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soluciones a ecuaciones diferenciales ordinarias con el método de euler
Tipo: Monografías, Ensayos
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En el presente trabajo abarcaremos todo el tema respecto a las ecuaciones diferenciales la Formulación del Problema con valor Inicial-Métodos de un solo paso, Método de Euler Y Método de Gauss-Jordán , sírvase a recorrer nuestro desarrollo.
Alvaro jesus Vargas Figueroa,
En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para determinar soluciones con cierto grado de exactitud. .
Agradecimiento La concepción de este trabajo está dedicada a mis padres, pilares fundamentales en mi vida. Sin ellos, jamás hubiese podido conseguir lo que hasta ahora. Su tenacidad y lucha insaciable han hecho de ellos el gran ejemplo a seguir y destacar, no solo para mí, sino para mis hermanos y familia en general., que, sin ellos, no hubiese podido ser. Así como a nuestro guía de estudios el Ingeniero Frank arpita salcedo por su ayuda en clases.
Marco teórico Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es: La variable independiente (v. i) es x La variable dependiente (v. d) es y Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es: La variable independiente (v. i) es "x" y "y" La variable dependiente (v. d) es V ECUACIONES DIFERENCIALES
Una ecuación diferencial ordinaria (es decir con una sola variable independiente) es una ecuación en donde los argumentos que intervienen son la variable independiente de una función incógnita desconocida y las sucesivas derivadas de dicha función, es decir: f (x, y, y ', y '',..., y(n) ) 0 donde el problema, a diferencia de una ecuación algebraica, consiste en averiguar quien es y(x) , es decir, aquí el arte consiste en hallar una función que satisfaga la condición anterior y no simplemente un valor numérico como en el caso de una ecuación algebraica. Existen distintas maneras de clasificar a las ecuaciones diferenciales: Una de ellas es la clasificación por el orden de la ecuación (que viene dado por la derivada de mayor orden que aparezca en la expresión) y otra por la linealidad. Ésta última es quizás una de las clasificaciones más importantes en el sentido de que permite caracterizar inmediatamente la facilidad con que se pueden hallar sus soluciones. En este sentido, se puede decir que las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden resolverse solo en algunos casos especiales (como lo es el caso de las ecuaciones diferenciales de Bernoulli, las exactas, las separables, las homogéneas, etc.) mientras que las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden siempre pueden resolverse de manera exacta. Pero la distinción es quizás mas relevante cuando se hablan de ecuaciones de orden dos o superior ya que en el caso de ecuaciones lineales existe la posibilidad de hallar una forma manejable de solución (ya sea exacta o en forma de serie de potencias), mientras que en las no lineales, hallar una solución suele ser todo un desafío. Esto no significa que una ecuación diferencial no lineal de orden superior no tenga solución sino más bien que no hay métodos generales para llegar a una solución explícita o implícita. Aunque esto parezca desalentador hay algunas cosas que se pueden hacer tales como analizar cuantitativamente la ecuación no lineal (a través de métodos numéricos) o cualitativamente (a través de diagramas de fases). Pero aun quedan otras cuestiones que diferencian a una ecuación lineal de una no lineal y es el hecho de que las segundas pueden tener soluciones singulares.
El cual se puede expresar en forma matricial como: La resolución general de este sistema no homogéneo se puede expresar como sigue: X= XP + XC 1.2) ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL El orden de una ecuación diferencial está dado por el orden mayor de su derivada. Ejemplo
El grado de una ecuación diferencial está dado por el exponente del mayor orden de su derivada. Ejemplos Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una función que cuando se remplaza en la ecuación diferencial da una igualdad, se llama una solución de la ecuación diferencial, por lo tanto, resolver una ecuación diferencial es encontrar una función desconocida que al ser sustituida en la ecuación diferencial se obtiene una igualdad.
especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Un problema de valor de frontera es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencia sujeta a condiciones sobre la función desconocida especificadas en dos o más valores de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de frontera. Ejemplo ilustrativo Una curva tiene la propiedad de que su pendiente en cualquier punto (x,y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuación de la curva si ésta pasa por el punto (2,5) Solución:
Sin embargo, los métodos de Euler son demasiado imprecisos para los sistemas continuos o para periodos de pronósticos largos. El método de Runge-Kutta usa más nodos de interpolación y evalúa su impacto en el valor de pronóstico de diferentes maneras, lo que mejora la precisión. En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo: Consiste en multiplicar los intervalos que va de a en subintervalos de ancho ; osea: de manera que se obtiene un conjunto discreto de puntos: del intervalo de interes. Para cualquiera de estos puntos se cumplen que: . La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como.
Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de en ese punto; por lo tanto: Grafica A. Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por y de pendiente. Esta recta aproxima en una vecinidad de. Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a. Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A: Se resuelve para :
Conclusiones Como pudimos observar ya conocemos la forma de resolver ecuaciones diferenciales con ayuda de los métodos ya mencionados. Para resolver ecuaciones diferenciales existen muchas formas, en este caso se utilizó los métodos de Euler nos sirven como herramientas en la solución de sistemas de ecuaciones para obtener soluciones con un cierto de nivel de exactitud con ayuda estos métodos numéricos.
https://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/LibroED.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item//metodo-de-euler.html
