Grado en Biolog
´
ıa Tema 2
Funciones de una variable
Secci´
on 2.6: Aproximaci´
on de funciones. Polinomio de Taylor.
Aproximaci´on lineal.
La aproximaci´on lineal de una funci´on y=f(x) en un punto x=aes la recta tangente. Como
su pendiente es f0(a) la ecuaci´on de la recta tangente es y−f(a) = f0(a)(x−a).Entonces,
y=f(a) + f0(a)(x−a)
es la aproximaci´on lineal de y=f(x) en x=a.
Ejemplo 1: Calcula la aproximaci´on lineal de f(x) = ln xen x= 1 y ´usala para dar una
aproximaci´on de ln(1,05). Calcula el valor obtenido con el valor de tu calculadora.
S./ Como f0(x) = 1
xse tiene f0(1) = 1. La aproximaci´on lineal es y=f(1) + 1(x−1) = x−1.
Entonces, ln(1,05) ≈1,05 −1=0,05.Con una calculadora, ln(1,05) ≈0,048790.La diferencia
entre los dos valores es |0,05 −0,048790|= 0,001210 <0,002.
Ejemplo 2: Halla la aproximaci´on lineal de f(x) = √xen x=ay usa el resulatado para hallar
un valor aproximado de √50.Compara el valor obtenido con el de tu calculadora.
R./ El valor aproximado de √50 usando una aproximaci´on lineal con x= 50 y a= 49 es
50
14 +7
2≈7,071428.
Ejemplo 3: Sea N(t) el tama˜no de una poblaci´on de bacterias medido en millones y supongamos
que la velocidad de crecimiento per c´apita es 2%. Se sabe que en t= 10 hay 250 millones de bacterias.
Obtener una aproximaci´on lineal para aproximar el n´umero de bacterias en t= 10,3.
S./ Tenemos que 1
N
dN
dt = 0,02 y que N(10) = 250.Debemos calcular N(10,3) usando una
aproximaci´on lineal L(t) = N(a) + N0(a)(t−a),con a= 10 y t= 10,3.Por tanto:
L(t) = 250 + N0(10)(10,3−10) = 250 + N0(10)(0,3).
De 1
N
dN
dt = 0,02 obtenemos, para t= 10, que N0(10) = 0,02 ×N(10) = 0,02 ×250 = 5.Entonces,
L(10,3) = 250 + 5 ×(0,3) = 251,5.
Habr´a, aproximadamente, 251,5 millones de bacterias.
Polinomio de Taylor.
Para una funci´on fque se puede derivar nveces, el polinomio de Taylor de fde grado ncentrado
en ces:
Pn,cf(x) = f(c) + f0(c)(x−c) + f00(c)
2! (x−c)2+f000(c)
3! (x−c)3+· ·· ·· · +f(n)(c)
n!(x−c)n.
Recuerda: n! = n(n−1)(n−2) ·· ·3·2·1.
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