Modelo Lineal General
4.a. Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
^
=
Estimador M.C.O.: ^
β = (X'X)-1X'y
Considerando que: ^
= (X'X)-1X'(Xβ + ε)
^
β = (X'X)-1X'y
^
β + (X'X)-1X'ε
y = Xβ + ε
Sí
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Eficiencia en el Análisis de Regresión Lineal General, Ejercicios de Administración de Empresas
Documento que presenta el proceso de estimación insesgada de la eficiencia en el análisis de regresión lineal general mediante el uso del estimador mco (mínimos cuadrados ordinarios). El documento incluye definiciones, comprobaciones algebraicas y ejemplos.
Tipo: Ejercicios
2017/2018
1 / 40
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4.a.Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
= ^
Estimador M.C.O.:
β^
X ' X ) - 1 X ' y
Considerando que:
= ^
( X ' X ) - 1 X ' ( X β + ε )
β ^
X
X
1 X
y
β^
- ( X ' X ) - 1 X ' ε
y = X β + ε
Comprobación
:
Linealidad
▶
El
estimador
se
puede
expresar
como
combinación
lineal
de
las
observaciones
de
la
variable
endógena
y
,
es
decir,
β ^
MCO
Wy
W
siendo
la matriz de coeficientes de las combinaciones
β ^
MCO
X ' X ) - 1 X ' y
W
= ^
Wy
lineal
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Eficiencia
▶
De
todos
los
estimadores
lineales
e
insesgados
,
el
estimador
MCO
es
el
que
posee
menor
varianza
(Teorema
de
Gauss
Markov)
.
= ^
( X ' X ) - 1 X '
E[
ε ε ' ] X ( X ' X ) - 1
σ
2
I
= ^
E[
( X ' X ) - 1 X ' ε ε ' X ( X ' X ) - 1 ]
σ ^
2 ( X ' X ) - 1 X ' X ( X ' X ) - 1
= ^
^
^
E[
β
β
) (^) (
β
β
) ' ]
^
Var(
β
MCO
) ( X ' X ) -
1 X
' ε
σ ^
2 ( X ' X ) - 1
= ^
^
Var(
β
MCO
≤^
^
Var(
β
siendo
estimador
lineal
e
insesgado
de
Comprobación
:
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Comprobación
:
Teorema
de
Gauss
Markov
Eficiencia Sea
otro estimador
lineal
e
insesgado
de
(diferente de
)
β^
β ^
Cy
= ^
C
X
β
ε )
= ^
C X β + C ε
= ^
C
X
β
E[
C
ε
] (^) = ^
C
X
β
C
E[
ε
] (^) = ^
C
X
β
C
X
I
E( ^
β
) =
β
Considerando
^
β
β
Dy
^
C = W + D ^
= ( X ' X ) - 1 X '
D
C
X
I
^
I
Además,
^
CX
WX
DX
^
= ( X ' X ) -
1 X
'X
DX
I
dado que
^
I
DX
D
X
0
y = X β + ε
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Ejemplo:
Pregunta 12, febrero 2009
(Teorema de Gauss
Markov)
D) C) B) A)
e insesgado
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Ejemplo:
Pregunta 16, septiembre 2009
(Teorema de Gauss
Markov)
D) C) B) A)
verdadera
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Ejemplo:
Pregunta 1, septiembre 2010
(Estim. alternativos
: prop. Estadísticas)
(2 de 4)
El estimador
MCO
es:
Y t = β + U t
con
t
=
N
Sea el modelo de regresión
:
β ^
MCO
X
X
1 X
Y
= ^
i (^) ' i )
1
i (^) ' Y
Y ^
t
N
t (^) =
(^) 1
N 1
β ^
1
Considerando que:
= ^
β
U
t )
N
t (^) =
(^) 1
N 1
= ^
β
U
t
N N
∑ N
t (^) =
(^) 1
N 1
= ^
β
U
t
∑ N
t (^) =
(^) 1
N 1
^
E(
β
1 )
β ^
0
= ^
Insesgado
= ^
β
E[
U
t ]
∑ N
t (^) =
(^) 1
N 1
= ^
β
E[
U
t ]
N
t (^) =
(^) 1
N 1
σ
2 I
= ^
E[
( i (^) ' i )
1 i^ (^) ' UU
i (^) ( i (^) ' i )
1 ]
σ ^
2 ( N ) - 1 N ( N ) - 1
= ^
^
^
E[
β
1
β
)(
β 1 – β ) ' ]
^
Var(
β 1 ) ( i ' i ) -
1
i ' U
= ^
σ
2
N
= ^
( i (^) ' i )
1 i^ (^) ' E[
UU
]
(^) i (^) ( i (^) ' i )
1
Y
t (^) =
β
(^) +
(^) U
t
β ^
1
=
N
t (^) =
(^) 1
N 1
Y ^
t
Y
i (^) β
U
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Ejemplo:
Pregunta 1, septiembre 2010
(Estim. alternativos
: prop. estadísticas)
(3 de 4)
Sea un estimador alternativo:
Y t = β + U t
con
t
=
N
Sea el modelo de regresión
:
β ^
2
=
Y
1
Considerando que:
Y 1 = β + U 1
= ^
E[
β
U
1 ]
^
E(
β
2 )
β ^
= ^
β
E[
U
1 ]
0
= ^
Insesgado
= ^
E[
U
1 U
1 ]
^
^
E[
β
2
β
)(
β 2 – β ) ]
^
Var(
β
2 )
U
1
σ ^
2
= ^
β ^
2
=
Y
1
= ^
β
U
1
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Ejemplo:
Pregunta 19, septiembre 2009
(Multicolinealidad aproximada)
falsa
Verdadera
falsa
B) A)
Es
insesgado
pero
no
tiene
varianza
mínima
.
