Solución numérica de
sistemas de ecuaciones no
lineales
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Resolución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales: métodos iterativos y Newton, Diapositivas de Métodos Numéricos
Soluciones numéricas para sistemas de ecuaciones no lineales mediante métodos iterativos y Newton. Se incluyen ejemplos con métodos de punto fijo, desplazamientos simultáneos y sucesivos, y método de Newton. Se explican conceptos básicos como notación, escalar y vectorial, resolución iterativa, criterios de convergencia y parada.
Tipo: Diapositivas
2019/2020
1 / 14
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Solución numérica de
sistemas de ecuaciones no
lineales
Notación
f^
x^
x^
x
f^
x^
x^
x
f^
x^
x^
x
f^
IR^
IR
x^
x^
f^
x^
x
n n
n^
n
i
n n^
i^
n
1
1
2 2
1
2 1
2
1
1
(^
,^
(^
,^
(^
,^
(^
)^
(^
M
F x
F^
IR^
IR
x^
x^
x^
f^
x^
f^
x
n^
n
n^
n
(^ )
(^
)^
(^
(^ ),...
(^ ))
=^
=^
1
1
• Escalar • Vectorial
Esquema del algoritmo
• Entrada:
F, x
, tol, maxiter 0
• Proceso
- Inicializar
incr, iter
- Mientras
incr > tol
&
iter < maxiter
- Obtener
x
-^ incr = norm(x
−^ x
) 0
- Actualizar
x^0
, iter
• Salida:
x, iter, incr
- Si
incr > tol
no converge
Método de Punto Fijo
-^ Punto fijo •^ Estimación inicial •^ Iteraciones •^ Criterio de parada •^ Convergencia:
x^
G x k^
k
(^
)^
(^ ) (^
)
+^ 1 = x^
x^
x^ n
(^ )^
(^ )^
(^ )
(^
,...,
)
0
(^0 )
0
= x^
x^
tol
k^
k
(^
)^
(^ ) +^
−^
<
1 F x
x^
G x
(^ )^
(^
)
=^
⇔
=
0
.n ,... (^2) , 1 j; 1 K; K n x
)x (gj i
= < < ∂ ∂
Ejemplo
-^ Punto Fijo con desplazamientos simultáneos•^ Punto Fijo con desplazamientos sucesivos
(^
)^ (^
(^
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x
k^
k^
k
k^
k^
k
k^
k^
k
(^11)
2
3
16
(^12)
19
1
2
3
(^13)
120
1
2 3
1 06
0 1
1
6
(^ )^
(^ )^
(^ )
(^ )^
(^ )^
(^ )
(^ )^
(^ )^
(^ )
cos(
) / sen
.^
.
exp
/
=^
=^
+^
+^
−
=^
−^
−^
−
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭ π
(^
)^ (^
(^
x^
x^
x
x^
x^
x
x^
x^
x
k^
k^
k
k^
k^
k
k^
k^
k
(^11)
2
3
16
(^1 )
19
(^1 ) 2
3
(^1 )
120
(^11)
(^12) 3
1 06
0 1
1
6
(^ )
(^ )^
(^ )
(^ )
(^ )
(^ )
(^ )
(^ )
(^
)
cos(
) / sen
.^
.
exp
/
+^
+^
+^
=^
=^
+^
+^
−
=^
−^
−^
−
⎫ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭ π
Ejemplo 1: Desp. simultáneos
Iter
(k)x 1
(k)x 2
(k)x 3
3.41679E
−^8
1.64870 E
Método de Newton
-^ Sistema de ecuaciones•^ Aproximación por el plano tangente•^ Paso de Newton•^ Se estila:
F x
F^
IR^
IR
x^
x^
x^
f^
x^
f^
x
n^
n
n^
n
(^ )
(^
)^
(^
(^ ),...
(^ ))
=^
=^
1
1
) () ( ) ( )(
) (^0) (
) (^0) (
) (^0) (
x x x JF xF xF
− ⋅
≅
[^
]^
) ( ) (^
) (^0) ( 1 ) (^0) (
) (^0) ( ) (^1) (
xF
x JF x x^
⋅
− =^
−
[^
]^
) x( F y) x( JF con
y x x
) (^0) (
) (^0) ( ) (^0) (
) (^0) ( ) (^0) ( ) (^1) (
=
−
Método de Newton. Ejemplo 2 • Sistema • Estimación inicial• Primeraiteración
(^
x^
y x^
y^
Sol x
y
2
2 2
2
12
12
34
+^
−^
−^
+^
⎫⎪ ⎬⎪^ ⎭
:^
x^
y
0
0 1
3
=^
= ,
x y
x y
x^
y x^
y
x^
y x^
y
1 1
0 0
0
0 0
0
1
(^20)
(^20) (^20)
(^2 )
12
⎛ ⎜^ ⎝
+^
−^
−
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−
−
−
=
−
−^
20
) cos( ) (^1). 0 ( 162
2
) (
) (
3 )(
(^21)
(^21)
1
2
3
2
1
(^32) 2 (^32) 3
xx
xx
ex
ex
x
x
x
xx senx
xx senx
x JF
Método de Newton. Ejemplo 3 • Sistema no lineal• Jacobiana
1
2 3
12
(^21)
2
2
3 3
1 2
x^
x x
x^
x^
x
e^
x
x x
−^
−^
−^
+^
+^
+^
+^
+^
−^
−
cos(
(^
. )^
sen(
Resultados Newton. Ejemplo 3
k^
x^1
x^2
x^3
0
−
1
−
2
−
3
1.48294E
−^5
−
4
2.08910E
−^8
−
5
2.792E
−^11
−0.
6
4.E
−^14
−0.