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Métodos numéricos unad 2020 - 1604
Tipo: Ejercicios
1 / 51
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1 Guía de actividades y Rúbrica de Evaluación - Tarea 3 - Diferenciación
e Integración Numérica y EDO
Carlos Alberto Moreno
Cód. 1.007.451.
Darío Segundo López
Cód. 1.041.267.
Oscar David Gamboa Valencia
Cód. 1.0.17.177.
Yacsira Stacey Barrios
Cód. 1098774120
Yeison Álvarez
Cód. 1.033.336.
Tutor: Edgar Andrés Villabón
Jueves 7 de Mayo de 2020
Universidad Nacional Abierta y a Distancia.
Antioquia.
Métodos Numéricos
100401 72
Introducción
Como una ciencia, el Análisis Numérico está interesado en los procesos
por los cuales pueden resolverse los problemas matemáticos, por las
operaciones de la aritmética. Algunas veces esto involucrar el desarrollo de
algoritmos para resolver un problema que está ya en una forma en la cual
pueda encontrarse la solución por medio aritméticos. Frecuentemente
involucraría la necesidad de sustituir cantidades que no pueden ser calculadas
aritméticamente, por aproximaciones que permiten que sea determinada una
solución aproximada. En este caso estaríamos interesados, naturalmente, en
los errores cometidos en nuestra aproximación. Pero, en cualquier caso, las
herramientas que usaríamos en el desarrollo de los procesos de análisis
numérico, serían las herramientas del análisis matemático exacto, tan
conocidas clásicamente. Como un arte, el Análisis Numérico está interesado en
la elección del procedimiento, y conveniente aplicación del mismo, “más”
adecuado a la solución de un problema particular. Esto implica la necesidad de
desarrollar la experiencia y con ello esperar que se desarrolle la intuición del
especialista.
Así pues, el Análisis Numérico trata de diseñar métodos para aproximar,
de una manera eficiente, las soluciones de problemas expresados
matemáticamente. La eficiencia del método depende tanto de la precisión que
se requiera como de la facilidad con la que pueda implementarse. En una
situación práctica, el problema matemático se deriva de un fenómeno físico
sobre el cual se han hecho algunas suposiciones para simplificarlo y para
poderlo representar matemáticamente. Generalmente cuando se relajan las
suposiciones físicas llegamos a un modelo matemático más apropiado, pero, al
mismo tiempo, más difícil o imposible de resolver explícitamente.
Teniendo en cuenta lo anterior, el estudiante desarrollará los conceptos
de diferenciación numérica, integración numérica y ecuaciones diferenciales
ordinarias por medio de la revisión de las bibliografías asignadas, desarrollo de
ejercicios asignados y haciendo análisis comparativos por medio de gráficas y
resultados. Lo anterior se debe tener en cuenta que cada estudiante tiene un
correspondiente numeral de problema asignado.
Centrada
f
'
x
i
f
x
i + 1
− f
x
i − 1
2 h
Aplicando al ejercicio
f ( 1.2)− f (−1.2)
En este ejercicio no se halla error debido a que, se tiene funciones seno
y coseno, y como son cíclicas, los resultados se repiten dependiendo al
espaciamiento. Teniendo en cuenta lo anterior, se tiene como resultado que la
diferenciación centrada tiene un valor igual a cero.
Se hace la respectiva derivación de la función y después se reemplaza
los valores.
Realizando analíticamente haciendo la solución:
f
'
( x )=− 2 π sin( πx )
f
'
=− 2 π sin( π ( 0 ))
f
'
Problema 2 (Yeison Álvarez)
Evalúe la ganancia en la precisión usando las fórmulas de diferencias
finitas hacia adelante, atrás y central, en la evaluación de la primera derivada
de la función f ( x )= e
− x
en x=1, con h=0.1, comparada con la solución analítica
(exacta).
Problema 3 (Darío Segundo López)
Dada la función f ( x )=cot( 10 x ), encuentre f ' (0.175) usando las
representaciones de diferencias finitas hacia adelante, atrás y central, con
h=0.075. Compare los resultados obtenidos con la solución analítica. ¿Tienen
sentido las respuestas obtenidas? Haga un análisis basado en la teoría y el
conocimiento de la función acerca de lo que sucede en este caso.
Solución
Las diferencias finitas de la función hacia adelante y atrás son:
∆ f ( x ) = f ( x + h )− f ( x )
∇ f ( x )= f ( x )− f ( x + h )
Y la diferencia central :
δf ( x )= f
(
x +
h
)
− f
(
x −
h
)
Ahora nos solicitan que hallemos la derivada de la función en x =0,
utilizando este método, debemos hallar la relación de cambio de la variable
independiente respecto de la variable dependiente, para las tres diferencias
finitas tenemos:
f ( x )=cot( 10 x )
h =0.
