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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES
- Resuelva en forma analítica el problema de valores iniciales siguientes en el intervalo de
x= 0 a 2:^ dy^ yx^2 1.1 y
dx
, donde y(0)=1. Grafique la solución.
- Utilice el método de Euler con h=0.5 y 0.25, para resolver el problema anterior. Grafique los resultados en la misma grafica para comparar en forma visual la exactitud de los dos tamaños de paso.
- Emplee el método de Heun con h=0.5 para resolver el problema 1. Itere el corrector hasta que s 1%
- Use el método de RK clásico de cuarto orden con h=0.5 para resolver el problema 1
- Repita los problemas 1 ,2,3, 4, pero para el problema de valores iniciales siguiente, en el
intervalo de x=0 a 1,^ dy^ 1 2 x y , y 0 1
dx ^ ^
- Utilice los métodos de a) Euler, b) Heun (sin iteración) para resolver: 2
2 0.5^0
d y t y
dt
,donde y(0)=2 y ’ (0)=
Resuelva de x= 0 a 4, con h= 0.1. Compare los métodos por medio de graficar las soluciones.
- Resuelva el problema siguiente con el método de RK de cuarto orden: 2
2 0.6^8
d y dy y
dx ^ dx ^ ^ .Donde y(0) = 4 y y´(0) = 0. Resuelva de x = 0^ a 5 con h = 0.5.
Grafique sus resultados.
- Resuelva la ecuación que se presenta a continuación, de t = 0 a 3, con h = 0.1, con los
métodos de a) Heun (sin corrector), b) RK de cuarto orden:^ dydt ysen^3 t (^) , y 0 1
- Solucione numéricamente el problema de t = 0 a 3,^ dydt y t^2 y 0 1
Utilice el método RK de cuarto orden, con un tamaño de paso de 0.
- Use los métodos de a) Euler y b) RK de cuarto orden para resolver:
2
dy y e x
dx
dz yz
dx
^
En el rango de x= 0 a 1, con un tamaño de paso de 0,2, con y(0) = 2, y z(0) = 4
- Investigue sobre el enfoque de RK – Fehlberg para llevar a cabo el mismo cálculo del ejemplo 25.12, de x= 0 a 1, con h= 1.
- Haga un programa amistoso para el usuario para el método de Heun con corrector iterativo. Pruébelo para el problema 8
- Desarrolle un programa de computadora para el usuario para el método clásico de RK de cuarto orden. Pruebe el problema 9.
- Realice un programa de computadora para el usuario para sistema de ecuaciones, con el empleo del método RK de cuarto orden. Use este programa en el problema 10.
- El movimiento de un sistema acoplado masa resorte (véase la figura) esta descrito por la ecuación diferencial ordinaria que sigue: 2 2 0 m d x^ c dx kx dt dt
Donde x = desplazamiento desde la posición de equilibrio (m) , t = tiempo (s), m = 20 kg masa, y c = coeficiente de amortiguación (N.s/m). El coeficiente de amortiguamiento c adopta tres valores, 5 (subamortiguado), 40 (amortiguamiento critico), y 200 (sobreamortiguado). La constante del resorte es k = 20 N/m. La velocidad inicial es de cero y el desplazamiento inicial es x = 1 m. Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico durante el periodo de tiempo 0< t < 15. Grafique el desplazamiento versus el tiempo para cada uno de los tres valores del coeficiente de amortiguamiento sobre la misma curva.
- Si se drena agua desde un tanque cilíndrico vertical por medio de abrir una válvula en la base, el líquido fluirá rápido cuando el tanque este lleno y despacio conforme se drene. Como se ve, la tasa a la que el nivel del agua disminuye es: dy (^) k y dt
, donde k es una constante que depende de la forma del agujero y del
área de la sección transversal del tanque y agujero drenaje. La profundidad del agua y se mide en metros y el tiempo en minutos. Si k = 0.06, determine cuanto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3m. Resuelva con la aplicación de la ecuación de Euler y escriba un programa de computadora en Excel. Utilice un paso de 0.5 minutos.
