¡Descarga Aproximaciones de funciones: Aproximación lineal y polinomios de Taylor y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Grado en Qu´ımica Bloque 1 Funciones de una variable
Secci´on 1.7: Aproximaci´on de funciones. Desarrollo de Taylor.
Aproximaci´on lineal. La aproximaci´on lineal de una funci´on y = f (x) en un punto x = a es la recta tangente. Como su pendiente es f ′(a) la ecuaci´on de la recta tangente es y − f (a) = f ′(a)(x − a). Entonces,
y = f (a) + f ′(a)(x − a)
es la aproximaci´on lineal de y = f (x) en x = a.
Ejemplo 1: Calcula la aproximaci´on lineal de f (x) = ln x en x = 1 y ´usala para dar una aproximaci´on de ln(1, 05). Calcula el valor obtenido con el valor de tu calculadora.
S./ Como f ′(x) =
x
se tiene f ′(1) = 1. La aproximaci´on lineal es y = f (1) + 1(x − 1) = x − 1.
Entonces, ln(1, 05) ≈ 1 , 05 − 1 = 0, 05. Con una calculadora, ln(1, 05) ≈ 0 , 048790. La diferencia entre los dos valores es | 0 , 05 − 0 , 048790 | = 0, 001210 < 0 , 002.
Si usamos la notaci´on ∆x = x − a y ∆y = f (x) − f (a) = f (a + ∆x) − f (a), la aproximacion lineal nos permite escribir ∆y ≈ f ′(a)∆x
para aproximar el valor de y cuando x est´a cerca de a.
Ejemplo 2: El radio de una bola mide 0, 7 cm. Si la medida del radio de la bola es correcta con un error de 0, 01 cm, estima el error absoluto y el error relativo que se produce al calcular el volumen V de la bola. S./ El enunciado del problema nos permite escribir r = 0, 7 cm y ∆r = ± 0 , 01 cm. Sabemos que V = 43 πr^3. Queremos estimar el error absoluto que se comete al calcular V , es decir ∆V. Usamos la f´ormula de aproximaci´on anterior para escribir
∆V ≈ V ′(0, 7)∆r = 4π(0, 7)^2 (± 0 , 01) ≈ ± 0 , 061575 cm^3.
El error relativo es, para r = 0, 7,
∆V V
V ′(r)∆r V (r)
4 πr^2 ∆r (4/3)πr^3
r
Se produce un error relativo de aproximadamente 4, 29%.
Polinomio de Taylor. Para una funci´on f que se puede derivar n veces, el polinomio de Taylor de f de grado n centrado en c es:
Pn,c(x) = f (c) + f ′(c)(x − c) +
f ′′(c) 2!
(x − c)^2 +
f ′′′(c) 3!
(x − c)^3 + · · · · · · +
f (n)(c) n!
(x − c)n^.
Recuerda: n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
Ejemplo 3: a) Calcula los polinomios de Taylor de grados 1, 2 y 3 centrados en c = 0 de la funci´on f (x) = ex.
b) Usa P 3 , 0 para hallar un valor aproximado de e^0 ,^1 y comp´aralo con el valor de tu calculadora. c) Representa con un programa de ordenador la funci´on y los tres polinomios P 1 , 0 , P 2 , 0 y P 3 , 0. ¿Cu´al de ellos aproxima mejor a la funci´on? d) Escribe la f´ormula para el polinomio de Taylor de grado n centrado en c = 0 de la funci´on f (x) = ex. S./ a) Usando la f´ormula dada para el polinomio de Taylor se obtiene
P 1 , 0 (x) = 1 + x , P 2 , 0 (x) = 1 + x +
x^2 2
, P 3 , 0 (x) = 1 + x +
x^2 2
x^3 6
b) e^0 ,^1 = f (0, 1) ≈ P 3 , 0 (0, 1) = 1 + 0, 1 + (0,1)
2 2 +^
(0,1)^3 6 ≈^1 ,^105166.^ Una calculadora produce e^0 ,^1 ≈ 1 , 105170. La diferencia es | 1 , 105170 − 1 , 105166 | = 0, 000004. c)
d)
Pn, 0 (x) = 1 + x +
x^2 2!
x^3 3!
x^4 4!
xn n!
