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Eficiencia de estimadores lineales en regresión lineal simple - Prof. Mora, Exámenes de Econometría

Universidad Carlos III de Madrid (UC3M)Econometría
Prof. Ricardo Mora

Este documento analiza la eficiencia del estimador de parámetros en un modelo de regresión lineal simple, considerando una muestra aleatoria sin valores anómalos. Se discute la condición necesaria para que el estimador sea eficiente entre todos los estimadores lineales insesgados. Además, se demuestra que para una muestra suficientemente grande, la varianza del estimador aproxima la varianza del error condicionado al valor del regressor. Se incluyen ejemplos y ejercicios relacionados.

Tipo: Exámenes

2016/2017

Subido el 31/12/2016

ana_as-136
ana_as-136 🇪🇸

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¡No te pierdas las partes importantes!

bg1
Econometría 2do Parcial
Universidad Carlos III de Madrid
Econometría
Segundo Parcial
Ricardo Mora
El examen dura 90 minutos y consta de tres problemas con un total de 10 apartados. Por cada
apartado correctamente respondido se obtiene un punto. Utilice el espacio en blanco existente entre
las preguntas para responderlas y el reverso de las hojas para borrador. Si necesita buscar valores
críticos para constrastes de hipótesis los puede encontrar en las tablas estadísticas disponibles al final
de este librillo. Solo se evaluarán las respuestas escritas en el espacio existente entre las preguntas. Para
realizar el examen Ud. necesita un lápiz o bolígrafo además de aportar un documento de identificación
personal. Calculadoras, ordenadores, teléfonos móviles, apuntes, etc., deben depositarse en los laterales
del aula. No está permitido hablar o intercambiar cualquier tipo de material durante el examen. El
incumplimiento de estas normas supone la calificación global de 0 en la evaluación continua, sin perjuicio
de otras medidas que se puedan adoptar.
(Solution)
Nombre:
1. Utilizando una muestra aleatoria de datos sin valores anómalos, {yi, x1i}N
i=1, se considera la esti-
mación del siguiente modelo:
yi=β0+β1x1i+i.
Se propone el siguiente estimador:
nb
β0,b
β1o=arg max
{b0,b1}
N
X
i=1
(yi−b0−b1x1i)2.
(a) Enumere supuestos suficientes bajo los que el estimador nb
β0,b
β1oes eficiente entre todos los
estimadores que son lineales en {yi}N
i=1y son insesgados condicionados a {x1i}N
i=1.
Solution: Además de obtenerse con una muestra aleatoria sin valores anómalos, se requiere
que E(i|x1i)=0 y que Var(i|x1i)no dependa de {x1i}N
i=1.
(b) Suponga que la varianza del error condicionada al valor del regressor es constante, y que
la esperanza condicionada del error es igual a cero, E (i|x1i)=0. Teniendo en cuenta que
√Nb
β1−β1d
→ N (0,Avar)donde Avar =Eh(x1i−E(x1i))2Var(i|x1i)i
(Var(x1i))2, demuestre que para
una muestra suficientemente grande
Varb
β1≈(1
/N)Var (i|x1i)
Var(x1i).
1
pf3
pf4
pf5

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¡Descarga Eficiencia de estimadores lineales en regresión lineal simple - Prof. Mora y más Exámenes en PDF de Econometría solo en Docsity!

Universidad Carlos III de Madrid

Econometría

Segundo Parcial

Ricardo Mora

El examen dura 90 minutos y consta de tres problemas con un total de 10 apartados. Por cada

apartado correctamente respondido se obtiene un punto. Utilice el espacio en blanco existente entre

las preguntas para responderlas y el reverso de las hojas para borrador. Si necesita buscar valores

críticos para constrastes de hipótesis los puede encontrar en las tablas estadísticas disponibles al final

de este librillo. Solo se evaluarán las respuestas escritas en el espacio existente entre las preguntas. Para

realizar el examen Ud. necesita un lápiz o bolígrafo además de aportar un documento de identificación

personal. Calculadoras, ordenadores, teléfonos móviles, apuntes, etc., deben depositarse en los laterales

del aula. No está permitido hablar o intercambiar cualquier tipo de material durante el examen. El

incumplimiento de estas normas supone la calificación global de 0 en la evaluación continua, sin perjuicio

de otras medidas que se puedan adoptar.

(Solution)

Nombre:

1. Utilizando una muestra aleatoria de datos sin valores anómalos, {yi, x 1 i}Ni=1, se considera la esti-

mación del siguiente modelo:

yi = β 0 + β 1 x 1 i + i.

Se propone el siguiente estimador:

= arg max

{b 0 ,b 1 }

∑^ N

i=

(yi − b 0 − b 1 x 1 i)^2.

(a) Enumere supuestos suficientes bajo los que el estimador

es eficiente entre todos los

estimadores que son lineales en {yi}Ni=1y son insesgados condicionados a {x 1 i}Ni=1.

