explicacion de una CMTD, Apuntes de Matemáticas

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Distribuciones

TRANSITORIAS

[ PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA ]

SEMANA 4

2 [ POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO ]

LECTURA UNO: DISTRIBUCIONES TRANSITORIAS

Recordemos que en la sección anterior se explicó cómo definir una Cadena de Markov en Tiempo Discreto (CMTD): debíamos definir una variable de estados, un espacio de estados con los valores que podía tomar dicha variable, un grafo de probabilidades de estado y una matriz de probabilidades de transición de un paso. A partir de esta información, podíamos predecir probabilísticamente el estado de la variable en el siguiente paso. La cuestión sería entonces: ¿Cómo predecir el estado de la variable para pasos posteriores al! + 1? Para responder a esta pregunta, en esta sección del módulo nos enfocaremos en la Distribución Transitoria , es decir, la distribución de !! para cualquier! ≥ 0. Ahora, siendo !!,! ≥ 0 una CMTD homogénea con espacio de estados! = { 1 , 2 , … , !} y matriz de probabilidades de estado ℙ , entonces esta matriz podrá tener un vector de distribución inicial! = [!!, !!, … , !!], donde: !! =! !! =! ,! ≤! ≤! Con esta distribución transitoria buscamos encontrar !(!! = !) para todo! ∈ !, y! ≥ 0. Para ello tenemos que: ! !! =! =! !! =! !! =!! !! =! ! !!! = !!! !! =! !! =! ! !!! Dado que contamos con la distribución inicial, nos basta con estudiar la probabilidad condicional! !! =! !! =!. A este valor se le conoce como la probabilidad de transición de n pasos de la CMTD. Al igual que en la sección anterior, utilizaremos una notación resumida: !!(!)^ =! !! =! !!"(!)^ =! !! =! !! =! De forma análoga a la sección anterior, construiremos una matriz de probabilidades de transición de n pasos: ℙ(!)^ =

!!,!(!)^ !!,!(!)^ … !!,!(!)

!!,!(!)^ !!,!(!)^ … !!,!(!)

!!,!(!)^ !!,!(!)^ … !!,!(!)

Observemos los dos primeros casos (ℙ(!)^ y ℙ(!)): !!"(!)^ =! !! =! !! =! =

Lo que quiere decir que ℙ(!)^ =! Así mismo, !!"(!)^ =! !! =! !! =! = !!" Y por lo tanto: ℙ(!)^ = ℙ

4 [ POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO ]

y distribución inicial! = [ 0. 2 , 0. 3 , 0. 5 ]. Calcule la distribución transitoria para !!. De acuerdo a la forma matricial, podemos calcular: !(!)^ = !ℙ(!) = 0. 2 , 0. 3 , 0. 5 ∗

! = [!. !"#", !. !"#$, !. !"#$]. Ejemplo Dos: En cierto almacén de electrodomésticos hay dos vendedoras de televisores LCD, las cuales realizan sus ventas de manera independiente. De acuerdo a un estudio de ventas, se sabe que cada una de ellas realiza máximo una venta por día. Vendedora uno, vende con probabilidad de 1/ Vendedora dos, vende con probabilidad de 1/3. Al inicio de cada día, la bodega siempre tiene dos televisores. Modele el sistema como una CMTD. !! : Número de televisores en la bodega al final del día n. ! = { 0 , 1 , 2 } Para construir la matriz ℙ , debemos encontrar cada una de las probabilidades de transición primero: !!,! =!! 1 !"#$% ∗!! 2 !"!"# = 1 2 ∗ 1 3 =!^! !!,! =!! 1 !"#$% ∗!! 2 !" !"#$% +!! 1 !" !"#$% ∗!! 2 !"#$% = 1 2 ∗ 2 3 + 1 2 ∗ 1 3 =!^! !!,! =!! 1 !" !"#$% ∗!! 2 !" !"#$% = 1 2

=!^

!!,! =!! 1 !"#$% ∗!! 2 !"#$% = 1 2 ∗ 1 3 =!^!

= 1 2 ∗ 2 3 + 1 2 ∗ 1 3 =!^!

!!,! =!! 1 !" !"#$% ∗!! 2 !" !"#$% = 1 2 ∗ 2 3 =!^!

!!,! =!! 1 !"#$% ∗!! 2 !"#$% = 1 2 ∗ 1 3 =!^!

= 1 2 ∗ 2 3 + 1 2 ∗ 1 3 =!^!

!!,! =!! 1 !" !"#$% ∗!! 2 !" !"#$% = 1 2 ∗ 2 3 =!^ !.

De tal manera que la matriz ℙ queda de la siguiente manera: ℙ =

Observe que sin importar el día anterior, la probabilidad de terminar con 0, 1 ó 2 televisores al final del día es la misma siempre. ¿Cuál es la probabilidad de que al final del segundo día la bodega no tenga televisores?

[ PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA ] 5

! !! = 0 = !(!)^ = !ℙ(!)^ = !ℙ!

Puesto que todas las filas tienen las mismas probabilidades, no importa a que potencia yo eleve esta matriz, siempre tendrá los mismos valores: ℙ = ℙ! !ℙ!^ = 1 6 , 1 2 , 1 3 ∗

=!^! ,!^! ,!^!

Otra forma podría ser, usando directamente las ecuaciones de Chapman-­‐Kolmogorov: ! !! = 0 = !!,!(!!!)!!,! ! !!! = !!,! ∗ !!,! + !!,! ∗ !!,! + !!,! ∗ !!,! = 1 6 ∗ 1 6 + 1 2 ∗ 1 6 + 1 2 ∗ (^1 ) =!^ !

Lo que quiere decir que la probabilidad de que al final del día dos la bodega no tenga televisores es de 1/6. Ejemplo Tres: Sea !!,! ≥ 0 una CMTD caracterizada por la siguiente matriz de probabilidades de transición y el siguiente vector de distribución inicial: ℙ =

Para encontrar la probabilidad de estar en cada estado! en el segundo paso (! = 2 ), debemos calcular el vector transitorio correspondiente: !(!)^ = !ℙ(!)^ = 0. 5 , 0 , 0 , 0. 5

b.! !! = 5 , !! = 2. Hallar la probabilidad conjunta de que en el paso cuatro no encontremos en el estado cinco y que a su vez en el paso dos hayamos pasado por el estado dos, implica dos cosas principalmente: que primero debemos encontrar la probabilidad de estar en el estado dos en el paso dos, y segundo, calcular la probabilidad de estar en el estado cinco en el paso cuatro dado