- El siguiente es una ecuación diferencial de segundo orden con valor inicial:
- Para simular una población se utiliza el modelo logístico:
gm ^1 / max
dp k p p p
dt
Donde p= población, kgm = tasa máxima de crecimiento en condiciones ilimitadas, y pmax es la capacidad de carga. Simule la población mundial entre 1950 y 2000, con el empleo de algún método numérico.
- El balance de calor de estado estacionario de una barra se representa como: 2
2 0.15^0
d T T
dx
Investigue una solución analítica para una barra de 10 m con T(0) = 240 y T(10) = 150
22. Use el enfoque de diferencias finitas con x 1 para resolver el problema 21
- Emplee el método de diferencias finitas para resolver: 2
d y dy y x
dx dx
Con las condiciones de frontera y(0) = 5 y y(20) = 8, x 2
- Utilice el método de diferencias finitas para solucionar
(^2 )
2 1 10^273 4 150^0
d T x T T
dx
Obtenga una solución para las condiciones de frontera T(0) = 200 y T(0.5)= 100
x 0.
- Es frecuente que las ecuaciones diferenciales como la del ejercicio 24 se puedan simplificar si se linealizan los términos no lineales. Por ejemplo, para linealizar el término a la cuarta potencia de la ecuación (* , ejercicio 24), se puede usar una expansión en series de Taylor de primer orden; así:
x T x Tb x Tb T Tb
Donde Tb es la temperatura base acerca de la que se linealiza el término. Sustituya esta relación en la ecuación (* ejercicio 24) y luego resuelva la ecuación lineal resultante
con el enfoque de diferencias finitas. Emplee Tb^ ^150 y^ x^ 0.01para obtener
su solución.
- a) Use menores para expandir el determinante de:
b) Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más alto y el vector propio correspondiente, para el inciso a)
- Investigue y emplee el método de potencias para determinar el valor propio más bajo y el vector propio correspondiente para el problema 26.
- Desarrolle un programa de computadora amigable para el usuario para implantar el enfoque de diferencias finitas para resolver una EDO lineal de segundo orden. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 24.
- Desarrolle un programa amistoso para el usuario para encontrar el valor propio más alto con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejercicio 26.
- Desarrolle un programa amistoso para el usuario a fin de resolver el valor propio más pequeño con el método de la potencia. Pruébelo con la duplicación del ejemplo 27
- Emplee la herramienta Solver de Excel para solucionar directamente (es decir, sin linealizacion) el problema 27.6 con el uso del enfoque de diferencias finitas. Emplee
x 0.1 para obtener su solución.
- Use MATLAB para integrar el par siguiente de EDO, de t= 0 a 100
dy 1 0.35 y 1 1.6 y y 1 2 dy 2 0.04 y y 1 2 0.15 y 2
dt^ ^ ^ dt ^
Donde y 1 = 1 y y 2 = 0.05 en t= 0. Desarrolle una gráfica de espacio estacionario (y 1 versus y 2 ) de sus resultados.
- La ecuación diferencial que sigue se utiliza para analizar la vibración de un amortiguador de un auto: 6 2 7 9
d x dx x
dt ^ dt ^
Transforme esta ecuación en un par EDO. a) use Matlab para resolver las ecuaciones, de t=0 a 0.4, para el caso en que x=0.5, y dx/dt = 0 en t = 0. b) Emplee Matlab para determinar los valores y vectores propios para el sistema.
- Use algún código de Matlab para integrar:
a)
dx ax bxy
dt
dy cy dxy
dt
Donde a = 1.5, b = 0.7, c = 0.9 y d = 0.4. Emplee las condiciones iniciales de x = 2 y y = 1 e integre de t = 0 a 30
b)
dx x y
dt
dy rx y xz
dt
dz bz xy
dt
Donde 10 , b = 2.666667 y r = 28. Utilice las condiciones iniciales de x = y = z = 5 e
integre de t = 0 a 20.
