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Ejercicios de M´etodos Matem´aticos para la Empresa.

20 de enero de 2016

´Indice general

• I Algebra de matrices
• 1. Vectores y matrices. Aplicaciones.
• 2. Formas cuadr´aticas.
• II C´alculo diferencial
• 3. Funciones de varias variables.
• 4. Funciones compuestas y funciones impl´ıcitas.
• 5. Aplicaciones del c´alculo diferencial.

Cap´ıtulo 1

Vectores y matrices. Aplicaciones.

1. Dibujar los vectores (− 4 , −2), (2, 1) de R^2 y (1, 3 , 2), (5, 1 , −4) de R^3. Hallar el ´angulo que forman.
2. Dados los vectores ~u = (2, − 1 , 3) y ~v = (− 1 , 3 , −2). Calcular:

a) ~u +~v b) ~u − 2 ~v c) m´odulo de ~u y de ~v d) ~u · ~v e) el ´angulo que forman f ) dibujar dichos vectores en el espacio.

3. Sean x = (4, 0 , 3), y = (− 2 , − 1 , −2), 12 x, x − y.

a) Repres´entalos gr´aficamente. b) Encuentra el vector z que satisface 2x − 3 z + y = 0 c) Obt´en la longitud de cada uno de los vectores anteriores. d) Encuentra un vector unitario con la misma direcci´on y sentido que x − y. e) Encuentra un vector con la misma direcci´on y sentido contrario a x y con longitud 3.

4. Los vectores ~u y ~v de R^2 forman un ´angulo de 60o^ y el m´odulo de ~u es 3. Determinar el m´odulo de ~v para que ~v − ~u sea ortogonal a ~u.
5. Dado el paralelogramo OABC, dos de cuyos v´ertices est´an en los puntos OA = (1, 2 , 1), OC = (− 1 , 1 , −1), calcule la posici´on del v´ertice OB. ¿De qu´e tipo de paralelogramo se trata?
6. ¿Son los vectores (1, 2 , 3), (1, 1 , 1) combinaci´on lineal de los vectores del sistema S = {(1, 0 , 2), (0, 2 , 2)}?

7. Estudiar si los siguientes vectores son linealmente dependientes o independientes:

(a) (1, 2), (2, 3), (5, 8) (d) (1, − 2 , 1 , 1), (3, 0 , 2 , −2), (0, 4 , − 1 , 1) (b) (1, 2 , 3), (2, 0 , −1), (0, 4 , 7) (e) (1, 2 , 3 , 0), (1, 0 , 0 , 1), (1, 0 , 0 , −1), (0, 2 , 3 , 1) (c) (1, 2 , 1), (3, 1 , 1), (1, 0 , −1) (f ) (0, 2 , 2 , 2), (1, 3 , 4 , 1), (5, − 1 , 4 , −6)

8. Encontrar subconjuntos de vectores linealmente independientes de los conjuntos de vectores del ejercicio anterior que hayan resultado ser linealmente dependientes.
9. Sean los vectores a = (1, 1) y b = (1, 2). ¿Puede ser el vector (3, 5) combinaci´on li- neal de ambos? ¿Puedes poner un ejemplo de un vector que no dependa linealmente de a y b?
10. Poner el vector (1, 2 , 3) como combinaci´on lineal de (1, 3 , 0), (0, 2 , −1), (4, 0 , 3)
11. a) Si ~u, ~v y w~ son vectores linealmente dependientes. ¿Se puede asegurar que ~u depende linealmente de ~v y w~? ¿Y que uno de los tres vectores es combinaci´on lineal de los otros dos? b) Si {~u, ~v, ~w} son linealmente independientes. Estudiar si {~u + ~v, ~u + w, ~~ v + w~} son linealmente independientes o no.
12. Una empresa tiene dos plantas que producen tres bienes. Sus recursos laborales son constantes. Cuando se asigna a la primera planta una fracci´on λ, 0 ≤ λ ≤ 1 , de estos recursos laborales, y una fracci´on (1 − λ) a la segunda, la producci´on total de los tres bienes est´a dada por el vector y = (y 1 , y 2 , y 3 ) = λ(8, 4 , 4) + (1 − λ)(2, 6 , 10). Diga si las siguientes producciones son posibles: (5, 5 , 7) y (7, 5 , 5).
13. Una f´abrica produce dos art´ıculos textiles diferentes. En una jornada normal, la f´abrica necesita para su producci´on 200 metros de tela, 100 bobinas de hilo y 15 personas trabajando. Los costes asociados a estas materias primas son de 10 euros por metro, 50 c´entimos de euro por metro y 250 euros por persona y d´ıa, respectivamente. Las unidades producidas son 90 pantalones y 120 faldas, que se venden en el mercado a 45 y 30 euros, respectivamente.

