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M´etodos Matem´aticos I

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Gabriel Alvarez´

29 de octubre de 2010

ii

• 1. INTRODUCCI ´ON
  • 1.1. Ecuaciones diferenciales
  • 1.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales
  • 1.3. Reducci´on a sistemas de ecuaciones de primer orden
  • 1.4. Ecuaciones y sistemas aut´onomos
  • 1.5. Ecuaciones y sistemas lineales
  • 1.6. Soluciones
• 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN
  • 2.1. Campos de direcciones
  • 2.2. Existencia, unicidad y prolongaci´on de soluciones
    • 2.2.1. Teorema de existencia y unicidad locales
    • 2.2.2. Prolongaci´on y existencia de soluciones maximales
  • 2.3. Teorema fundamental del c´alculo
  • 2.4. Ecuaciones con variables separables
    • 2.4.1. M´etodo de separaci´on de variables
    • 2.4.2. Ejemplo
    • 2.4.3. Ejemplo
  • 2.5. Ecuaciones aut´onomas
    • 2.5.1. Propiedades elementales de las soluciones
    • 2.5.2. Ejemplo
    • 2.5.3. Estabilidad
  • 2.6. Ecuaci´on lineal
    • 2.6.1. Ecuaci´on lineal homog´enea
    • 2.6.2. M´etodo de variaci´on de constantes
    • 2.6.3. F´ormula de Leibniz
  • 2.7. Formas diferenciales
  • 2.8. Ecuaciones exactas
  • 2.9. Factores integrantes
    • 2.9.1. Factores integrantes locales
• 3. ECUACIONES LINEALES
  • 3.1. Ecuaciones lineales de segundo orden
    • 3.1.1. Operadores diferenciales lineales
    • 3.1.2. Dependencia lineal de funciones
    • 3.1.3. Soluciones de la ecuaci´on homog´enea
    • 3.1.4. Teorema de separaci´on de Sturm
    • 3.1.5. Forma autoadjunta
    • 3.1.6. Teorema de comparaci´on de Sturm 2 ´INDICE GENERAL
    • 3.1.7. Ecuaci´on de Riccati
    • 3.1.8. Reducci´on del orden de la ecuaci´on
    • 3.1.9. Soluciones de la ecuaci´on no homog´enea
    • 3.1.10. F´ormula de variaci´on de constantes
  • 3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes
    • 3.2.1. Soluciones de la ecuaci´on homog´enea
    • 3.2.2. Estabilidad de las soluciones de la ecuaci´on homog´enea real
    • 3.2.3. M´etodo de coeficientes indeterminados
  • 3.3. Osciladores
    • 3.3.1. Oscilador mec´anico
    • 3.3.2. Oscilador el´ectrico
    • 3.3.3. Oscilador arm´onico simple: amplitud y fase
    • 3.3.4. Oscilador amortiguado
    • 3.3.5. Oscilador amortiguado con fuerza externa arm´onica
    • 3.3.6. Oscilador no amortiguado con fuerza externa peri´odica
  • 3.4. Ecuaciones lineales de orden superior
• 4. SISTEMAS LINEALES
  • 4.1. Notaci´on matricial
  • 4.2. Sistemas lineales
  • 4.3. Sistemas homog´eneos
    • 4.3.1. Matrices fundamentales
    • 4.3.2. Ejemplo
  • 4.4. Sistemas no homog´eneos
  • 4.5. F´ormula de variaci´on de constantes
    • 4.5.1. Ejemplo
  • 4.6. Sistemas lineales con coeficientes constantes
    • 4.6.1. Exponencial de una matriz
    • 4.6.2. Soluci´on general
    • 4.6.3. Cambio de variables

Cap´ıtulo 1

INTRODUCCI ´ON

1.1. Ecuaciones diferenciales

Definici´on 1.1 Se llama ecuaci´on diferencial de primer orden expl´ıcita a una ecuaci´on de la forma

dx dt

= f (t, x)

o abreviadamente x′^ = f (t, x), donde x es funci´on de la variable t y f est´a definida en una regi´on D del plano (t, x).

El t´ermino “expl´ıcita” indica que la derivada x′^ est´a dada como funci´on expl´ıcita de (t, x) en la regi´on D. La forma general de una ecuaci´on diferencial de primer orden es F (t, x, x′) = 0, que no necesariamente determina x′^ como funci´on un´ıvoca de (t, x).