- Hombeck (1975) propuso la siguiente EDO parásita no lineal:
dydt 1 5 y 1 t 2
Si la condición inicial es y 1 (0) 0.08, obtenga una solución de t=0 a t=5:
a) Analítica b) Con RK-4 con tamaño de paso constante de 0. c) Investigue el uso de la función ODE45 de Matlab y aplíquelo al problema
- Un balance de masa para un producto químico completamente mezclado en un reactor se escribe así
V dc F Qc kVc^2
dt
Donde V = volumen (12m^3 ), c = concentración (g/m^3 ), F = tasa de alimentación ( g/min), Q = tasa de flujo (1 m^3 /min), y k = tasa de reacción de segundo orden (0. m^3 /g/min). Si c(0) = 0. Resuelva la EDO hasta que la concentración alcance un nivel estable. Use el método de Euler (h = 0.5) y grafique sus resultados. Pregunta adicional : Si se ignora el hecho de que las concentraciones iniciales deben ser positivas, encuentre un rango de condiciones iniciales de modo que se obtenga una trayectoria muy diferente de la que se obtuvo con c(0) = 0. Relacione sus resultados con las soluciones de estado estable.
41. Sí cen cb 1 e 0.12 t ; calcule la concentración en el flujo de salida de una sustancia
conservativa (no reactiva) para un reactor único mezclado completamente, como función del tiempo. Use el método de Heun (sin iteración) para efectuar el cálculo.
Emplee valores de cb 40 mg / m^3 , Q = 6 m^3 /min, V = 100 m^3 , y c 0 = 20 mg/m^3. Haga el
cálculo de t = 0 a 100 min con h = 2. Grafique sus resultados junto con la concentración del flujo de entrada versus tiempo
- Se bombea agua de mar con una concentración de 8000 g/m^3 hacia un tanque bien mezclado, a una tasa de 0.6 m^3 /h. Debido al diseño defectuoso, el agua se evapora del tanque a una tasa de 0.025 m^3 /h. La solución salina abandona el tanque a una tasa de 0.6 m^3 /h. a) Si originalmente el tanque contiene 1 m^3 de la solución que entra, ¿cuánto tiempo después de que se enciende la bomba de salida quedara seco el tanque?
b) Use métodos numéricos para determinar la concentración de sal en el tanque como función del tiempo.
- Un cubo de hielo esférico (una “esfera de hielo”) que mide 6 cm de diámetro es retirada de un congelador a 0oC y colocada en una pantalla de malla a temperatura ambiente To = 20oC. ¿Cuál será el diámetro del cubo de hielo como función del tiempo fuera del congelador (si se supone que toda el agua que se funde gotea de inmediato a través de la pantalla)?. El coeficiente de transferencia de calor h para una esfera en un cuarto tranquilo es alrededor de 3 W/(m^2 .K). El flujo calorífico de la esfera de hielo al aire está dado por: Flujo ^ qA h T (^) o T
Donde q = calor y A = área superficial de la esfera. Use un método numérico para hacer el cálculo. Observe que el calor latente de la fusión es de 333 kJ/kg, y la densidad del hielo es aproximadamente de 0.917 kg/m^3.
- Las ecuaciones siguientes definen la concentración de tres reactivos:
a a c b
b a c b
c a c b c
dc c c c
dt
dc c c c
dt
dc c c c c
dt
Si las condiciones iniciales son de ca = 50, cb = 0 y cc = 40, encuentre las concentraciones para los tiempos de 0 a 3 s.