∆ f ( x )
h
=cot( 10 (0.175+0.075))−cot ¿ ¿
∇ f ( x )
h
cot ( 10 (0.175))−cot( 10 (0.175−0.075))
δf ( x )
h
=cot( 10 (0.175+0.0375))−cot ¿ ¿
Ahora hallando la derivada analíticamente tenemos:
f ' ( x )=− 10 csc
2
10 x
Y su valor en x=0,175:
f (0.175)=− 10 csc
2
Vemos que no existe una gran diferencia entre los resultados obtenidos
por el método de las diferencias finitas y la derivada analítica. Esto es debido a
que el valor de h es pequeño, y en este tipo de funciones se logra una buena
aproximación.
altos (18,8% y 17,34%. Pero si se hace un cálculo de diferencias centradas, el
error se disminuye muy rápido a solo el 0,73%.
Si se toman dos puntos hacia adelante y dos puntos hacia atrás, los
errores caen ostensiblemente en las diferencias hacia adelante y hacia atrás,
haciendo que en ambos casos el error se ubique entre el 1% y el 2% y si se
hacen diferencias centradas, este error baja a 0,007%. Este último error lleva a
concuir, que ese tamaño de paso es aceptable si se usa este método
(diferencia centradas con 2 puntos hacia adelante y 2 hacia atrás) porque el
valor obtenido es casi igual al valor real.
Desafío 5 (Yacsira Barrios)
La siguiente tabla representa datos físicos tomados igualmente
espaciados:
Encuentre 𝑓′(1.5) para esquemas de 𝒪(0.5) 2 hacia atrás, adelante y central.
( Ayuda: ¿Grafique los puntos de la tabla y vea qué problema puede
encontrar para los esquemas solicitados) Cuál es el esquema más
apropiado para este caso? ¿por qué?
Evaluando los puntos dados en la anterior tabla en geogebra nos da que la función
en la siguiente:
f'(x)=-1,62x
5
+13,05x
4
-39,52x
3
+53,07x
2
-28,86x+3,
x
0
1,
h 0,
x f(x)
f(x 0
-h) 1,
0,
44
f(x 0
) 1,
0,
69
f(x 0
+h) 1,
0,
51
error
rel
Adelan
te
0,
1292,
52
Atrás 0,0195 168,
f(x)= −0,27 x
6
2,61 x
5
−9,88 x
4
+17,69 x
3
2
+3,47x+
Integración Numérica
Problema 1 (Oscar Gamboa).
∫
0
π / 2
sen ( x )
1 + x
2
dx
a) Regla del trapecio simple y compuesta
Regla del trapecio simple
La regla del trapecio es la primera de las fórmulas cerradas de
integración de Newton-Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de
la siguiente ecuación es de primer grado:
∫
a
b
f ( x ) dx ≅
∫
a
b
f
1
( x ) dx
La línea recta se puede representar como:
f
1
( x )= f ( a ) +
f ( b )− f ( a )
b − a
( x − a )
El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de f ( x )
entre los límites a y b :
∫
a
b
[
f ( a ) +
f ( b )− f ( a )
b − a
( x − a )
]
dx
El resultado de la integración es:
I =( b − a )
f ( b )+ f ( a )
Conocida como la regla del trapecio simple.
Geométricamente, es equivalente a aproximar el área del trapezoide
bajo la línea recta que conecta f ( a ) y f ( b )
Tomado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Trapezoidal_rule
Error en la Regla trapezoidal:
t
f
' '
( ξ ) ( b − a )
3
Donde ξ está en algún lugar en el intervalo de a a b.
Aplicando el ejercicio inicial
(
π
)
sen
(
π
)
(
π
)
2
sen ( 0 )
2
Resolviendo
π
4 + π
2
Error en la Regla trapezoidal:
π
f
x
0
x
1
π
f
x
1
x
2
π
f
x
2
x
3
π
f
x
3
x
4
π
f
x
4
x
5
π
f
x
5
x
π
f ( 0 ) + f
(
π
)
π
f
(
π
)
(
π
)
π
f
(
π
)
(
π
)
π
f
(
π
)
(
π
)
π
f
(
π
)
(
5 π
)
π
f
(
Descomponiendo la sumatoria anterior:
π
f
x
0
x
1
π
sen ( 0 )
2
sen (
π
(
π
)
2
π
f
x
1
x
2
π
sen (
π
(
π
)
2
sen (
π
(
π
)
2
π
f
x
2
x
3
π
sen (
π
(
π
)
2
sen (
π
(
π
)
2
π
f
x
3
x
4
π
sen (
π
(
π
)
2
sen (
π
(
π
)
2
π
f
x
4
x
5
π
sen (
π
(
π
)
2
sen (
5 π
(
5 π
)
2
π
f
x
3
x
4
π
sen (
5 π
(
5 π
)
2
sen (
π
(
π
)
2
Se hace la sumatoria de los términos
b) Regla de Simpson 1/3 simple y compuesta.
