Integraci´
on de Romberg
Julieth Tenorio
Tecnolog´ıa en Construcciones Civiles- Facultad Tecnol´ogica
1 de agosto de 2020
Julieth Tenorio Integraci´on de Romberg
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metodos numericos 2020, Diapositivas de Métodos Matemáticos
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Tipo: Diapositivas
2019/2020
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Integraci´on de Romberg
Julieth Tenorio
Tecnolog´ıa en Construcciones Civiles- Facultad Tecnol´ogica
1 de agosto de 2020
Integraci´on Num´erica Compuesta
En t´erminos generales, las f´ormulas de Newton- Cotes no son adecuadas para utilizarse en intervalos de integraci´on grandes. Para estos casos se requieren f´ormuls de grado superior y los valores de sus coeficientes son dif´ıciles de obtener. Adem´as, las f´ormulas de Newton- Cotes se basan en los polinomios inter- polantes que emplean nodos con espacios iguales, un proceso que resulta inexacto en intervalos grandes debido a la naturaleza oscilatoria de los po- linomios de grado superior. Es por esto que aplicamos un m´etodo fragmentario para realizar la integra- ci´on num´erica, en el cual se aplican las f´ormulas de Newton- Cotes de bajo orden, que son los m´etodos de mayor uso.
Integraci´on Num´erica Compuesta
En t´erminos generales, las f´ormulas de Newton- Cotes no son adecuadas para utilizarse en intervalos de integraci´on grandes. Para estos casos se requieren f´ormuls de grado superior y los valores de sus coeficientes son dif´ıciles de obtener. Adem´as, las f´ormulas de Newton- Cotes se basan en los polinomios inter- polantes que emplean nodos con espacios iguales, un proceso que resulta inexacto en intervalos grandes debido a la naturaleza oscilatoria de los po- linomios de grado superior. Es por esto que aplicamos un m´etodo fragmentario para realizar la integra- ci´on num´erica, en el cual se aplican las f´ormulas de Newton- Cotes de bajo orden, que son los m´etodos de mayor uso.
Regla de Simpson
Si queremos obtener una aproximaci´on a
0 e
x (^) dx. La regla de Simpson con
h = 2, nos da
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈ 2 3
(e^0 + 4 e^2 + e^4 ) = 56, 76958
Dado que el valor exacto es
Vr = e^4 − e^0 = 53, 59815
Entonces el error relativo es:
Er =
Es un error muy grande. Si aplicamos un m´etodo fragmentario a este problema, dividimos [0, 4] en dos intervalos: [0, 2] y [2, 4] aplicamos dos veces la regla de Simpson con h = 1.
Regla de Simpson
Si queremos obtener una aproximaci´on a
0 e
x (^) dx. La regla de Simpson con
h = 2, nos da
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈ 2 3
(e^0 + 4 e^2 + e^4 ) = 56, 76958
Dado que el valor exacto es
Vr = e^4 − e^0 = 53, 59815
Entonces el error relativo es:
Er =
Es un error muy grande. Si aplicamos un m´etodo fragmentario a este problema, dividimos [0, 4] en dos intervalos: [0, 2] y [2, 4] aplicamos dos veces la regla de Simpson con h = 1.
Regla de Simpson
Si queremos obtener una aproximaci´on a
0 e
x (^) dx. La regla de Simpson con
h = 2, nos da
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈ 2 3
(e^0 + 4 e^2 + e^4 ) = 56, 76958
Dado que el valor exacto es
Vr = e^4 − e^0 = 53, 59815
Entonces el error relativo es:
Er =
Es un error muy grande. Si aplicamos un m´etodo fragmentario a este problema, dividimos [0, 4] en dos intervalos: [0, 2] y [2, 4] aplicamos dos veces la regla de Simpson con h = 1.
Regla de Simpson
Si queremos obtener una aproximaci´on a
0 e
x (^) dx. La regla de Simpson con
h = 2, nos da
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈ 2 3
(e^0 + 4 e^2 + e^4 ) = 56, 76958
Dado que el valor exacto es
Vr = e^4 − e^0 = 53, 59815
Entonces el error relativo es:
Er =
Es un error muy grande. Si aplicamos un m´etodo fragmentario a este problema, dividimos [0, 4] en dos intervalos: [0, 2] y [2, 4] aplicamos dos veces la regla de Simpson con h = 1.