∑^ n
k=
xk k!
Otros polinomios de Taylor
- El polinomio de Taylor de orden n alrededor de c = 1 de la funci´on f (x) = ln x es:
Pn, 1 (x) = (x − 1) −
(x − 1)^2 2
(x − 1)^3 3
(x − 1)n n
∑^ n
k=
(−1)k+^
(x − 1)k k
- El polinomio de Taylor de orden 2n alrededor de c = 0 de la funci´on f (x) = cos x es:
P 2 n, 0 (x) = 1 −
x^2 2!
x^4 4!
x^2 n (2n)!
∑^ n
k=
(−1)k^
x^2 k (2k)!
- El polinomio de Taylor de orden 2n + 1 alrededor de c = 0 de la funci´on f (x) = sen x es:
P 2 n+1, 0 (x) = x −
x^3 3!
x^5 5!
x^2 n+ (2n + 1)!
∑^ n
k=
(−1)k^
x^2 k+ (2k + 1)!
Error de la aproximaci´on con el polinomio de Taylor El error de aproximar la funci´on f (x) por su polinomio de Taylor Pn,c se estima con la f´ormula de Lagrange:
E(x) = |f (x) − Pn,c(x)| =
(n + 1)!
|x − c|n+1|f (n+1)(z)| ,
es una serie de potencias centrada en c = − 1.
Las series de potencias pueden verse como una funci´on
f (x) =
∑^ ∞
n=
an(x − c)n^ ,
cuyo dominio de definici´on son los valores de x para los cuales la serie converge, es decir su suma da un n´umero finito.
Criterio de convergencia para series de potencias.
Sea
∑^ ∞
n=
an(x − c)n^ una serie de potencias centrada en c y sea
R = lim n→∞
|an| |an+1|
a) Si R = 0, la serie converge solo en x = c. b) Si R > 0, la serie converge en {x : |x − c| < R} = (c − R, c + R) y diverge en {x : |x − c| > R}. c) Si R = ∞, la serie converge en (−∞, ∞).
El n´umero R se llama radio de convergencia de la serie de potencias.
Ejemplo 7: Halla los radios de convergencia de las series de potencias siguientes:
a)
∑^ ∞
n=
n!xn^ b)
∑^ ∞
n=
(−1)nx(2n+1) (2n + 1)!
c)
∑^ ∞
n=
3(x − 2)n^.
S./ a) Como R = lim n→∞
n! (n + 1)!
= lim n→∞
n + 1
= 0, la serie solo converge en x = 0.
b) Como R = lim n→∞
1 (2n+1)! 1 (2n+3)!
= lim n→∞
(2n + 3)! (2n + 1)!
= lim n→∞
(2n + 3)(2n + 2) = ∞, la serie converge en
(−∞, ∞).
c) Como R = lim n→∞
= 1, la serie converge en {x : |x − 2 | < 1 } = (2 − 1 , 2 + 1) = (1, 3).
Derivaci´on e integraci´on de series de potencias Las series de potencias pueden derivarse e integrarse en su intervalo de convergencia. La derivaci´on y la integracion se hacen t´ermino a t´ermino.
Series de Taylor. Se llama serie de Taylor de una funci´on f infinitamente derivable a la serie que se obtiene aplicanco la f´ormula para obtener el polinomio de Taylor. La serie de Taylor representa a la funci´on f en el intervalo en el que converge.
Por ejemplo, la serie de Taylor de f (x) = ex^ es
ex^ =
∑^ ∞
n=
xn n!
== 1 + x +
x 2!
x^3 3!
xn n!
y como el radio de convergencia de esta serie de potencias es R = ∞, la serie de Taylor representa a la funci´on en todo R.
La serie de Taylor de f (x) =
1 − x
es
1 − x
= 1 + x + x^2 + x^3 + · · · · · · + xn^ + · · · · · ·.
y como el radio de convergencia de esta serie de potencias es R = 1, la serie de Taylor representa a la funci´on en el intervalo (− 1 , 1).