Simple
∫
a
b
f ( x ) dx ≈
b − a
[
f ( a ) + 4 f
(
a + b
)
]
Aplicando a la fórmula
3 π
[
(
sen ( 0 )
2
)
(
sen
(
π
)
(
π
)
2
)
(
sen
(
π
)
(
π
)
2
)
(
sen
(
π
)
(
π
)
2
)
]
Compuesta
∫
a = x
n
b = x
n
f ( x ) dx =
3 h
Aplicando al ejercicio
(
π
)
Teniendo en cuenta los resultados de cada
método y haciendo una comparación de
los resultados de cada uno mediante el
porcentaje de error (error aproximado), se
puede observar que la regla de Simpson
1/3 compuesta presenta un error de
aproximación del 0.05%, indicándonos que
se aproxima más al valor de la integral de
manera exacta (este valor dado por una
calculadora).
Simpson 3/8 Simple
a 0
a 0
b 1,
n 6
h 0,
k xi f(xi)
0 0 0
1 0,26179939 0,
2 0,52359878 0,
3 0,78539816 0,
4 1,04719755 0,
5 1,30899694 0,
6 1,57079633 0,
Método Valor Error Aprox
TrapSimple 0,22650918 57,02%
TrapComp 0,51972466 1,38%
Simpson1/
S 0,53348021 1,23%
Simpson1/3C 0,52721678 0,05%
Simpson
3/8S 0,53109068 0,78%
Simpson
3/8C 0,52759806 0,12%
"Exacta" 0,
b 1,
n 3
h 0,
k xi f(xi)
0 0 0
1 0,
0,
3
2 1,
0,
4
3 1,
0,
4
Problema 2: (Yeison Álvarez)
∫
1
3
2 ln( 3 x ) dx
a) Regla del trapecio simple y compuesto.
Simple
Tenemos que
∫
a
b
f ( x ) dx ≅ ( b − a )
f
a
Dónde:
b − a = 2 , f ( a )= f ( 1 )= 2 ln ( 3.1)= 2 l n ( 3 )=2,
f ( b )− f ( 3 )= 2 ln ( 3.3)= 2 ln ( 9 )=4,
Así ∫
1
3
2 ln ( 3 x ) dx = 2
Compuesta
∫
a
b
f ( x ) dx
h
[
f ( a )+ f ( a + h )++ f ( a + kh ) ++ f ( b ) ]
∫
a
b
f ( x ) dx = 3 h / 8
[
f ( a )+ 3 f
(
2 a + b
)
(
9 + 2 b
)
]
h =
b − a
2 a + b
a + 2 b
f
(
)
=3,2189 f
(
)
=3,8918 ,asi
∫
1
3
2 ln ( 3 x ) dx =
[
]
Compuesto :
∫
a
b
f ( x ) dx =
3 h
h =
b − a
n
Así
∫
1
3
2 ln ( 3 x ) dx =
[ 2,1972+ 3 ( 2,7726+3,2189+4,1589 )+( 2 ∗3,5835+ 4,3944)] ≅ 6,
Problema 3 (Darío Segundo López)
Calcule la integral correspondiente a su número de problema con cada
uno de los métodos indicados abajo:
∫
0
π / 2
1 +sin( x )
dx
a) Regla del trapecio simple y compuesta
La fórmula de integración con la regla del trapecio simple es:
∫
a
b
f ( x ) dx ≈ ( b − a )
f ( a )+ f ( b )
En este caso,
a = 0 , b = π / 2
f ( a )=
1 +sin( 0 )
= 1 , f ( b )=
1 + sin( π / 2 )
Entonces:
∫
0
π / 2
1 +sin( x )
dx ≈ ( π / 2 − 0 )
La fórmula de integración con la regla del trapecio compuesta es:
Hallamos el ancho del intervalo con n = 6
h =
π / 2 − 0
= π / 12
i
Hallamos los valores de x i
x
0
= 0 , x
1
π
, x
2
π
, x
3
π
, x
4
π
, x
5
5 π
, x
6
π
Reemplazamos en la fórmula:
∫
0
π / 2
1 + sen ( x )
dx ≈
π / 12
(
1 + sen ( 0 )
1 + sen ( π / 12 )
1 + sen ( π / 6 )
1 + sen ( π / 4 )
1 + sen ( π / 3 )
1 + sen
∫
0
π / 2
1 + sen ( x )
dx ≈ 1.
b) Regla de Simpson1/3 simple y compuesta
La fórmula de la regla de Simpson 1/3 simple es:
