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Documento que presenta el cálculo del factor de desempeño, probabilidades y tiempos de espera en un sistema M/M/1 de Teoría de Colas, donde un lavacarro atiende a autos con una media de llegadas de 9 unidades por hora y una media de servicio de 5 minutos entre clientes. El documento incluye la solución detallada y referencias a artículos relacionados.
Tipo: Tesis
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1.- Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema
a) Calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ b) La probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes c) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola d) La probabilidad de esperar más de 30 minutos en el Sistema
Solución: Se conoce la siguiente información:
λ = 9 clientes/ hora (media de servicio a los clientes) = 0.15 clientes/ minutos μ = 0.2 clientes/ minutos (media de llegada de los clientes)
a) Vamos a calcular el factor de desempeño del sistema calculando ρ
ρ=
𝜇 =^
0.20 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒/𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 0.75 = 75%
El sistema está ocupado el 75% del tiempo. Por lo tanto un 25% ocioso. Es decir la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema es cuando el sistema está vacío y esto puede ocurrir con una probabilidad del 25%. Su cálculo puede hacerse directamente con la fórmula:
ρ0 = (1 −
μ
) (^) (
𝜆 μ
)
0 = (1 −
) (^) = 0.25 = 25%
ρ^0 = (1 −
μ)^ (
𝜆 μ
)
0 = (0.25) (0.75)^2 = 0.
ρ^1 = (1 −
μ)^ (
𝜆 μ
)
0 = (0.25) (0.75)^1 = 0.
ρ^2 = (1 −
μ)^ (
𝜆 μ
)
0 = (0.25) (0.75)^2 = 0.
ρ^3 = (1 −
μ
) (^) (
𝜆 μ
)
0 = (0.25) (0.75)^3 = 0.
Conclusion: El planteamiento que se utilizó para el estudio de la línea de esperas, sirve como plataforma o modelo para realizar trabajos posteriores que relacionen las mismas variables de entrada y de respuesta. También, con el objetivo de obtener razones cuantitativas para la toma de decisiones, se puede recurrir a esta metodología si se desea llevar a cabo más adelante una investigación donde se sospeche que las características en el sistema de colas inicialmente encontradas han cambiado. Los modelos cuantitativos aplicados en este trabajo son muy adecuados como soporte para la toma de decisiones, ayudando al mejoramiento de los procesos de atención al cliente. De este modo se convierten en una vía para la obtención de ventajas competitivas de empresas prestadoras de servicios, donde el ambiente que rodea la entrega del producto es el que genera el valor agregado que perciben los clientes.
Bibliografía
51
REVISTA Universidad EAFIT Vol. 44. No. 150. 2008. pp. 51-
Aplicación de teoría de colas
en una entidad financiera: herramienta para el mejoramiento de los procesos de atención al cliente
R e c e p c i ó n : 2 2 d e e n e r o d e 2 0 0 8 I A c e p t a c i ó n : 0 9 d e m a y o d e 2 0 0 8
R a l a
Resumen
Las entidades financieras, como empresas prestadoras de servicios, saben que además de ofrecer diferentes alternativas en sus portafolios de productos y servicios para cada segmento del mercado, cobra mucha relevancia la manera como hacen entrega de ellos a los clientes. El diseño de las instalaciones, la calidad del personal que está en contacto con los clientes y la confortabilidad de estos, son algunos de dichos aspectos. El último de ellos se ve en gran medida reflejado en el tiempo transcurrido entre el momento de la solicitud del servicio por parte del cliente y aquel en que realmente se lleva a cabo de manera efectiva. El trabajo que aquí se presenta, muestra la aplicación de una herramienta de la Investigación de Operaciones (IO) como la teoría de colas, la cual busca modelar los procesos de líneas de espera, aplicado en una entidad financiera que posee problemas para la atención de sus clientes en la agencia principal, especialmente en la variable tiempo de atención al cliente.
