0,25 0, 0,75 0,0486 0,1875 0, 1 -0,0981 -0,1093 0,
Para mejorar la aproximaci´on, se puede aumentar el tama˜no de puntos (es decir, reducir el tama˜no del paso h). Por otro lado, se puede utilizar un m´etodo de mayor orden para obtener una mejor apro- ximaci´on usando la misma cantidad de puntos.
M´etodo de Heun
Este m´etodo consiste en una mejora del m´etodo de Euler para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y conocido el valor inicial. En este caso, lo que se realiza es un promedio entre el valor obtenido por Euler y otro obtenido a partir de la aproximaci´on del valor de la funci´on en el punto siguiente, tambi´en por Euler.
Yk+1 = Yk + h 2
[
f (xk, Yk) + f (xk+1, Yk˙+1)
]
Donde Y es soluci´on de la ecuaci´on diferencial, f es la ecuaci´on diferencial en funci´on de las va- riables independientes y la soluci´on de Yk˙+1 es una aproximaci´on de Euler.
Ejemplo
Recordando la ecuaci´on diferencial del ejercicio anterior:
i′(t) = sen(2πt) − i(t) = f (t, i) Obtenemos la f´ormula de iteraci´on seg´un el m´etodo de Heun:
Ik+1 = Ik + h 2
[
f (tk, Ik) + f (tk+1, Ik˙+1)
]
Nuevamente, los valores iniciales son t 0 = 0, I 0 = 0. En este caso, definiremos un valor Ik˙+1 que corresponde a la aproximaci´on de Euler en el paso siguiente. Realizando los c´alculos:
- 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 t
− 0. 1
0
1
2
3
i(
t)
Soluci ´on de la ecuaci ´on diferencial Heun Euler Soluci ´on
Figura 1: Gr´aficos de aproximaciones y valores te´oricos
Se puede observar que, si bien para ciertos puntos el comportamiento es mejor para Euler, para el m´etodo de Heun, los puntos se comportan mejor seg´un la forma de la soluci´on respecto a la soluci´on de Euler.
