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Ejercicios de Métodos de Interpolación
Tipo: Ejercicios
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Análisis Numérico
Santos Rodríguez Aris Sofía Ramírez Buron Luis Fernando Santiago García Jesús Mario
García Arechiga Benito
4.-semestre
En el subcampo matemático del análisis numérico, se denomina interpolación a obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto de puntos.
En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.
Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluamos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.
En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk,yk), obtener una función f que verifique
a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos.
Ejercicio 2: Ahora se desea hallar el valor aproximado de ln 3 mediante interpolación lineal, conocidos estos dos valores:
ln 2.5 = 0.916291 y ln 3.5 = 1.
Determinar también el error correspondiente y comparar con los resultados del ejemplo anterior.
Límite inferior: [xo = 2.5; yo = ln 2.5 = 0.916291] Incógnita: [x = 3; y = ln 3] Límite superior: [x 1 = 3.5; y 1 = ln 3.5 = 1.252763]
Error = │1.098612 − 1.084527 │= 0.
Error Porcentual:
(0.014/1.098612)×100% = 1.3%
Ejercicio 3: Calcular, mediante interpolación lineal, el calor específico del aire a presión constante cp y temperatura de 530 K, partiendo de la tabla de valores que se muestra a continuación.
Límite inferior: [xo = To = 500 K; yo = cpo = 1.029 kJ /kg∙K] Incógnita: [x = T = 530 K; y = cp] Límite superior: [x 1 = T 1 = 550 K; y 1 = cp1 = 1.040 kJ /kg∙K]
Interpolación Matricial
Ejercicio: Dados tres puntos en el plano, hallar el único polinomio de grado a lo más dos que pasa por ellos
x Y 1 1 2 3 3 2
Y = ax^2 + bx + c
1 = a1^2 + b1 + c
3 = a2^2 + b2 + c
2 = a3^2 + b3 + c
1 = a1 + b1 + c
3 = a4 + b2 + c
2 = a9 + b3 + c
Resolviendo la matriz:
y = - 1.5x^2 + 6.5x – 4
1 1 1 a 1 4 2 1 b = 3 9 3 1 c 2