Fredy Alexander Gómez Jiménez Máster Ingeniería Administrativa (C), Universidad Nacional de Colombia. [email protected]
Palabras Clave Investigación de operaciones (IO) Teoría de colas Atención al cliente
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del modelo propuesto de la teoría de colas, el cual, a través de la información obtenida en la caracterización, mostró el número óptimo de promotores que ofrecerían un tiempo determinado de espera de los clientes con una eficiencia aceptable para la empresa.
1. Caracterización del Sistema Servicio
El punto de partida fue clasificar el comportamiento de los usuarios a la llegada a la agencia, durante todos los días de la semana y las horas hábiles del día, dependiendo de la tasa de arribo de los clientes. Para evitar datos sesgados, los días que se tuvieron en cuenta para la recolección de las muestras en la base de datos cumplieron las siguientes características:
Las horas habilitadas para el estudio fueron aquellas en la que la agencia permanece abierta, es decir, de lunes a viernes de 8:00 am a 11:30 am, de 2: pm a 4:00 pm y de 5:00 pm. a 6:30 pm.
1.1 Arribo de los clientes a la agencia
Para examinar el comportamiento de llegada de los clientes a la agencia, se tuvo en cuenta la condición explicada en el apartado anterior: se observó la conducta de la afluencia de los clientes durante los días de la semana y a diferentes horas del día. Con respecto a los intervalos de tiempo para un día en particular, estos fueron elegidos a partir de un muestreo piloto y con información suministrada por el personal de la agencia según el flujo de personas que ocurría en el transcurso del día. Se pueden resumir y clasificar así:
Intervalo I: 8:00 am – 10:00 am Intervalo II: 10:00 am – 11:30 am Intervalo III: 2:00 pm – 4:00 pm Intervalo IV: 5:00 pm – 6: 30 pm
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La Tabla 1 permite apreciar el tiempo promedio entre llegada de los clientes (la inversa de la tasa de llegada) para los diferentes días-horas de la semana luego de recolectar 10 muestras para cada caso. En el eje horizontal se muestran los intervalos de horas elegidos y en el vertical los días de la semana.
Tabla 1. Tiempo entre llegada para diferente hora-día
Días
Intervalos de horas I II III IV Lunes 3.67 3.78 1.16 2. Martes 5.10 1.93 1.97 3. Miércoles 4.18 1.45 2.04 3. Jueves 4.87 3.73 2.22 4. Viernes 3.80 2.63 2.91 1.
A su vez, la Figura 1 muestra gráficamente los datos correspondientes a la Tabla 1. Como queda ilustrado, no hay ningún aparente predominio de cualquiera de los días (las líneas se cruzan entre sí).
Figura 1. Tiempo entre llegadas para diferente hora-día
Es visible, sí, una clara diferencia entre los respectivos intervalos de hora, lo que hace pensar que las discrepancias se presentan por la hora del día y no por el día de la semana. El paso siguiente se centra en realizar pruebas de hipótesis que comparen los promedios encontrados y nos corroboren su igualdad o diferencia.
Dado que los tiempos entre llegadas no suelen poseer distribuciones de probabilidad normal sino exponencial (Taha, 1995), (como de hecho se verificará más adelante), con el objetivo de confirmar la sospecha enunciada, se plantea una prueba de hipótesis no paramétrica llamada Kruskal-Wallis, la cual compara el valor de las
Tiempo entre llegada
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Como se puede ver en esta tabla, se descarta la hipótesis de que las medias son iguales y, en consecuencia, se concluye que hay diferencia entre las medias hora-día de la semana. Posteriormente se procede a buscar dentro dichas diferencias, cuales son semejantes y cuales son diferentes, es decir, se buscarán grupos semejantes mediante la metodología de las comparaciones múltiples.