a) Representa las cantidades de materias primas en un vector, as´ı como sus costes asociados. b) Representa las unidades producidas en otro vector, as´ı como sus precios aso- ciados. c) Con estos vectores, calcula los costes de la f´abrica en un d´ıa, as´ı como sus ingresos y el beneficio neto suponiendo que vende toda la mercanc´ıa.

14. Si ~u, ~v y w~ son vectores linealmente dependientes.

a) ¿Se puede asegurar que ~u depende linealmente de los otros dos vectores?

20. Hallar las matrices que conmutan con A, es decir AB = BA, donde

A =

21. Estudiar el rango de las matrices siguientes:

A =

 B =

 C =

D =

 E =

 F^ =

22. Hallar a y b para que A sea la matriz inversa de B, siendo

A =

a 1 b 3 0 1

 , B =

23. Calcular las inversas de las siguientes matrices:

A =

 B =

 C =

D =

 E =

 F =

24. Calcular la inversa (si existe) de las siguientes matrices utilizando el m´etodo de Gauss–Jordan:

A =

 , B =

 , C^ =

 , D =

E =

25. Sea la matriz A =

a) Calcula B, si existe, que cumpla (A − 2 I)B = I.

b) Repite el apartado anterior para la matriz A =

26. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es triangular, sim´etrica o antisim´etrica:

A =

 , B =

 , C =

D =

 , E =

 , F =

27. Dar un ejemplo de una matriz A ∈ M 2 × 2 tal que A^2 = A^3 = 0 pero A 6 = 0.
28. Sean A y B dos matrices tales que AB^2 = 2I.

a) Demuestra que las matrices deben ser cuadradas. Pista: ¿Qu´e pasar´ıa si B no fuese cuadrada? ¿Tendr´ıa sentido esa expresi´on? ¿Qu´e pasa entonces con A? b) Demuestra que las matrices deben ser invertibles. Pista: ¿Qu´e significa la inversa de una matriz? ¿Se podr´ıa obtener ese resultado si A no fuese inver- tible? ¿Y si B no fuese invertible? c) Encuentra la expresi´on de sus inversas.

29. Sean A =

y B =

1 b a 0

, encuentra a y b tales que AB = I.

30. Estudiar si alguna de las siguientes matrices es ortogonal, idempotente, unipotente o nilpotente:

A =

 , B =

, C =

, D =

31. Dadas las matrices

A =

 B =

calcula:

a) tr(AB)

37. Calcula el determinante de las siguientes matrices

A =

 B =

 C =

D =

 E^ =

a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a

 F^ =

x x + 1 x + 2 x x + 3 x + 4 x x + 5 x + 6

38. Dada la matriz

2 a 1 b

, encuentra los valores de a y b tales que tr(A) = 0 y det(A) = 4.

39. Calcula el determinante de las siguientes matrices, primero haciendo ceros mediante operaciones con filas y columnas y luego mediante el m´etodo de los adjuntos:

A =

 ,^ B^ =

40. Calcular el determinante de las siguientes matrices

A =

 B^ =

C =

D =

1 a b + c 1 b c + a 1 c a + b

 , E =

0 a − 1 0 0 0 3 22 0 0 0 b

, F =

G =

a b c d a^2 b^2 c^2 d^2 a^3 b^3 c^3 d^3

41. Resolver las siguientes ecuaciones:

∣∣ ∣∣ 1 −^ x^1 1 1 − x

1 − x 2 2 2 1 − x 2 2 2 1 − x

1 − x 2 2 0 2 − x 2 0 0 3 − x

∣∣ =^0 ,

2 − x 0 3 0 1 2 − x 0 3 0 0 2 − x 0 0 0 1 2 − x

42. Sean A y B matrices de Rn×n^ tales que det(A) = −1 y det(B) = 2. Calcular: a) det(3A) b) det(2AB) c) det(BAT^ ) d) det(A−^1 BA) e) det((AB−^1 )T^ )
43. Localice, si los hubiese, los errores cometidos en los siguientes c´alculos:

a)

a b c d

∣ =^ −

a −b c −d

a/ 2 b/ 2 c/ 2 d/ 2

b)

a b c d

0 b 0 d

a b c d

a 0 b − 1 1 0 c 0 d

c)