Definici´on 1.2 Se llama ecuaci´on diferencial de orden n expl´ıcita a una ecuaci´on de la forma

dnx dtn^

= f (t, x,

dx dt

dn−^1 x dtn−^1

o abreviadamente x(n)^ = f (t, x, x′,... , x(n−1)), donde x es funci´on de la variable t y f est´a definida en una regi´on D del espacio (t, x 0 , x 1 ,... , xn− 1 ).

De nuevo el t´ermino “expl´ıcita” indica que el segundo miembro determina la derivada de orden m´as alto (el orden de la ecuaci´on) como funci´on expl´ıcita de la variable t, de la propia funci´on x y de sus derivadas x(k)^ hasta el orden n − 1.

Ejemplo 1.1 Las ecuaciones diferenciales de primer orden

dx dt

= t − 2 x y

dx dt

= x^2

son expl´ıcitas. Las ecuaciones de primer orden

( dx dt

• 1 = 0 y

dx dt

• x^2 = 0

no son expl´ıcitas.

1.4. ECUACIONES Y SISTEMAS AUT ONOMOS´ 5

1.4. Ecuaciones y sistemas aut´onomos

Definici´on 1.5 Una ecuaci´on diferencial se denomina aut´onoma si la funci´on f no depende de t, es decir, si la ecuaci´on es de la forma

x(n)^ = f (x, x′,... , x(n−1)).

Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se denomina aut´onomo si las funciones f 1 ,... ,fn no dependen de t, es decir, si el sistema es de la forma

x′ 1 = f 1 (x 1 ,... , xn) .. . x′ n = fn(x 1 ,... , xn).

1.5. Ecuaciones y sistemas lineales

Definici´on 1.6 Una ecuaci´on diferencial de orden n se denomina lineal si es de la forma

x(n)^ + a 1 (t)x(n−1)^ + · · · + an(t)x = b(t).

Si adem´as b(t) ≡ 0 , la ecuaci´on se denomina homog´enea.

Ejemplo 1.4 La ecuaci´on dx dt

= x.

es lineal homog´enea. La ecuaci´on dx dt

= t^2.

es lineal no homog´enea. La ecuaci´on dx dt

= x^2

no es lineal.

Definici´on 1.7 Un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden se denomina lineal si es de la forma

x′ 1 = a 11 (t)x 1 + · · · + a 1 n(t)xn + b 1 (t) .. . x′ n = an 1 (t)x 1 + · · · + ann(t)xn + bn(t).

Si adem´as b 1 (t) = · · · = bn(t) ≡ 0 , el sistema se denomina homog´eneo.

Los usos del t´ermino lineal para ecuaciones y para sistemas son compatibles, ya que el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden asociado a una ecuaci´on diferencial lineal (homog´enea) mediante el m´etodo de la secci´on 1.3 es un sistema lineal (homog´eneo).

6 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´

1.6. Soluciones

Definici´on 1.8 Una soluci´on de la ecuaci´on diferencial

x′^ = f (t, x)

es una funci´on u definida en un intervalo I de la recta real tal que

u′(t) = f (t, u(t))

para todo t del intervalo I.

Ejemplo 1.5 La funci´on

u 1 (t) =

1 − t

, t < 1

es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial x′^ = x^2 ,

mientras que la funci´on

u 2 (t) =

1 − t

, t > 1

es otra soluci´on distinta de la misma ecuaci´on diferencial. Sin embargo la funci´on

v(t) =

1 − t

, t 6 = 1

no es una soluci´on (a pesar de que satisface la ecuaci´on diferencial) ya que su dominio de definici´on no es un intervalo.

Definici´on 1.9 Una soluci´on de la ecuaci´on diferencial

x(n)^ = f (t, x, x′,... , x(n−1))

es una funci´on u definida en un intervalo I de la recta real tal que

u(n)(t) = f (t, u(t), u′(t),... , u(n−1)(t))

para todo t del intervalo I.

Definici´on 1.10 Una soluci´on del sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

x′ 1 = f 1 (t, x 1 ,... , xn) .. . x′ n = fn(t, x 1 ,... , xn)

es un conjunto de funciones u 1 ,... , un definidas en el mismo intervalo I de la recta real y tales que

u′ 1 (t) = f 1 (t, u 1 (t),... , un(t)) .. . u′ n(t) = fn(t, u 1 (t),... , un(t))

para todo t del intervalo I.