Es
insesgado
y
eficiente
porque
la
multicolinealidad
aproximada
no
afecta
a
las
propiedades
estadísticas
teóricas
del
estimador
MCO
de
β
.
No
es
único
porque
la
matriz
X
' X
es
singular
.
Es
eficiente
aunque
no
es
insegado
.
D) C) Si
en
el
Modelo
Lineal
General
se
cumplen
todas
las
hipótesis
clásicas,
pero
existe
un
alto
grado
de
correlación
lineal
entre
las
variables
explicativas
contenidas
en
la
matriz
X
, entonces
el
estimador
MCO
de
β
:
Y
X
(^) β
U
falsa
4.a. Modelo Lineal General
Propiedades estadísticas del estimador MCO de β
Comprobación
:
4.b. Modelo Lineal General
Propiedades algebraicas derivadas del empleo de MCO
En el MLG
con
término
constante
,
la suma de valores observados de la var.
endógena coincide con la suma valores de la var. endógena ajustada
β ^
1
β ^
k
β ^
2
y
t
t =
1
n
t =
1
n
n
x
t 2
t =
1
n
x
tk
t =
1
n
y ^
t
y
t
t =
1
n
t =
1
n
^
i (^) 'y
i (^) ' y
^
i (^) ' X
β
MCO
i (^) 'y
La
primera
de
las
ecuaciones
normales
del
modelo
indica
:
Matricialmente
:
^
i (^) ' y
i (^) 'y
Esto
supone
que
la
media
muestral
de
la
variable
endógena
coincide
con
la
media
muestral
de
la
variable
ajustada
.
y ^
t
t =
1
n
En el MLG,
los residuos son ortogonales a las variables explicativas
^
X
ε
Comprobación
:
^
( X ' X ) β
MCO
X
'y
^
X
'y
X
X
β
MCO
Dadas
las
ecuaciones
normales
del
modelo
:
^
= X ' ( y – X β
MCO
ε ^
luego
:
^
X
ε
4.b. Modelo Lineal General
Propiedades algebraicas derivadas del empleo de MCO
4
.
En
el
MLG,
los
residuos
son
ortogonales
a
la
variable
endógena
ajustada
^
^
y
(^) ' ε
Comprobación
:
^
^
^
= ( X β ) '
(^) ε
^
^
y
(^) ' ε
^
^
β
' (^) X'
(^) ε
0
^
^
y
(^) ' ε
4.b. Modelo Lineal General
Propiedades algebraicas derivadas del empleo de MCO
6
.
En
el
MLG
estimado
por
MCO,
^ ^
^
ε ' ε = y ' y – β ' X
y
Comprobación
:
ε ^ ^ '
ε
^
^
y
X
(^) β
) ' ( y – X β ) ^ ^ ^
y ' y – 2 β
X
y
β
' X
X
β
^
^
β
' X
X
β
I
^
β
' X
X
X
X
1 X
y
^
β
' X
y
^
^
y
' y
^
y
' y
β
(^) ' X
y
β ^
' X
' y
Teniendo
en
cuenta
que
:
4.b. Modelo Lineal General
Propiedades algebraicas derivadas del empleo de MCO
-
n (^) y
2
-
n (^) y
2
-
n (^) y
2
Definiciones
:
Datos
en
desviaciones
respecto
de
la
media
- -
( y – y ) ' ( y – y ) =
ST
- -
^
^
^
^
( y – y ) ' ( y – y ) =
SCE
**-
-**
^ ^
^
^
^ ^
^
^
y
' y
y'
y – y ' y +
y'
y
^ –
n
(^) y
2
^ –
n
(^) y
2
^ –
n
(^) y
2
-
^ ^
^
y ' y – n y 2
= ^
= ^
**-
-**
y
' y
y'
y – y ' y +
y'
y
-
y ' y – n y 2
= ^
= ^
Media
muestral de
y
:
y
t
t =
1
n
y –
n 1
ε ^ –
n 1
ε ^
t
t (^) =
1
n
y ^ –
n 1
y ^
t
t =
1
n
Media
muestral de
:
ε ^
Media
muestral de
y
:
y ^
Suma
de cuadrados
Total en desv
.:
Suma
de cuadrados
Explicada en desv.:
en desviaciones
:
en desviaciones
:
ε ^
en desviaciones
:
y ^
-
~
( y – y ) = y
y ^
-
~
^
^
^
( y – y ) = y
-
~
^
^
^
( ε – ε ) = ε
4.b. Modelo Lineal General
Propiedades algebraicas derivadas del empleo de MCO