Diagonalización de matrices: Aplicaciones lineales y propiedades, Diapositivas de Álgebra

¡Descarga Diagonalización de matrices: Aplicaciones lineales y propiedades y más Diapositivas en PDF de Álgebra solo en Docsity!

Tema 4. Aplicacions lineals i diagonalitzaci´o.

Algebra i Geometria. EETAC

S.C. L´opez. Matem`atica Aplicada IV. UPC

´Index

Aplicacions lineals L’espai vectorial de les aplicacions lineals Matriu d’una aplicaci´o lineal Nucli i imatge d’una aplicaci´o lineal Canvis de base Aplicacions lineals i sistemes

Diagonalitzaci´o de matrius Valors i vectors propis Polinomi caracter´ıstic Multiplicitat algebraica i geom`etrica Teorema de diagonalitzaci´o Diagonalitzaci´o d’endomorfismes

Propietats

1. f (0E ) = 0F i f (−v ) = −f (v )
2. E 1 ´es un s.v. de E aleshores f (E 1 ) ´es un s.v. de F. De fet, si E 1 =< v 1 , v 2 ,... , vk > aleshores,

f (E 1 ) =< f (v 1 ), f (v 2 ),... , f (vk ) >.

⇒ f (E ) s’anomena imatge de f i s’escriu Imf.

3. F 1 ´es un s.v. de F aleshores f −^1 (F 1 ) ´es un s.v. de E , on f −^1 (F 1 ) = {u ∈ E : f (u) ∈ F 1 }. ⇒ f −^1 ({ (^0) F }) s’anomena nucli de f i s’escriu Nuc f.

L’espai vectorial de les aplicacions lineals

El conjunt de les aplicacions lineals de E en F (com K -ev) es denota amb LK (E , F ). Considerem f , g ∈ LK (E , F ) i λ ∈ K.

Suma f + g ´es l’aplicaci´o (lineal) definida per

(f + g )(u) = f (u) + g (u).

Producte per escalar λ · f ´es l’aplicaci´o (lineal) definida per

(λ · f )(u) = λf (u).

Aquestes dues operacions defineixen una estructura d’espai vectorial en LK (E , F ).

Matriu d’una aplicaci´o lineal

Sigui B 1 = {ui }ni=1 una base de E i B 2 = {vj }mj=1 una base de F. Les imatges de B 1 per f expressades en B 2 :

f (ui ) ∈ F : f (ui ) =

∑m j=1 a

j i vj^ →^ f^ (ui^ ) = (a

1 i ,^ a 2 i ,... ,^ a m i )B 2.

La matriu associada a f en les bases B 1 de E i B 2 de F ´es:

  

a^11... a^1 n .. .

am 1... amn

(la columna i-`essima s´on les co- ordenades de f (ui ) en la base de F .) Propietat 

 

a 11... a^1 n .. .

am 1... anm

α 1 .. . αn

β 1 .. . βm

on u ∈ E , u = (α 1 ,... , αn)B 1 f (u) = (β 1 ,... , βm)B 2.

Demostraci´o Com l’aplicaci´o f ´es lineal f (u) =

= f (

∑^ n

i=

αi ui ) =

∑^ n

i=

αi f (ui ) =

∑^ n

i=

αi (

∑^ m

j=

aij vj ) =

∑^ m

j=

∑^ n

i=

αi aij )vj.

Exemples

1. f : R 2 [x] → R 1 [x] definida per f (a 2 x^2 + a 1 x + a 0 ) = 2a 2 x + a 1 La matriu associada a f en les bases { 1 , x, x^2 } de R 2 [x] i { 1 , x} de R 1 [x] ´es: A =

2. f : R 2 [x] → R definida per f (p(x)) = p(0). La matriu associada a f en les bases { 1 , x, x^2 } de R 2 [x] i { 1 } de R ´es: A =

5. f : R^2 → R^3 definida per f (x, y ) = (x + y , x − 2 y , x − y ). La matriu associada a f en les bases {(1, 0), (0, 1)} de R 2 i {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de R 3 ´es:

A =

Observaci´o Si A ´es la matriu associada a f en les bases B 1 de E i B 2 de F i t´e inversa, aleshores, A−^1 ´es la matriu associada a f −^1 en les bases B 2 de F i B 1 de E.

Matriu de la suma/producte per escalar

Propietats Donats dos K -e.v. E i F , i dues bases, B 1 = {ui }ni=1 de E i B 2 = {vj }mj=1 de F. Considerem

f , g ∈ LK (E , F ), i A, B ∈ Mm×n.

Si A ´es la matriu associada a f i B la matriu associada a g en les bases B 1 de E i B 2 de F , aleshores

(i) A + B ´es la matriu associada a f + g , (ii) λA ´es la matriu associada a λf ,

en les bases B 1 de E i B 2 de F.

Nucli i imatge d’una aplicaci´o lineal

Donada f ∈ LK (E , F ):

Nuc f = {u ∈ E : f (u) = 0} i Im f = {f (u) : u ∈ E }.