Regla de Simpson
Si queremos obtener una aproximaci´on a
0 e
x (^) dx. La regla de Simpson con
h = 2, nos da
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈ 2 3
(e^0 + 4 e^2 + e^4 ) = 56, 76958
Dado que el valor exacto es
Vr = e^4 − e^0 = 53, 59815
Entonces el error relativo es:
Er =
Es un error muy grande. Si aplicamos un m´etodo fragmentario a este problema, dividimos [0, 4] en dos intervalos: [0, 2] y [2, 4] aplicamos dos veces la regla de Simpson con h = 1.
0
ex^ dx =
0
ex^ dx +
2
ex^ dx
≈ 1 3
[e^0 + 4 e + e^2 ] +^1 3
[e^2 + 4 e^3 + e^4 ]
= 1 3
[e^0 + 4 e + 2 e^2 + 4 e^3 + e^4 ] = 53, 863285
Que tiene un error relativo de
Er =
Es decir, que el valor tiene ya una cifra significativa de aproximaci´on.
0
ex^ dx =
0
ex^ dx +
2
ex^ dx
≈ 1 3
[e^0 + 4 e + e^2 ] +^1 3
[e^2 + 4 e^3 + e^4 ]
= 1 3
[e^0 + 4 e + 2 e^2 + 4 e^3 + e^4 ] = 53, 863285
Que tiene un error relativo de
Er =
Es decir, que el valor tiene ya una cifra significativa de aproximaci´on.
0
ex^ dx =
0
ex^ dx +
2
ex^ dx
≈ 1 3
[e^0 + 4 e + e^2 ] +^1 3
[e^2 + 4 e^3 + e^4 ]
= 1 3
[e^0 + 4 e + 2 e^2 + 4 e^3 + e^4 ] = 53, 863285
Que tiene un error relativo de
Er =
Es decir, que el valor tiene ya una cifra significativa de aproximaci´on.
Si volvemos a subdividir los intervalos [0, 2] y [2, 4] y aplicamos la regla de Simpson con h = 12 , tenemos:
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈
0
ex^ dx +
1
ex^ dx +
2
ex^ dx +
3
ex^ dx
=
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + e] +^1 6 [e^ + 4^ e
3 / (^2) + e (^2) ]
6 [e
(^2) + 4 e 5 / (^2) + e (^3) ] +^1 6 [e
(^3) + 4 e 7 / (^2) + e (^4) ]
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + 2 e + 4 e 3 / (^2) + 2 e (^2) + 4 e 5 / 2
- 2 e^3 + 4 e^7 /^2 + e^4 ] = 53 , 61622
Cuyo error relativo es
Er =
Si volvemos a subdividir los intervalos [0, 2] y [2, 4] y aplicamos la regla de Simpson con h = 12 , tenemos:
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈
0
ex^ dx +
1
ex^ dx +
2
ex^ dx +
3
ex^ dx
=
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + e] +^1 6 [e^ + 4^ e
3 / (^2) + e (^2) ]
6 [e
(^2) + 4 e 5 / (^2) + e (^3) ] +^1 6 [e
(^3) + 4 e 7 / (^2) + e (^4) ]
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + 2 e + 4 e 3 / (^2) + 2 e (^2) + 4 e 5 / 2
- 2 e^3 + 4 e^7 /^2 + e^4 ] = 53 , 61622
Cuyo error relativo es
Er =
Si volvemos a subdividir los intervalos [0, 2] y [2, 4] y aplicamos la regla de Simpson con h = 12 , tenemos:
∫ (^4)
0
ex^ dx ≈
0
ex^ dx +
1
ex^ dx +
2
ex^ dx +
3
ex^ dx
=
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + e] +^1 6 [e^ + 4^ e
3 / (^2) + e (^2) ]
6 [e
(^2) + 4 e 5 / (^2) + e (^3) ] +^1 6 [e
(^3) + 4 e 7 / (^2) + e (^4) ]
6 [e
(^0) + 4 e 1 / (^2) + 2 e + 4 e 3 / (^2) + 2 e (^2) + 4 e 5 / 2
- 2 e^3 + 4 e^7 /^2 + e^4 ] = 53 , 61622
Cuyo error relativo es
Er =