Aplicaciones Lineales: Definición, Propiedades y Matrices Asociadas, Apuntes de Métodos Matemáticos

¡Descarga Aplicaciones Lineales: Definición, Propiedades y Matrices Asociadas y más Apuntes en PDF de Métodos Matemáticos solo en Docsity!

TEMA 2: APLICACIONES

LINEALES

BLOQUE I: ÁLGEBRA LINEAL

ÍNDICE

2. 1 Definición y ejemplos.

1. 2. 2 Núcleo e imagen de una aplicación lineal.

2. 2. 3 Aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Isomorfismos.

3. 2. 4 Operaciones con aplicaciones lineales.

4. 2. 5 Aplicaciones lineales y matrices.

2 Métodos Matemáticos para la Economía I

4 Métodos Matemáticos para la Economía I

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de aplicaciones lineales:

1. La aplicación identidad: 𝐼: 𝑉 ⟶ 𝑉 tal que 𝐼 𝑢 = 𝑢 es lineal.
2. La aplicación cero (o trivial): 𝑂: 𝑉 ⟶ 𝑉′ tal que 𝑂 𝑢 = 0 es lineal.
3. La aplicación 𝑓: ℝ 2 ⟶ ℝ 2 tal que 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑦, 𝑥) es lineal.
4. La aplicación 𝑔: ℝ 2 ⟶ ℝ 2 tal que g 𝑥, 𝑦 = (𝑦, 𝑥 2 ) NO es lineal
5. La aplicación D: 𝒫(ℝ) ⟶ 𝒫(ℝ) tal que 𝐷 𝑝 𝑥 = 𝑝′(𝑥) es lineal.
6. La aplicación 𝑀: ℳ(𝕂) ⟶ ℳ(𝕂) tal que 𝑀 𝐴 = 𝐴 𝑡 2.1 Definición y ejemplos

5 Métodos Matemáticos para la Economía I 2.1 Definición y ejemplos

Propiedades

Algunas propiedades de las aplicaciones lineales son las siguientes: Sea 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ una aplicación lineal entre dos 𝕂 −espacios vectoriales se verifica:

1. 𝑓 𝟎 = 𝟎
2. 𝑓 −𝒗 = −𝑓(𝒗)
3. 𝑓 𝑎 1 𝒗𝟏 + 𝑎 2 𝒗𝟐 + ⋯ + 𝑎𝑛𝒗𝒏 = 𝑎 1 𝑓 𝒗𝟏 + 𝑎 2 𝑓 𝒗𝟐 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑓(𝒗𝒏) ∀ 𝑎 1 … 𝑎𝑛 ∈ 𝕂 ∀ 𝒗𝟏 … 𝒗𝒏 ∈ 𝑉 La primera propiedad establece una condición necesaria (que no suficiente) para que una aplicación sea lineal. Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo

Comprueba que la aplicación 𝑓: ℝ 2 ⟶ ℝ 2 tal que 𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑥 + 1 , 𝑦) NO es lineal.

2.2 Núcleo e imagen de una aplicación lineal 7 Métodos Matemáticos para la Economía I Calcular el núcleo de una aplicación lineal es fácil a partir de la definición (aunque más adelante veremos un método más efectivo). Para calcular de manera más sencilla la imagen, vamos a enumerar unos resultados previos: Lema: Dada una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′, si {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, … , 𝒗𝒏} es un sistema generador de 𝑉, entonces {𝑓(𝒗𝟏), 𝑓(𝒗𝟐), … , 𝑓(𝒗𝒏)} es un sistema generador de 𝑉’.

Ejemplo

Calcula el núcleo y la imagen de la aplicación 𝑓: ℝ 3 ⟶ ℝ 3 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑧, 𝑦, 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧).

2.3 Aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Isomorfismos 8 Métodos Matemáticos para la Economía I

Definición (Tipos de aplicaciones) : Una aplicación 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 entre dos conjuntos

cualesquiera 𝐴 y 𝐵 se dice:

• Inyectiva : Si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑦) o, lo que es lo mismo, si ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑠𝑖 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦.
• Sobreyectiva (o suprayectiva): Si ∀𝑏 ∈ 𝐵, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑎 = 𝑏.
• Biyectiva : Si es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente.

2.3 Aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Isomorfismos 10 Métodos Matemáticos para la Economía I

Definición (Tipos de aplicaciones lineales) : Una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ se

dice que es un:

• Monomorfismo (de espacios vectoriales) si es inyectiva.
• Epimorfismo (de espacios vectoriales) si es sobreyectiva.
• Isomorfismo (de espacios vectoriales) si es biyectiva. Existen varias caracterizaciones de las aplicaciones lineales. Veamos dos: una relativa al núcleo y la imagen de una aplicación lineal, y otra dada por el comportamiento frente a conjuntos de vectores linealmente independientes y sistemas generadores.

2.3 Aplicaciones lineales inyectivas y sobreyectivas. Isomorfismos 11 Métodos Matemáticos para la Economía I

Caracterización a partir del núcleo y la imagen: Dada una aplicación lineal

𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ se verifica:

1. 𝑓 es inyectiva ⇔ 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 0.
2. 𝑓 es sobreyectiva ⇔ 𝐼𝑚 𝑓 = 𝑉′.

Caracterización a partir conjuntos linealmente independientes y sistemas

generadores: Dada una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ se verifica:

1. 𝑓 es inyectiva ⇔ Para todo conjunto linealmente independiente {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, … , 𝒗𝒓}, el conjunto {𝑓(𝒗𝟏), 𝑓(𝒗𝟐), … , 𝑓(𝒗𝒓)} es linealmente independiente.
2. 𝑓 es sobreyectiva ⇔ Para cada sistema generador de 𝑉, {𝒗𝟏, 𝒗𝟐, … , 𝒗𝒔}, el conjunto {𝑓(𝒗𝟏), 𝑓(𝒗𝟐), … , 𝑓(𝒗𝒔)} es sistema generador de 𝑉’.