Proposici´o f ∈ LK (E , F ) i E un e.v. de dimensi´o finita, aleshores

dim E = dim Nuc f + dim Im f.

Demostraci´o Considerem una base {v 1 ,... , vk } del Nuc f (si aquest ´es diferent de 0) i l’ampliem a una base {v 1 ,... , vk , vk+1,... , vn} de E.

Aleshores, {f (vk+1),... , f (vn)} ´es una base de Im f. (Cal demostrar que s´on s.generadors i l.independents).

Proposici´o f ∈ LK (E , F ) f ´es injectiva si i nom´es si Nuc f = 0.

Notaci´o La dimensi´o de Im f s’anomena rang de f (rg f ). Una aplicaci´o lineal:

• (^) injectiva s’anomena monomorfisme.
• exhaustiva s’anomena epimorfisme.
• (^) bijectiva s’anomena isomorfisme.
• d’un espai en si mateix s’anomena endomorfisme.

Un automorfisme ´es un endomorfisme bijectiu.

Proposici´o f ∈ LK (E , F ), {ui }ni=1 una base de E. Aleshores,

• Si f ´es monomorfisme {f (ui )}ni=1 s´on l. independents.
• (^) Si f ´es epimorfisme {f (ui )}ni=1 s´on un s. de generadors de F.
• Si f ´es isomorfisme {f (ui )}ni=1 ´es una base de F.

Corol·lari Si existeix un isomorfisme entre E i F (escriurem E ' F ), aleshores, dim E = dim F. En cas de dimensi´o finita, si dim E = dim F < +∞, aleshores E ' F.

Canvis de base i aplicacions lineals

Fixades B 1 base de E i B 2 una base de F , a tota f ∈ LK (E , F ) li correspon una matriu associada A. Si canviem les bases (una o les dues) obtindrem una nova matriu associada B.

Objectiu: Veure que les matrius A i B estan relacionades a trav´es de les matrius de canvi de base dins de cada e.v.

Considerem el diagrama seg¨uent:

E −→IdE E −→f F −→IdF F

la composici´o d’aquestes aplicacions:

IdF ◦ f ◦ IdE = f

ja que: (IdF ◦ f ◦ IdE )(u) = IdF (f (IdE (u))) = IdF (f (u)) = f (u).

Donades B 1 , B 1 ′ bases de E i B 2 , B 2 ′ bases de F , considerem:

• P la matriu associada a IdE en les bases B 1 ′ de sortida i B 1 d’arribada. ´Es a dir, la matriu que t´e per columnes els vectors de la base de B 1 ′ expressats en la base B 1. Observem que aquesta ´es la matriu de canvi de base de B 1 ′ a B 1 en l’espai E.
• (^) A la matriu associada a f en les bases B 1 de sortida i B 2 d’arribada. Es a dir, la matriu que t´´ e per columnes les imatges dels vectors de la base de B 1 expressats en la base B 2.
• Q la matriu associada a IdF en les bases B 2 ′ de sortida i B 2 d’arribada. ´Es a dir, la matriu que t´e per columnes els vectors de la base de B 2 ′ expressats en la base B 2. Observem que aquesta ´es la matriu de canvi de base de B 2 ′ a B 2 en l’espai F.

Aleshores, la matriu associada a f en les bases B′ 1 de E i B 2 ′ de F ´es: Q−^1 AP.

ja que, EB 1 ′ IdE −→ EB 1 f −→ FB 2 IdF −→ FB′ 2 ⇔ IdF ◦ f ◦ IdE = f.

La matriu associada a f : R^3 → R^2 definida per f (x, y , z) = (x + 2y − z, x + y ), en les bases Bc = {(1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)} de R 3 i Bc = {(1, 0), (0, 1)} de

R 2 ´es: A =

Introdu¨ım les bases B 1 ′ = {u 1 = (1, 1 , 0), u 2 = (1, 0 , 1), u 3 = (0, 1 , 1)} de R 3 i B 2 ′ = {v 1 = (1, 1), v 2 = (1, −1) de R 2. Per trobar la matriu associada en les bases B 1 ′ de R 3 i B 2 ′ de R 2 , podem optar per dues opcions: Opci´o A

Trobem

f (u 1 ) = (3, 2) = 52 (1, 1) + 12 (1, −1) = 52 v 1 + 12 v 2 f (u 2 ) = (0, 1) = 12 (1, 1) − 12 (1, −1) = 12 v 1 − 12 v 2 f (u 3 ) = (1, 1) = (1, 1) = v 1 + 0v 2

Aleshores, la matriu ´es: B =

2

1 1 2 1 2 −^

1 2 0

Opci´o B Trobem la matriu P de canvi de base en R 3 de B 1 ′ a Bc i la matriu Q de canvi de base en R 2 de B 2 ′ a Bc.

P =

, Q =

Aleshores, la matriu associada a f en les bases B′ 1 de R 3 i B 2 ′ de R 2 ´es:

Q−^1 AP = Q−^1

2

1 1 2 1 2 −^

1 2 0