- El compuesto A se difunde a través de un tubo de 4 cm de largo y reacciona conforme se difunde. La ecuación que gobierna la difusión con la reacción es: 2
D d A kA
dx
En un extremo del tubo se encuentra una fuente grande de A con concentración de 0. M. En el otro extremo del tubo esta un material que absorbe con rapidez cualquier A y hace que la concentración sea 0 M. Si D = 1.5x10-6^ cm^2 /s y k=5x10-6s-1, ¿Cuál es la concentración de A como función de distancia en el tubo?
- En la investigación de un homicidio o de una muerte accidental, con frecuencia es importante estimar el tiempo que ha transcurrido desde la muerte. De observaciones experimentales, se sabe que la temperatura superficial de un objeto cambia con una tasa proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la del ambiente circundante, o temperatura ambiente. Esto se conoce como ley de Newton del enfriamiento. Así, si T(t) es la temperatura del objeto al tiempo t, y Ta es la temperatura ambiente constante:
- El sistema siguiente es un ejemplo clásico de EDO rígidas que ocurre en la solución de una reacción química cinética: (^11 1 )
(^22 )
(^31 1 3 2 )
dc c c c
dt
dc c c
dt
dc c c c c c
dt
Resuelva las ecuaciones de t = 0 a 50, con condiciones iniciales c 1 (0) = c 2 (0) = 1, y c 3 (0) = 0. Si usted tiene acceso al software de MATLAB, INVESTIGUE sobre el uso tanto la función estándar (por ejemplo, ode 45) como la rígida (por ejemplo, ode 23s) para obtener sus soluciones.
- Los modelos depredador presa se desarrollaron de manera independiente en la primera parte del siglo XX, gracias al trabajo del matemático Vito Volterra y del biólogo norteamericano Alfred Lotka. El ejemplo más simple es el siguiente sistema EDO:
dx ax bxy
dt
dy cy dxy
dt
Donde x,y =numero de presas y depredadores, respectivamente, a=razón de crecimiento de la presa, c=razón de muerte del depredador, b y d= razón que caracteriza el efecto de la interacción depredador presa sobre la muerte de la presa y el crecimiento del depredador , respectivamente. Los términos que se multiplican (es decir, los que involucran xy) hacen que las ecuaciones sean no lineales. Resolver el sistema de Lotka-Volterra pero utilice el método de a) Euler , b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos use variables de precisión sencilla, tamaño de paso de 0.1, y simule de t = 0 a
- Elabore graficas de estado-espacio para todos los casos.(a=1.2, b=0.6, c=0.8, d=0.3) , condiciones iniciales x=2, y=1 en t=
- Un modelo sencillo basado en las dinámicas del fluido atmosférico son las ecuaciones de Lorenz:
dx x y
dt
dy rx y xz
dt
dz bz xy
dt
Lorenz desarrolló estas ecuaciones para relacionar la intensidad del movimiento de fluido atmosférico, x, con las variaciones de temperatura, “y” “z” en las direcciones
horizontal y vertical, respectivamente. Analizar el sistema con 10, b 2.6667, r 28.
Emplee como condiciones iniciales x y z 5 , en t=
Resuelva las ecuaciones de Lorenz usando el método de a) Euler, b) Heun (sin iterar el corrector), c) RK de cuarto orden, y d) la función ode 45 de MATLAB. En todos los casos emplee variables de precisión sencilla y un tamaño de paso de 0.1 y simule de t = 0 a 20. Para todos los casos desarrolle graficas de estado – espacio.
- La ecuación siguiente se utiliza para modelar la deflexión de mástil de un bote sujeto a
la fuerza del viento :
(^2 )
d y f L z
dz^ ^ EI
Donde f = fuerza del viento, E = módulo de elasticidad, L = longitud del mástil, e I = momento de inercia. Calcule la deflexión si y = 0 y dy/dz = 0 en z = 0. Para su cálculo utilice valores de parámetro de f = 60, L = 30, E = 1.25 x 10^8 , e I = 0.05.