8 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

-2 -1 0 1 2

0

1

2

-2 -1 0 1 2

0

1

2

Figura 2.1: Campo de direcciones y seis soluciones de la ecuaci´on diferencial x′^ = t − 2 x.

2.2. Existencia, unicidad y prolongaci´on de soluciones

En general es preciso restringir el intervalo I en el que est´a definida una soluci´on u, como ilustra el ejemplo 1.5 con la ecuaci´on diferencial

x′^ = x^2.

La soluci´on que cumple u(0) = 1 es

u(t) =

1 − t

, t < 1

que deja de estar definida en t = 1 aunque la funci´on f (t, x) = x^2 es continua en todo el plano (t, x). Y en general tampoco basta con la continuidad de f para que la soluci´on del problema de valores iniciales sea ´unica.

Ejemplo 2.3 Las dos funciones definidas en toda la recta real

u 1 (t) ≡ 0 , u 2 (t) = t^3

son ambas soluciones del problema de valores iniciales

x′^ = 3x^2 /^3 , u(0) = 0.

2.2.1. Teorema de existencia y unicidad locales

Teorema 2.1 Si f y ∂f /∂x son continuas en la regi´on D del plano (t, x), entonces para cada punto (t 0 , x 0 ) de D existe una soluci´on u de la ecuaci´on diferencial dx/dt = f (t, x) definida en un cierto intervalo I que contiene a t 0 y que cumple u(t 0 ) = x 0. La soluci´on u es adem´as ´unica, en el sentido de que no existe ninguna otra soluci´on definida en el mismo intervalo y que verifique la misma condici´on inicial (el intervalo I en general depende del punto (t 0 , x 0 )).

2.2. EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGACI ON DE SOLUCIONES´ 9

2.2.2. Prolongaci´on y existencia de soluciones maximales

Definici´on 2.2 Sean u y v soluciones de la ecuaci´on diferencial x′^ = f (t, x) definidas en los in- tervalos Iu e Iv respectivamente. Se dice que v es una prolongaci´on de u si Iu est´a estrictamente contenido en Iv y u(t) = v(t) para todo t en Iu.

Definici´on 2.3 Una soluci´on u de la ecuaci´on diferencial x′^ = f (t, x) se denomina maximal cuando no admite prolongaci´on.

Ejemplo 2.4 Soluciones no maximales se suelen presentar en la pr´actica al resolver ecuaciones diferenciales mediante desarrollo en serie de Taylor. Por ejemplo, si se busca la soluci´on del problema de valores iniciales dx dt

= x^2 , u(0) = 1

escribiendo

u(t) =

∑^ ∞

n=

u(n)(0) n!

tn,

al derivar reiteradamente la ecuaci´on se obtiene u(n)(0) = n!, es decir,

u(t) =

∑^ ∞

n=

tn, − 1 < t < 1.

La soluci´on maximal correspondiente es v(t) = 1/(1 − t), t < 1 que coincide con la suma de la serie de Taylor u(t) en el intervalo − 1 < t < 1 en el que esta serie converge.

Teorema 2.2 Si f y ∂f /∂x son continuas en una regi´on D del plano (t, x), entonces para todo (t 0 , x 0 ) en la regi´on D existe una ´unica soluci´on maximal u que verifica u(t 0 ) = x 0. El intervalo I en el que est´a definida esta soluci´on maximal es abierto.

Teorema 2.3 Si f y ∂f /∂x son continuas en todo el plano y el intervalo de definici´on I de una soluci´on maximal u tiene un extremo α, entonces |u(t)| → ∞ cuando t → α.

Ejemplo 2.5 La ecuaci´on diferencial dx dt

= x − x^3

tiene las soluciones constantes u 1 (t) ≡ 1, u 2 (t) ≡ 0 y u 3 (t) ≡ −1. Los dos teoremas anteriores implican que cualquier soluci´on maximal u que cumpla − 1 ≤ u(t 0 ) ≤ 1 para alg´un t 0 est´a definida para todo t real.

En adelante y salvo que se indique expl´ıcitamente lo contrario, el t´ermino “soluci´on” signifi- car´a “soluci´on maximal”.