∣∣ a^ b c d

∣∣ a^ b 0 0

c d

d)

a b c d

−a −b 0 0

c d

44. Dadas las matrices

A =

 ,^ B^ =

, C =

a) ¿Cu´al de las matrices B y C son submatrices de A? b) ¿Es B submatriz de C? c) ¿Se puede decir que, si B es submatriz de A y C es submatriz de B, entonces C es submatriz de A? d) ¿Son cuadradas las submatrices de una matriz cuadrada? ¿Y para una matriz rectangular?

50. Determinar los valores del par´ametro a para los que la matriz

A =

2 1 1 1 − a a 0 0 1 2 1 1 0 1 1 0 0

tiene rango completo. Para a = 2 calcular la matriz inversa A−^1.

51. Determinar el rango de las siguientes matrices.

A =

, B =

 , C =

 , D =

Calcule, si fuese posible, C−^1 , D−^1 , (AB)T^ , det(AB)

52. Sea la matriz A =

b 0 0 0 − 1 1 0 0 2 − 2 − 1 0 − 1 1 1 a

a) Determine el rango de A seg´un los valores de los par´amentros a y b. b) Considere a = 1, b = 1. Halle, si existiesen, dos matrices C 1 , C 2 tales que

AC 1 = C 2 A = I 4

siendo I 4 la matriz identidad 4 × 4

53. Calcula la matriz inversa de las siguientes matrices y comprueba el resultado

A =

B =

C =

D =

 E =

 F =

54. Determinar para que valores de a son invertibles las matrices:

A =

a 1 2 2 a 2 1 a 1

 B =

a 0 1 − 1 1 2 0 2 0 − 3 2 0 1 a 3 a

55. Calcular el rango de las matrices A y B y de la matriz C en funci´on del par´ametro a.

A =

 ,^ B^ =

 ,^ C^ =

2 2 − a 1 2 a − 4 2 a

56. Resuelve la ecuaci´on

X

57. Dadas las matrices

A =

B =

 C =

D =

Hallar la matriz X que verifica AB + CX = D

58. Justifique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones.

a) Sea A ∈ Mn triangular. Si tr(A) = 0 entonces det(A) = 0. b) Si A ∈ Mn es regular entonces A−^1 tambi´en es regular. c) Si A es ortogonal entonces det(A) 6 = 0. d) Si A ∈ Mn es idempotente, tambi´en lo son las matrices de la forma B = P −^1 AP, siendo P ∈ Mn no singular.

59. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

i)

2 x + 3y − z + 5t = 0 3 x − y + 2z − 7 t = 0 4 x + y − 3 z + 6t = 0 x − 2 y + 4z − 7 t = 0

ii)

3 x + 4y − 5 z + 7t = 0 2 x − 3 y + 3z − 2 t = 0 4 x + 11y − 13 z + 16t = 0 7 x − 2 y + z + 3t = 0

iii)

x − 2 y + z + t = 2 3 x + 2z − 2 t = − 8 4 y − z − t = 1 −x + 6y − 2 z = 7

iv)

x − 2 y + z + t = 2 3 x + 2z − 2 t = − 8 4 y − z − t = 1 5 x + 3z − t = 0

60. Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer

i)

x − 2 y + z = 7 2 x − y + 4z = 17 3 x − 2 y + 2z = 14

ii)

2 x + 3y − z = 1 3 x + 5y + 2z = 8 x − 2 y − 3 z = − 1

67. Hallar la condici´on que deben verificar a, b y c para que los siguientes sistemas sean compatibles:

i)

x + 2y − 3 z = a 2 x + 6y − 11 z = b x − 2 y + 7z = c

ii)