- Efectúe el mismo calculo que en el problema 52, pero en vez de usar una fuerza del viento constante, emplee una fuerza que varié con la altura de acuerdo con la ecuación f (^) z (^) (^2005) zze^ ^2^ z / 30
- Un ingeniero ambiental está interesado en estimar la mezcla que ocurre entre un lago estratificado y una bahía adyacente (véase la figura inferior). Un trazador conservativo se mezcla instantáneamente con el agua de la bahía y después se monitorea la concentración del trazador durante el periodo que se muestra a continuación en los tres segmentos. Los valores son: t 0 2 4 6 8 12 16 20 c 1 0 15 11 7 6 3 2 1 c 2 0 3 5 7 7 6 4 2 c 3 100 48 26 16 10 4 3 2
Con el empleo de balances de masa, el sistema puede modelarse con las EDO simultáneas siguientes:
1 1 1 12 2 1 3 3 1
2 2 2 1 2
3 3 3 1 3
i
i
i
V dc Qc E c c E c c
dt
V dc E c c
dt
V dc E c c
dt
Donde V 1 = volumen del segmento i, Q = flujo y Eij = la tasa de mezcla difusiva entre los segmentos i y j. utilice los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V 1 = 1 x 10^7 , V 2 = 8 x 10^6 , V 3 = 5 x 10^6 y Q = 4 x 10^6. Para su análisis, emplee el método de Euler con tamaño de paso de 0.1.
0.5 años. Emplee valores de G = 10-5^ por persona-año y pmax = 20000 personas. Al tiempo t = 0, la isla tiene una población de 6000 personas. Grafique p versus t e interprete la forma de la curva.
- El parque nacional Isla Royal es un archipiélago de 210 millas cuadradas compuesto de una sola isla grande y muchas pequeñas, en el lago Superior. Alrededor de 1900 llegaron alces y hacia 1930, su población se acercaba a 3000, por lo que devastaban la vegetación. En 1949, los lobos cruzaron un puente de hielo desde Ontario. Desde finales de la década de 1950, se registran los números de alces y lobos, como se muestra a continuación. (Un guion indica que no hay datos). Año Alces Lobos Año Alces Lobos 1960 700 22 1972 836 23 1961 - 22 1973 802 24 1962 - 23 1974 815 30 1963 - 20 1975 778 41 1964 - 25 1976 641 43 1965 - 28 1977 507 33 1966 881 24 1978 543 40 1967 - 22 1979 675 42 1968 1000 22 1980 577 50 1969 1150 17 1981 570 30 1970 966 18 1982 590 13 1971 674 20 1983 811 23 a) Integre las ecuaciones de Lotka-Volterra de 1960 a 2020, determine los valores de los coeficientes que arrojan un ajuste óptimo. Compare su simulación con los datos que usan un enfoque de series de tiempo y comente los resultados. b) Grafique la simulación de a) pero emplee un enfoque de estado-espacio. c) Después de 1993, suponga que los administradores de la vida silvestre atrapan un lobo por año y lo llevan fuera de la isla. Pronostique cómo evolucionaría tanto la población de lobos como de alces hacia el año 2020. Presente sus resultados tanto como una serie de tiempo como una gráfica de estado-espacio. Para este caso, así como para el inciso d) use los coeficientes que siguen: a = 0.3, b = 0.01111, c = 0.2106, d = 0.0002632.
- Un cable cuelga de dos apoyos en A y B (véase la figura inferior). El cable sostiene una carga distribuida cuya magnitud varía con x según la ecuación.