2.4. ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES 11

2.4. Ecuaciones con variables separables

Definici´on 2.4 La ecuaci´on de primer orden x′^ = f (t, x) se denomina de variables separables si la funci´on f es producto de una funci´on de t y una funci´on de x, es decir, si la ecuaci´on es de la forma

dx dt

= g(t)h(x).

Como hemos visto en la secci´on anterior, el caso h(x) ≡ 1 se resuelve mediante el teorema fundamental del c´alculo. Las ecuaciones de primer orden aut´onomas, que corresponden a g(t) ≡ 1, tambi´en son de variables separables. Esquem´aticamente, el m´etodo de separaci´on de variables consiste en “dividir” la ecuaci´on dife- rencial por h(x) e integrar:

dx dt

= g(t)h(x),

dx h(x)

= g(t)dt,

dx h(x)

g(t) dt + c

donde c es una constante arbitraria. Denotando por H y G primitivas de 1/h y g respectivamente, la ecuaci´on anterior se escribe H(x) = G(t) + c

y cabe esperar que mediante restricciones adecuadas esta ecuaci´on determine x en funci´on de t. La demostraci´on de que la separaci´on de variables conduce a soluciones de la ecuaci´on de partida se puede hacer aplicando la regla de la cadena a la ecuaci´on anterior:

H′(x)x′(t) = G′(t),

h(x)

x′(t) = g(t), x′(t) = g(t)h(x)

y las restricciones mencionadas en el p´arrafo anterior se deben a posibles ceros de la funci´on h(x), que dan lugar a soluciones constantes.

2.4.1. M´etodo de separaci´on de variables

1. Resolver la ecuaci´on h(x) = 0 para obtener las soluciones constantes.
2. Restringir x a un intervalo en el que h(x) no se anule, separar variables e integrar.
3. Restringir la constante de integraci´on c de modo que la ecuaci´on H(x) = G(t) + c tenga al menos una soluci´on (t, x).
4. Separar en intervalos los valores de t obtenidos en el paso anterior.

Se puede demostrar que si la ecuaci´on tiene la propiedad de unicidad (para lo cual es suficiente que g sea continua y h tenga derivada continua) este m´etodo da todas las soluciones (maximales) de la ecuaci´on.

12 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

-2 -1 0 1 2 3

0

1

2

3

Figura 2.3: Soluciones de la ecuaci´on x′^ = x.

2.4.2. Ejemplo

La ecuaci´on dx dt

= x

tiene la soluci´on constante u(t) ≡ 0. Si x 6 = 0, mediante separaci´on de variables se obtiene

∫ dx x

= t + c, ln |x| = t + c, |x| = et+c^ = ket

con k = ec^ > 0, o lo que es equivalente x = cet

con c arbitraria (c = 0 da la soluci´on constante). La soluci´on del problema de valores iniciales es

u(t) = x 0 et−t^0.

Estas soluciones est´an definidas para todo t real y cubren el plano (t, x).

14 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

2.5. Ecuaciones aut´onomas

En el caso de una ecuaci´on aut´onoma de primer orden

dx dt

= f (x)

se puede obtener una descripci´on cualitativa completa de las soluciones aunque no se puedan calcular sus f´ormulas en t´erminos de funciones elementales. En adelante supondremos que f ′^ es continua para todo x, de modo que la ecuaci´on tenga una ´unica soluci´on para cada condici´on inicial u(t 0 ) = x 0.

2.5.1. Propiedades elementales de las soluciones

Geom´etricamente, el campo de direcciones que define la ecuaci´on es invariante bajo traslaciones a lo largo del eje t, lo que tiene las siguientes consecuencias inmediatas:

Si una curva soluci´on se traslada paralelamente al eje t se obtiene otra curva soluci´on. Es decir, si u es una soluci´on y c un n´umero real cualquiera, la funci´on v definida por v(t) = u(t + c) es una soluci´on: v′(t) = u′(t + c) = f (u(t + c)) = f (v(t)).

Si para alg´un t 0 se tiene u′(t 0 ) = 0, entonces se cumple f (u(t 0 )) = 0, y como consecuencia de la unicidad u es la soluci´on constante u(t) ≡ u(t 0 ).