1.1.3 Comparaciones múltiples
Como en la situación descrita se desestimó la hipótesis acerca de la igualdad de las distribuciones poblacionales, fue necesario realizar contrastes a posteriori que determinaran o precisaran entre qué muestras existían las diferencias significativas que provocaban el rechazo de la hipótesis nula del contraste de Kruskal-Wallis (Universidad de Málaga, 2004). El procedimiento consistió en los siguientes pasos:
Donde es el rango medio de la muestra i, es decir,
1.1.4 Cálculos realizados y comparaciones múltiples
Al igual que para los cálculos de la prueba Kruskal-Wallis en el numeral 1.1.1, las diferencias entre los rangos se ejecutaron en un macro de Excel. Los respectivos resultados se presentan a continuación, según los pasos descritos en el numeral 1.1.3.
Z1-a = Z1-0.0001 = Z1-0 = 0.
El siguiente paso consistió en calcular las diferencias entre ( i = 1, 2..., 20 y j = 1, 2...
Tabla 4. Valores de los rangos promedios para las horas-días de la semana
Día - Hora Rango Prom. Valor Día - Hora Rango Prom. Valor Lunes I (^) R 1 111,9 Miérc. III (^) R 11 84, Lunes II (^) R 2 109.65 Miérc. IV (^) R 12 105, Lunes III R 3 63,85 Jueves I R 13 132, Lunes IV (^) R 4 95,8 Jueves II (^) R 14 113, Martes I (^) R 5 124,2 Jueves III (^) R 15 85, Martes II (^) R 6 85,85 Jueves IV (^) R 16 117, Martes III (^) R 7 81,95 Viernes I (^) R 17 114, Martes IV (^) R 8 107,9 Viernes II (^) R 18 102, Miércoles I R 9 117 Viernes III R 19 108, Miércoles II (^) R 10 64,25 Viernes IV (^) R 20 83,
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Después de analizar la Tabla 4 y aplicar la regla de decisión, > ∆ij = 21.78, se establecieron dos grupos que se observan en la Tabla 5, de acuerdo con la tasa de llegada de clientes a la agencia
Tabla 5. Grupos encontrados mediante comparaciones múltiples
Grupo 1 Grupo 2 Lunes I Lunes II Lunes IV Martes I Martes IV Miércoles I Miércoles IV Jueves I Jueves II Jueves IV Viernes I Viernes II Viernes III
Lunes III Martes III Martes II Miércoles II Miércoles III Viernes IV Jueves III
De tales resultados se coligió que el comportamiento de llegada de los clientes a la agencia donde se realizó el estudio provenía principalmente de dos poblaciones, es decir, en el transcurso de la semana, la agencia posee dos comportamientos diferentes en el volumen de llegada de los usuarios. Es claro, entonces, el predominio de los intervalos II y III en el grupo 2, es decir, entre las 10:00 am y las 4:00 pm, y el predominio de los intervalos I y IV en el grupo I, entre las 8:00 am y 10:00 am y entre las 5:00 pm y las 7:00 pm.
Con los dos grupos identificados, la tarea a seguir se centra en determinar para cada grupo su distribución de probabilidad y la media correspondiente, de modo que se determine los parámetros necesarios para el modelo de colas. Las pruebas de bondad y ajuste son herramientas estadísticas que ayudarán a cumplir este objetivo (Montgomery, 1996).
1.2 Prueba bondad y ajuste: distribución de probabilidad del Grupo 1
Con la idea de examinar la distribución de los dos grupos que se lograron identificar, en este apartado se reseña una prueba de bondad y ajuste para el Grupo 1. Para este caso se tomó una muestra de 130 datos. El histograma correspondiente se muestra en la Figura 2.
Figura 2. Histograma de frecuencias, Grupo 1
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Figura 4. Histograma de frecuencias. Tiempo de servicio
Como el valor P calculado en Statgraphic fue 0.450564, mayor que 0.05, se acepta la hipótesis de que los datos se distribuyen de manera exponencial con una media de 9.85 minutos.