2.4 Operaciones con aplicaciones lineales 13 Métodos Matemáticos para la Economía I

Definición (Suma y producto por escalar de aplicaciones lineales) : Sean

𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ y g: 𝑉 ⟶ 𝑉′ homomorfismos de espacios vectoriales y 𝑘 ∈ 𝕂 se definen las aplicaciones lineales:

• Suma : 𝑓 + 𝑔: 𝑉 ⟶ 𝑉′ tal que 𝑓 + 𝑔 𝒗 = 𝑓 𝒗 + 𝑔(𝒗)
• Producto por escalar : k𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ tal que 𝑘𝑓 𝒗 = 𝑘𝑓 𝒗

Definición (Composición de aplicaciones lineales) : Sean las aplicaciones

lineales 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ y g: 𝑉′ ⟶ 𝑉′′ ,se define la composición como la aplicación lineal 𝑓 ∘ 𝑔: 𝑉 ⟶ 𝑉′′ tal que 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 )

Definición (Inversa de una aplicación lineal) : Sea 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ un isomorfismo de

espacios vectoriales, se define la inversa como la aplicación lineal 𝑓 − 1 : 𝑉′ ⟶ 𝑉. La aplicación inversa también es un isomorfismo de espacios vectoriales.

2.5 Aplicaciones lineales y matrices 14 Métodos Matemáticos para la Economía I ▪ Matriz asociada a una aplicación Definición (Matriz asociada a una aplicación lineal) Sea 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ un homomorfismo de espacios vectoriales y sean ℬ y ℬ′ las bases asociadas a 𝑉 y 𝑉’ respectivamente. Se define la matriz asociada a la aplicación lineal , y se denota por 𝐴 = ℳℬ,ℬ′ (𝑓), como la matriz cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base ℬ en la base ℬ′. Luego, para calcular la matriz asociada a una aplicación lineal basta con seguir los siguientes pasos:

1. Calculamos las imágenes de los vectores de la base ℬ
2. Calculamos las coordenadas de estas imagen en la base ℬ′
3. La matriz asociada a la aplicación lineal será aquella que tenga por columnas las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base ℬ en la base ℬ′

2.5 Aplicaciones lineales y matrices 16 Métodos Matemáticos para la Economía I ▪ Matriz asociada a una aplicación

Ejemplo

Calcula la matriz asociada a la aplicación lineal 𝑓: ℝ 2 ⟶ ℝ 3 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2 𝑥, 𝑥 − 3 𝑦, − 5 𝑦 respecto de las bases canónicas. Calcula la imagen del vector ( 2 , 3 )

Ejemplo

Calcula la matriz asociada a la aplicación lineal 𝑓: ℝ 3 ⟶ ℝ 2 definida por 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 − 𝑦, 3 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 respecto de las bases ℬ = { 1 , 1 , 0 ; 0 , − 1 , 1 ; ( 3 , 1 , 1 )} ∈ ℝ 3 y ℬ ′ = { 1 , 2 ; ( 0 , − 1 )} ∈ ℝ 2

2.5 Aplicaciones lineales y matrices 17 Métodos Matemáticos para la Economía I Sean 𝑉, 𝑉′ 𝕂-espacios vectoriales de dimensiones 𝑛 y 𝑚 respectivamente y sean ℬ y ℬ′ las bases asociadas a 𝑉 y 𝑉’ respectivamente. Sea la aplicación lineal 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ y A la matriz asociada a 𝑓 con 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟. ▪ Matriz asociada y núcleo e imagen Como vimos anteriormente, el núcleo de una aplicación lineal es el conjunto 𝐾𝑒𝑟 𝑓 = 𝑥 ∈ 𝑉 𝑓 𝑥 = 0 }. Por lo que, para calcularlo basta con resolver, por el método de Gauss, el sistema de ecuaciones resultante de la ecuación matricial 𝐴𝑋 = 0. Por este método, podemos obtener tanto una base del núcleo, y respectivamente su dimensión, como las ecuaciones cartesianas del mismo.

2.5 Aplicaciones lineales y matrices 19 Métodos Matemáticos para la Economía I Tal y como hemos formado la matriz A, sus columnas son un sistema generador de 𝐼𝑚(𝑓) por lo que basta extraer de allí, una base de 𝐼𝑚(𝑓) quedándonos solo con los vectores linealmente independientes. ▪ Matriz asociada y núcleo e imagen

Ejemplo

Consideremos la aplicación lineal 𝑓: ℝ 3 ⟶ ℝ 3 tal que 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 + 𝑧, 𝑦, 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧). Calcula su núcleo e imagen.

2.5 Aplicaciones lineales y matrices 20 Métodos Matemáticos para la Economía I ▪ Matriz asociada y núcleo e imagen

Corolario: Sea 𝑓: 𝑉 ⟶ 𝑉′ una aplicación lineal con dim 𝑉 = 𝑛 y dim 𝑉

′ = 𝑚 y sea 𝐴 la matriz de orden 𝑚𝑥𝑛 asociada a 𝑓 respecto de ciertas bases ℬ y ℬ ′

. Entonces: a) f es inyectiva ⇔ 𝑟𝑔 𝐴 = 𝑛 b) f es sobreyectiva ⇔ 𝑟𝑔 𝐴 = 𝑚 c) f es biyectiva ⇔ 𝐴 es cuadrada y regular (tiene inversa) El siguiente resultado nos ayudará a clasificar las aplicaciones lineales.