x + y + z = 2 − 2 x + y + 3z = 5 x − 2 y + az = b

68. La Consejer´ıa de Pesca proporciona tres tipos de alimento a tres especies de peces protegidas que habitan en un lago. Cada pez de la especie 1 consume por semana un promedio de una unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 del alimento C. Los de la especie 2, 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Y los de la tercera especie, consumen cada semana 2 unidades del alimento A, 1 unidad del B y 5 del C. Cada semana se vierten en el lago 25,000 unidades del alimento A, 20 ,000 del alimento B y 55,000 del alimento C. Suponiendo que toda la comida se consuma, ¿cuantos ejemplares de cada especie pueden convivir en el lago?¿Y si se vierten 15,000 unidades del A, 10,000 del B y 35,000 del C?
69. Clasificar y resolver, cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones seg´un los valores del par´ametro “a”:

a)

x + y − z = 1 2 x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2

b)

x + y + az = 0 3 x + 2y + 4mz = 0 2 x + y + 3z = 0

c)

x + 3y + z = 5 ax + 2z = 0 ay − z = a

d)

x + ay + z = 2 x − ay + z = 0 ax + y + z = 2a

70. Discutir los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

x − y − z = k x − y + 2z = 1 2 x + y + kz = 0

b)

x − 2 y + z = 1 mx + y − z = 1 3 x + 4y − 2 z = − 3

c)

3 x + 2y + az = 1 5 x + 3y + 3z = 2 x + y − z = 1

71. Discutir y resolver (cuando sea posible) los siguientes sistemas lineales en funci´on de los par´ametros k y m.

(i)

x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 − x 2 + x 3 = 1 2 x 1 + mx 3 = k

(ii)

x 1 + x 2 + x 3 = 5 2 x 1 − x 2 + x 3 = 2m x 1 − 2 x 2 = 3 − 3 x 1 + 3x 2 − x 3 = m

(iii)

2 x 1 − 3 x 2 + 5x 3 = k −x 1 + 7x 2 − x 3 = 0 42 x 1 − 11 x 2 + mx 3 = 0

(iv)

kx 1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + kx 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 + kx 3 = 0

72. Supongamos tres pa´ıses A, B, C. Sean SA, SB y SC los saldos de sus balanzas de pagos respectivos tal que:

a) Dar los valores de las rentas RA, RB y RC que sit´uan las balanzas de pago de los tres pa´ıses en equilibrio. b) Calcular los valores de las rentas RA, RB y RC que generan un super´avit igual a 50 y a 100 para los pa´ıses A y B respectivamente, y un d´eficit igual a 150 para el pa´ıs C.

73. Una compa˜n´ıa tiene tres camiones (P , Q y R), en los que caben exactamente un cierto n´umero de contenedores de tres tipos (A, B y C), de acuerdo con la siguiente tabla: A B C P 5 3 4 Q 2 5 5 R 4 3 6

Si se han de transportar 45 contenedores del tipo A, 44 del tipo B y 58 del tipo C, ¿cu´antos viajes han de hacer cada cami´on si todos los viajes los hacen totalmente llenos?

74. El se˜nor Garc´ıa deja a sus hijos herederos de todo su dinero con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de lo que les deja a los otros dos m´as 30000 e; al mediano, exactamente la media de los otros dos, y al peque˜no, la media de los otros dos menos 30000 e. Conociendo estas condiciones solamente, ¿pueden los hijos saber cu´anto dinero ha heredado cada uno?
75. Una f´abrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporci´on de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes en euros por kg son: leche, 0,80; cacao, 4; y almendras, 10. En un d´ıa se fabrican 9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 22 800 euros. ¿Cu´antos kg se utilizan de cada componente?
76. Un pa´ıs importa 21 000 veh´ıculos mensuales de 3 marcas A, B y C, al precio de 7 500, 9 500 y 12 000 euros, respectivamente. Si el total de la importaci´on asciende a 201,8 millones de euros y de la marca A importa el 40 % de las otras dos marcas juntas, ¿cu´antos veh´ıculos de cada marca entran en el pa´ıs?
77. Un grupo de personas se re´unen para ir de excursi´on, junt´andose un total de 20 entre hombres, mujeres y ni˜nos. Contando hombres y mujeres juntos, su n´umero resulta ser el triple del n´umero de ni˜nos. Adem´as, si hubiera acudido una mujer m´as, su n´umero igualar´ıa al de hombres. ¿Cu´antos hombres, mujeres y ni˜nos han ido de excursi´on?
78. Nuestro proveedor de pilas nos cobra por una peque˜na, dos medianas y una grande 1 , 83 een otra ocasi´on, por dos peque˜nas, tres medianas y dos grandes 3, 3 e.