2. Aplicación del Modelo Teoría de Colas
Una vez identificado el comportamiento de la llegada de los clientes a la agencia, a través de las días-horas de la semana, y después de haber calculado el tiempo promedio de servicio y su distribución de probabilidad, se está en capacidad de aplicar la herramienta utilizada en el campo de la Investigación de Operaciones para realizar análisis a las líneas de espera: la teoría de colas.
2.1 Teoría de colas
Desde el punto de vista de un modelo de espera o cola, una situación de línea de espera se genera de la manera siguiente: cuando el cliente llega a la agencia se forma en una línea de espera o cola; el promotor elige a una de las personas que esperan para comenzar a prestar el servicio (sistema primero en llegar, primero en salir). Al culminar un servicio, se repite el proceso de llamar a un nuevo usuario (que espera en la fila). Se supone que no se pierde tiempo entre el momento en que un cliente ya atendido sale de la instalación y la recepción de uno nuevo de la línea de espera.
2.1.1 Nomenclatura y definiciones. Caso: 1 fila S servidores
Con el fin de de manejar un lenguaje común y facilitar la compresión del análisis y las con- clusiones posteriores, es importante aclarar de manera inicial la nomenclatura que se utilizó para este tipo de modelo:
λ : Tasa promedio de llegadas en la unidad de tiempo 1 / λ : Tiempo ente llegadas de los clientes μ : Tasa promedio de servicio 1 / μ: Tiempo de servicio S : Número de servidores
Como es de suponerse, la codificación que se aplicó fue la M/M/S, según la notación Kendall (Hillier & Lieberman,1997), debido a que los tiempos entre llegada y el lapso de servicio poseen distribución exponencial, ya que cada una de las Tasas de llegada y de servicio poseen distribución Poisson. El número de canales o servidores, S, varía entre tres y seis según la infraestructura de la agencia.
En el modelo M/M/S, si μ es la tasa promedio de servicio para cada uno de los S canales de servicio, Sμ debe ser mayor que λ para evitar una acumulación indefinida de unidades en espera.
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Para analizar la operación de colas, con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema, se pueden usar las medidas de desempeño para un estado estable de líneas de espera. Por eso, a continuación se expone la definición teórica y matemática de tales medidas de desempeño:
L q = número esperado de clientes en la fila ⇒
Dónde:
y
W = Tiempo estimado de espera en el sistema ⇒
Wq = Tiempo estimado de espera en la fila ⇒
2.1.2 Aplicativo de Teoría de colas
Con el propósito de facilitar el cálculo de cada uno de los valores de interés mostrados en las ecuaciones de la teoría de colas, se realizó un macro en el programa Microsoft Excel. Este macro posee las fórmulas presentadas en el numeral anterior y sus variables de entrada son λ (lambda), μ (miu) y S (número de servidores). El macro presenta o tiene como variables de salida los siguientes parámetros: W (Tiempo promedio en el sistema) y Wq (Tiempo promedio en Cola).
2.1.3 Modelo de nivel de aceptación para la elección del número óptimo de promotores
A pesar de que se tiene la capacidad de determinar el tiempo promedio que un cliente puede esperar en una fila para un número determinado de
promotores en la barra, aún se debe responder dos preguntas importantes: ¿Cuánto le cuesta a la empresa disponer de un número elevado de promotores logrando un tiempo muy pequeño o nulo de espera de los clientes, sacrificando la eficiencia de la agencia? y ¿Cuánto está dis- puesto un cliente a esperar en una fila antes de abandonarla o antes de que cambie su estado de ánimo? El modelo de nivel de aceptación permite evaluar estas dos variables de forma que los clientes esperen un tiempo prudencial sin que la empresa sacrifique eficiencia en la utilización de sus recursos.
El modelo de nivel de aceptación reconoce la dificultad de estimar los parámetros de costo (debido a que es muy difícil, para la toma de decisiones, conocer el costo de espera de un cliente) y, por tanto, está basado en un análisis más directo. Emplea concretamente las características de operación de sistema al decidir sobre los valores óptimos de los parámetros de diseño (Taha,1995).