o^1
A
w w sen x
l
^ ^
Donde wo = 1000 lbs/ft. La pendiente del cable (dy/dx) = 0 en x = 0, que es el punto más bajo del cable. También es el punto donde la tensión del cable alcanza un mínimo de To. La ecuación diferencial que gobierna el cable es: 2
2 o^ o^1 2 A
d y w sen x
dx T l
^ ^
^
Resuelva esta ecuación con el uso de un método numérico y grafique la forma del cable (y versus x). Para la solución numérica se desconoce el valor de To, por lo que la solución debe utilizar una técnica iterativa, similar al método del disparo, para converger en un valor correcto de hA para distintos valores de To
- La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga volada (véase la figura en la parte inferior) está dada por:
2 2
El d y P L x
dx ^
Donde E = módulo de elasticidad e I = momento de inercia. Resuelva para la deflexión de la viga con el empleo de un método numérico. Se aplican los valores siguientes de parámetro: E = 30000 ksi, I = 800 in^4 , P = 1 kip, L = 10ft. Compare sus resultados numéricos con la solución analítica. 2 3
y PLx^ Px
EI EI
- La ecuación diferencial básica de la curva elástica para una viga con carga uniforme (véase la figura en parte inferior) está dada por:
- Los ingenieros y científicos utilizan modelos masa-resorte para entender la dinámica de las estructuras sujetas a la influencia de disturbios, tales como terremotos. En la figura de la parte inferior se ilustra una representación como estas para un edificio de tres plantas. En este caso, el análisis se limita al movimiento horizontal de la estructura. Los balances de fuerza que se desarrollan para este sistema son los siguientes.
(^1 2 21 ) 1 1 (^21 2 3 22 ) 2 2 2 (^3 2 ) 3 3
k k w X k X
m m
k X k k w X k X
m m m
k X k w X
m m
^
^
Determine los valores y vectores propios y represente en forma gráfica los modos de vibración de la estructura por medio de dibujar las amplitudes versus la altura para cada uno de los vectores propios. Normalice las amplitudes de modo que el desplazamiento del tercer piso sea igual a uno. .63. Son comunes los circuitos eléctricos en los que la corriente varia con el tiempo, en lugar de permanecer constante. Cuando se cierra súbitamente el interruptor, se
establece una corriente transitoria en el lado derecho del circuito que se muestra en la figura inferior. Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura , se basa en las leyes Kirchohoff, que establecen que la suma algebraica de las caídas
de tensión alrededor de un ciclo cerrado es cero. Asi: L di^ Ri q E t ( ) 0
dt c
(63.1)donde L dtdi es la caída de voltaje a través del inductor , L=inductancia,
R=resistencia, q= carga del capacitor, C=capacitancia, E(t)= fuente de voltaje
variable en el tiempo , además i dqdt (63.2).
Las ecuaciones (63.1) y (63.2) son un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver analíticamente, por ejemplo si
E t ( ) E sen 0 t , R 0 , la solucion exacta es:
(^0 2 )
q t E^ sen pt E sen t
L p p^ L p
Donde p 1 / LC , los valores de q y dq/dt son cero para t=0. Use un
procedimiento numérico para resolver las ecuaciones (63.1) y (63.2) y compare los
resultados con la solución analítica, suponga que L=1, E 0 =1, C=0.25 ,^2 3.
Resuelva el sistema anterior de t = 0 a 0.5, si q = 0.1 e i = -3.281515 en t = 0. Utilice un valor de R = 50 y los mismos parámetros indicados.
- Para un circuito sencillo RL, la ley de Kirchoff del voltaje requiere que (si se cumple la ley de ohm).
L dt^ di Ri 0
Donde i = corriente, L = inductancia y R = resistencia. Resuelva para i, si L = 1, R = 1.5 e i(0) = 0.5. Resuelva este problema en forma analítica y con algún método numérico. Presente sus resultados en forma gráfica.