Salvo las soluciones constantes, ninguna soluci´on puede tener m´aximos o m´ınimos relativos. Es decir, toda soluci´on o es constante, o es estrictamente creciente o es estrictamente decreciente.

Si una soluci´on permanece acotada debe tender asint´oticamente a una soluci´on constante. En efecto, si |u(t)| ≤ K para todo t ≥ t 0 y u no es constante, es estrictamente mon´otona. Pero toda funci´on mon´otona y acotada tiende a un l´ımite, luego existe

l´ım t→∞ u(t) = a.

Adem´as, como la funci´on f es continua,

l´ım t→∞ f (u(t)) = f (a) = l´ım t→∞ u′(t).

Si fuera f (a) > 0, entonces para t ≥ T suficientemente grande se tendr´ıa

u′(t) >

f (a) 2 e integrando entre T y t u(t) > u(T ) +

f (a) 2

(t − T ) t > T

en contra de la hip´otesis de que u(t) est´a acotada. An´alogamente se demuestra que no es posible f (a) < 0, con lo que se concluye que f (a) = 0 y por tanto v(t) ≡ a es una soluci´on constante. Un razonamiento an´alogo es v´alido cuando t → −∞.

Como consecuencia de estas propiedades, si la ecuaci´on diferencial no tiene soluciones constantes toda soluci´on toma todos los valores reales, ya que las soluciones son mon´otonas y de estar acotadas tender´ıan a soluciones constantes.

2.5. ECUACIONES AUT ONOMAS´ 15

2 1 0 -1 - x - x^3

0

1

2

3

x

-3 -2 -1^0 1 2 t

0

1

2

3

x

-3 -2 -1 0 1 2 3 t

0

1

2

3

x

Figura 2.5: Gr´afica de la funci´on f (x) = x − x^3 y soluciones de la ecuaci´on aut´onoma x′^ = x − x^3.

2.5.2. Ejemplo

Como ilustraci´on de estos resultados, en la figura 2.5 aparecen las soluciones de la ecuaci´on aut´onoma dx dt

= x − x^3.

Las soluciones constantes son u(t) ≡ −1, u(t) ≡ 0 y u(t) ≡ 1.

Todas las soluciones u tales que − 1 ≤ u(t) ≤ 1 para alg´un t est´an definidas para todo t real.

Puesto que f (x) < 0 si − 1 < x < 0, las soluciones comprendidas entre x = −1 y x = 0 son decrecientes, tienden a −1 cuando t → ∞, y tienden a 0 cuando t → ∞.

Puesto que f (x) > 0 si 0 < x < 1, las soluciones comprendidas entre x = 0 y x = 1 son crecientes, tienden a 1 cuando t → ∞, y tienden a 0 cuando t → −∞.

Puesto que f (x) < 0 si x > 1, las soluciones con valores iniciales x 0 > 1 son decrecientes y tienden a 1 cuando t → ∞.

Puesto que f (x) > 0 si x < −1, las soluciones con valores iniciales x 0 < −1 son crecientes y tienden a −1 cuando t → ∞.

Todas las curvas de cada una de las cuatro bandas se obtiene mediante traslaci´on horizontal de una curva cualquiera de esa banda.

En este ejemplo el m´etodo de separaci´on de variables permite obtener f´ormulas para las soluciones no constantes: (^) ∫ dx x − x^3

∫ (^

x

x − 1

x + 1

dx =

dt,

ln

(x − 1)(x + 1) x^2

∣ =^ −

ln

∣^1 −^

x^2

∣ =^ t^ −^ c,

x = ±

1 ± e−2(t−c)

2.6. ECUACI ON LINEAL´ 17

0 1 2 3 4 5

0

1

2

1 2 3 4

0

1

2

Figura 2.6: Campo de direcciones y siete soluciones de la ecuaci´on lineal homog´enea de primer orden x′^ = (t/10 + sen(πt))x.

2.6. Ecuaci´on lineal

La ecuaci´on diferencial lineal de primer orden es

x′^ = a(t)x + b(t)

y sus soluciones pueden expresarse mediante integrales con una f´ormula debida a Leibniz. En adelante supondremos que a(t) y b(t) est´an definidas y son continuas en un intervalo I, con lo que la ecuaci´on diferencial tiene la propiedad de unicidad, ya que f (t, x) = a(t)x+b(t) y ∂f /∂x = a(t) son continuas.