En el modelo de servidores múltiples, donde se requiere determinar el valor óptimo del número S de promotores(servidores), las dos medidas en conflicto pueden tomarse como:
W = Tiempo promedio de espera en el sistema X = Porcentaje de tiempo inactivo de los pro- motores
Estas dos medidas reflejan las aceptaciones del cliente y del promotor. Se toman α y β como los niveles de aceptación para W y X. Entonces, el modelo de aceptación puede expresarse matemáticamente como sigue.
Determinar el número S de servidores tal que
W ≤ α y X ≤ β
La expresión para W se conoce de los análisis realizados en la sección inmediatamente anterior. La expresión para X, de eficiencia del sistema, está dada por:
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Conclusiones El planteamiento que se utilizó para el estudio de la línea de esperas, sirve como plataforma o modelo para realizar trabajos posteriores que relacionen las mismas variables de entrada y de respuesta. También, con el objetivo de obtener razones cuantitativas para la toma de decisiones, se puede recurrir a esta metodología si se desea llevar a cabo más adelante una investigación donde se sospeche que las características en el sistema de colas inicialmente encontradas han cambiado.
Los modelos cuantitativos aplicados en este trabajo son muy adecuados como soporte para la toma de decisiones, ayudando al mejoramiento de los procesos de atención al cliente. De este modo se convierten en una vía para la obtención de ventajas competitivas de empresas prestadoras de servicios, donde el ambiente que rodea la entrega del producto es el que genera el valor agregado que perciben los clientes.
Las colas que se presentan en el transcurso de los procesos de atención al usuario, indudablemente, tienen un modus operandi dependiendo de los días y las horas en que ocurre el evento; es deber de las empresas, pues, obtener el modelo de dicho comportamiento para adecuar su sistema de atención. En caso contrario o si se hace caso omiso a dicho modus operandis, las empresas desperdiciarán recursos valiosos, disminuyendo la eficiencia global de la empresa. En nuestro caso, para el grupo 1 se determinó que utilizando 3 promotores, en promedio los clientes estarán 30 minutos en promedio desde que entran a la agencia hasta que la abandonan, permitiendo aumentar la eficiencia de utilización de los recursos de la agencia, esto siempre y cuando los supuestos del modelo permanezcan constantes.
Agradecimientos
Agradecimientos a Confiar Cooperativa Financiera por permitir la realización de investigaciones aplicadas para el mejoramiento de los procesos internos, contribuyendo a la relación universidad- empresa en nuestro medio. Así mismo a los evaluadores del artículo que contribuyeron significativamente al mejoramiento del mismo.
63
Correa, Emilia. (1997). Problemas de análisis de varianza y estadística no paramétrica implementadas en el SAS. Medellín: Universidad Nacional de Colombia, 71 p.
Daves, Roscoe K. (1986). Modelos cuantitativos para administración. México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, 748 p.
Dyner R, Isaac. (1993). Dinámica de sistemas y simulación continúa en el proceso de planificación. Medellín: Colciencias, 160 p.
Hillier, F. S. y Lieberman, G. J. (1997). Introducción a la investigación de Opera- ciones. (6 o^ ed.). México, D.F.: Mc Graw Hill, 998 p.
Montgomery, D. C. (1996). Probabilidad y estadística aplicada a la ingeniería. México, D.F.: McGraw-hill, 895 p.
_____________ (1991). Diseño y análisis de experimentos. México, D.F.: Grupo Editorial Iberoamérica, 589 p.
Bibliografía
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Taha, Mandy. (1995). Investigación de opera- ciones. (5ª ed.). México, D.F.: Alfaomega, 960 p.
Universidad de Málaga (2004). Versión elec- trónica del manual de la Universidad de Málaga: Bioéstadística: Métodos y Apli- caciones. Facultad de Medicina. http://ftp. medprev.uma.es/libro/node157.htm (Consul- ta Agosto 2004).
GÓMEZ J., F. A. | Aplicación de Teoría de Colas en una entidad financiera...