El almac´en vende a un cliente 2,5 Kg de este producto por un importe de 890 e. Sabiendo que el lote iba envasado en 5 cajas, plantea un sistema par determinar cuantas cajas de cada tipo se han comprado y resuelve el problema.

84. Una empresa dispone de 27200 epara actividades de formaci´on de sus cien emplea- dos. Despu´es de estudiar las necesidades de los empleados, se ha decidido organizar tres cursos: A, B y C. La subvenci´on por persona para el curso A es de 400 e, para el curso B es de 160 e, y de 200 epara el C. Si la cantidad que se dedica al curso A es cinco veces mayor que la correspondiente al B, ¿cu´antos empleados siguen cada curso?
85. Dada la matriz y se consideran los sistemas de ecuaciones

(I) A~x = ~b y (II) A~x = ~ 0

Suponiendo que los dos sistemas son compatibles, se pide:

a) Probar que si ~s 1 es soluci´on de (I) y ~s 2 es soluci´on de (II) entonces ~s 1 + ~s 2 es tambi´en soluci´on de (I). b) Probar que si s1 y s2 son soluciones de (II) entonces 2s1- 5s2 es tambi´en soluci´on de (II). c) Probar que si ~s 1 y ~s 2 son soluciones de (I) entonces ~s 1 - ~s 2 y ~s 2 − ~s 1 son tambi´en soluciones de(II). d) Probar que si ~s 1 y ~s 2 son soluciones de (II) entonces α~s 1 + β~s 2 es tambi´en soluci´on de (II) ∀α, β ∈ R.

86. Modelo de desempleo (markoviano). Se supone que los individuos de cierto pa´ıs pueden estar empleados o desempleados. Un individuo, que hoy est´a desempleado, encuentra trabajo ma˜nana con probabilidad p ∈ (0, 1). Un individuo, que hoy est´a empleado, pierde su trabajo ma˜nana con probabilidad q ∈ (0, 1). Sean (y 1 , y 2 ) el n´umero de ocupados y desempleados hoy, y sean (x 1 , x 2 ) el n´umero de ocupados y desempleados ma˜nana. Se supone que no hay cambios en el tama˜no total de la poblaci´on.

a) Escriba un sistema lineal de ecuaciones que exprese las variables (x 1 , x 2 ) como funci´on de (y 1 , y 2 ). b) Encuentre las distribuciones de ocupados/desempleados de manera que no se alteren con el paso del tiempo.

Cap´ıtulo 2

Formas cuadr´aticas.

1. Hallar la matriz sim´etrica asociada a las siguientes formas cuadr´aticas:

a) q 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x^21 − x 1 x 3 + x^22 + 4x 2 x 3 − 4 x^23 b) q 2 (x, y) = 2x^2 + xy + y^2 c) q 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = −x^21 + 2x 1 x 2 + x 1 x 3 + x^22 + 5x 2 x 3 − x^23 d) q 4 (x, y) = −x^2 − y^2 + xy e) q 5 (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = 3x^21 + 6x 1 x 4 + x^22 + 2x 2 x 3 + 4x 2 x 4 + 6x 3 x 4 + 2x^23 + 8x^24 f ) q 6 (x, y) = x^2 + y^2 − 4 xy g) q 7 (x, y, z) = x^2 − 2 xy + 2y^2 − 2 yz + z^2 h) q 8 (x, y, z) = x^2 − 2 xy + 2y^2 − 2 yz + z^2 i) q 9 (x, y, z) = 5x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 8xy + 4xz + 4yz j ) q 10 (x, y, z) = 5x^2 + 5y^2 + 2z^2 + 8xy + 4xz + 4yz k ) q 11 (x, y, z, t) = 7x^2 + 7z^2 + 4t^2 − 4 xy − 18 xz − 4 yz

2. Dadas las matrices A 1 , A 2 y A 3

A 1 =

 , A 2 =

 , A 3 =

y la forma cuadr´atica q(x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x^21 − 2 x 1 x 2 + x^22 − 2 x 1 x 3 − x 2 x 3 + 3x^23 , se pide:

a) Comprobar que q(x) = xtA 1 x = xtA 2 x = xtA 3 x para todo x = (x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R^3. b) Obtener la matriz sim´etrica Q tal que q(x) = xtQx y relacionar Q y A 1 , A 2 , A 3.