- En contraste con el problema 64, las resistencias reales no siempre siguen la ley de ohm. Por ejemplo, la caída del voltaje quizá sea no lineal y la dinámica del circuito quede descrita por una relación como la siguiente. 3
L dt^ di^ R Ii^ Ii 0
^
Donde todos los demás parámetros se definen como el problema 64 e I es una corriente conocida de referencia e igual a 1. Resuelva para i como función del tiempo en las mismas condiciones que se especifican para el problema 64.
donde 0 es el desplazamiento en t=0, y se supone la velocidad ( v d
dt
) es cero
en t=0. Al tiempo requerido por el péndulo para un ciclo completo de oscilación se le
llama “periodo” y esta dado por: T 2 l
g
Solución numérica: Las suposiciones hechas en la solución analítica de la EDO, nos llevan a concluir que no es una solución exacta, para alcanzar la exactitud debemos usar un método numérico. Para resolverla se puede usar el método de Euler o RK- previamente convirtiendo la ecuación en un sistema EDO:
d v
dt
dv g sen
dt l
Resuelva el sistema EDO con 0 2
l ft para un péndulo de 1 m de longitud y
luego compare con la solucion numérica del problema lineal con las mismas
condiciones iniciales usando el método RK-4 y Euler, t 0.
- En la sección 8.4 se presenta una ecuación diferencial de segundo orden que se utiliza para analizar las oscilaciones no forzadas de un amortiguador de auto. Dado que m = 1.2 x 10^6 g, c = 1 x 10 7 g/s, y k = 1.25 x 10^9 g/s^2 , use algún método numérico para resolver cual es el caso en que x(0) = 0.4 y dx (0)/dt = 0.0. Resuelva para ambos desplazamientos y la velocidad de t = 0 a 0.5 s
- La tasa de enfriamiento de un cuerpo se expresa como : dTdt k T Ta
Donde T = temperatura del cuerpo (oC), Ta = temperatura del medio circundante (oC) y k = constante de proporcionalidad (min-1). Así, esta ecuación especifica que la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de la temperatura del cuerpo y del ambiente circundante. Si una bola de metal se calienta a 90 oC y se sumerge en agua que se mantiene a un valor constante de Ta = 20oC, utilice un método numérico para calcular el tiempo que toma que la bola se enfrié a 40 oC, si k = 0.25 min-1.
- La tasa de flujo calorífico (conducción) entre dos puntos de un cilindro calentado por un extremo está dada por:
dQ AdT
dt ^ dx
Donde = una constante, A = área de la sección transversal del cilindro, Q = flujo calorífico, T = temperatura, t = tiempo, y x = distancia a partir del extremo calentado. Debido a que la ecuación involucra dos derivadas, la ecuación se simplificara haciendo que
(^100) 20
dT^ L^ x^ t
dx xt
^
Donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de
calor de t = 0 a 25 s. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son 0.
cal.cm/s, A = 12 cm^2 , L = 20 cm, y x = 2.5 cm. Grafique sus resultados.
- La ecuación diferencial ordinaria siguiente describe el movimiento de un sistema amortiguado resorte – masa (véase la figura en la parte inferior): (^23)
m d x^ a dx dx bx
dt^ ^ dt dt ^
Donde x = desplazamiento a partir de la posición de equilibrio, t = tiempo, m = 1 kg masa, y a = 5N/(m/s)^2. El término de amortiguamiento es no lineal y representa el amortiguamiento del aire. El resorte es un resorte cubico y también es no lineal con b = 5 N/m^3. Las condiciones iniciales son:
Velocidad inicial^ dxdt 0.5m/s
Desplazamiento inicial x 1 m
Resuelva esta ecuación con algún método para el periodo de tiempo o < t < 8 s. Grafique el desplazamiento y la velocidad versus el tiempo, y grafique el retrato fase
- plano (velocidad versus desplazamiento) para todos los casos siguientes. a) Ecuación lineal similar 2
m d x^ dx x
dt^ ^ dt ^
b) La ecuación no lineal con solo un término de resorte no lineal (^23)
d x dx bx
dt^ ^ dt ^
c) La ecuación no lineal con solo un término de amortiguamiento no lineal 2
m d x^ a dx dx x
dt^ ^ dt dt ^
d) La ecuación por completo no lineal en la que tanto el término de amortiguamiento como el de resorte son no lineales. (^23)
m d x^ a dx dx bx
dt dt dt