2.6.1. Ecuaci´on lineal homog´enea

La ecuaci´on lineal homog´enea x′^ = a(t)x

se puede resolver mediante separaci´on de variables:

u(t) = c e

R (^) t (^) a(τ ) dτ

donde c = 0 da la soluci´on constante id´enticamente nula (tambi´en llamada soluci´on trivial). En particular, salvo la soluci´on id´enticamente nula, ninguna soluci´on se anula en el intervalo I. Todas las soluciones est´an definidas para todo t del intervalo I. Como todas las soluciones son m´ultiplos de una cualquiera no nula u 1 (t) 6 ≡ 0, es decir,

u(t) = cu 1 (t),

sus gr´aficas tienen el aspecto ilustrado en la figura 2.6.

Teorema 2.5 Si t 0 est´a en I y x 0 es un n´umero cualquiera, entonces la soluci´on de la ecuaci´on x′^ = a(t)x que cumple u(t 0 ) = x 0 es

u(t) = x 0 e

R (^) t t 0 a(τ^ )dτ^.

18 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

2.6.2. M´etodo de variaci´on de constantes

Sea u 1 (t) una soluci´on no nula de la ecuaci´on homog´enea x′^ = a(t)x. El m´etodo de variaci´on de constantes consiste en buscar una funci´on c(t) tal que x(t) = c(t)u 1 (t) sea soluci´on de la ecuaci´on no homog´enea x′^ = a(t)x + b(t). Para ello es suficiente que

c′u 1 + cu′ 1 = a(t)cu 1 + b(t)

y puesto que u 1 (t) es soluci´on de la ecuaci´on homog´enea, es decir, u′ 1 = a(t)u 1 , la condici´on anterior se reduce a c′(t)u 1 (t) = b(t).

Como u(t) 6 = 0, basta con tomar

c(t) =

∫ (^) t b(s) u 1 (s)

ds + c 1

para todo t del intervalo I, donde c 1 es una constante arbitraria.

Teorema 2.6 La soluci´on general w de la ecuaci´on lineal x′^ = a(t)x + b(t) es la suma de la soluci´on general de la ecuaci´on reducida x′^ = a(t)x y de una soluci´on particular de la soluci´on completa:

w(t) = c 1 u 1 (t) + u 1 (t)

∫ (^) t b(s) u 1 (s)

ds.

La diferencia entre dos soluciones de la ecuaci´on completa es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea.

En efecto, fijada una primitiva de b(t)/u 1 (t), al ser u 1 (t 0 ) 6 = 0 cualquier problema de valores iniciales w(t 0 ) = x 0 con t 0 en el intervalo I se puede resolver despejando c 1 en la expresi´on anterior.

2.6.3. F´ormula de Leibniz

Teorema 2.7 La soluci´on general de la ecuaci´on lineal x′^ = a(t)x + b(t) es

w(t) = ce

R (^) t (^) a(τ )dτ

• e

R (^) t (^) a(τ )dτ^ ∫^ t e−^

R (^) s (^) a(τ )dτ b(s)ds

donde t pertenece a I y c es una constante arbitraria. La soluci´on que cumple w(t 0 ) = x 0 es

w(t) = x 0 e

R (^) t t 0 a(τ^ )dτ^ + e

R (^) t t 0 a(τ^ )dτ

∫ (^) t

t 0

e−^

R (^) s t 0 a(τ^ )dτ^ b(s)ds

o equivalentemente

w(t) = x 0 e

R (^) t t 0 a(τ^ )dτ^ +

∫ (^) t

t 0

e

R (^) t s a(τ^ )dτ^ b(s)ds.

En particular si 0 est´a en el intervalo I, la soluci´on que cumple v(0) = 0 est´a dada por

v(t) =

∫ (^) t

0

G(t, s)b(s)ds.

donde G(t, s) = e

R (^) t s a(τ^ )dτ^ se denomina funci´on de Green para el problema de valores iniciales.

Ejemplo 2.8 La ecuaci´on diferencial que se utiliz´o para ilustrar el concepto de campo de direcciones

x′^ = t − 2 x

es una ecuaci´on lineal. Poniendo a(t) = −2, b(t) = t en la f´ormula de Leibniz se obtiene

w(t) = −

t 2

• e−2(t−t^0 )

x 0 +

t 0 2