Solution: Además de obtenerse con una muestra aleatoria sin valores anómalos, se requiere

que E (i|x 1 i) = 0 y que Var (i|x 1 i) no dependa de {x 1 i}Ni=1.

(b) Suponga que la varianza del error condicionada al valor del regressor es constante, y que

la esperanza condicionada del error es igual a cero, E (i|x 1 i) = 0. Teniendo en cuenta que

N

) d

→ N (0, Avar) donde Avar =

E

[

(x 1 i−E(x 1 i))^2 Var(i|x 1 i)

]

(Var(x 1 i))^2

, demuestre que para

una muestra suficientemente grande

Var

≈ (^1 /N )

Var (i|x 1 i)

Var (x 1 i)

Solution: Con una muestra suficientemente grande

Var

≈ (^1 /N )

E

[

(x 1 i − E (x 1 i))^2 Var (i|x 1 i)

]

(Var (x 1 i))^2

Cuando la varianza del error condicionada al valor del regressor es constante, Var (i|x 1 i) = σ^2 

y

E

[

(x 1 i − E (x 1 i))^2 Var (i|x 1 i)

]

= σ² × E

[

(x 1 i − E (x 1 i))^2

]

= σ² × Var (x 1 i)

y el resultado es inmediato.

(c) Proponga un estimador de la desviación típica de β̂ 1 válido con homoscedasticidad.

Solution: Dos posibles respuestas válidas

Var̂

= (^1 /N )

(^1 /N − 2 )

∑N

i=1 ̂

i

Var̂ N (x 1 i)

Var^ ˜

= (^1 /N )

VarN (̂ i)

̂ VarN (x 1 i)

donde Var̂ N representa el momento muestral. Un estimador de la desviación típica válido

sería la raiz cuadrada de cualquiera de estos dos estimadores.

2. Considere un mercado competitivo con las siguientes curvas de demanda y de oferta

qd^ = 0. 5 − 0. 02 p + u 1

qs^ = 0.1 + 0. 1 p + u 2

donde qd^ y qs^ son los logaritmos de las cantidades demandas y ofertadas respectivamente, p es

el logaritmo del precio, u 1 contiene las traslaciones en la demanda provocadas por shocks de

demanda mientras que u 2 contiene traslaciones en la curva de oferta provocadas por shocks de

oferta. Suponga que Cov (u 1 , u 2 ) = 0 y que, sin pérdida de generalidad, E (u 1 ) = E (u 2 ) = 0.

(a) Demuestre que en equilibrio, esto es cuando qd^ = qs, Cov (p, u 1 ) = Var 0. 12 (u 1 ).

Solution: En equilibrio

0. 5 − 0. 02 p + u 1 = 0.1 + 0. 1 p + u 2

p = 1 / 3 + (0.12)−^1 (u 1 − u 2 ).

Por tanto, Cov (p, u 1 ) = Cov

(0.12)−^1 (u 1 − u 2 ) , u 1

= (0.12)−^1 (Var (u 1 ) − Cov (u 1 , u 2 )) y

el resultado se obtiene porque hemos supuesto que los shocks tienen covarianza cero.

(b) Partiendo de la fórmula del sesgo de variable omitida, demuestre que con una muestra aleato-

ria sin valores anómalos {qi, pi}Ni=1 donde qi es el logaritmo de las cantidades, el estimador

por MCO α̂ 1 resultante de regresar el logaritmo de las cantidades sobre el logaritmo de los

precios tiene un sesgo asintótico positivo, esto es que plim (α̂ 1 ) > − 0. 02. Interprete este

resultado.

Solution: Se debe empezar con la fórmula del sesgo de variable omitida plim (α̂ 1 ) =

− 0 .02 + Cov Var(p(ip,u^1 i)

i)^

. Como por definición el denominador en Cov Var(p(ip,u^1 i)

i)^

es positivo y en

valor se obtendría si la regressión la hubiéramos hecho tomando como variable dependiente

la variable notas estandarizada.

(c) Decide incluir en la regresión la variable precios, que representa el precio medio de las casas en

el barrio del colegio, como variable de control o "proxy". El modelo estimado es el siguiente.

notaŝ = 7. 26 − 1 .43log (REM ) + 2. 20 log (precios)

n = 292, R^2 = 0. 19.

¿Qué propiedades debe cumplir precios para que sea una variable de control válida? ¿En-

cuentra evidencia de que los precios de las casas mejoran las notas de los estudiantes?

Solution: Para que una variable de control sea válida debe ser tal que la esperanza condi-

cionada del término de error con todos los regresores no dependa de la variable de interés.

En este caso, E (ui|precios, REM ) = E (ui|precios) donde ui es el término de error. Si esta

condición se cumple, entonces la pendiente asociada a REM tiene una interpretación causal.

Sin embargo, para poder interpretar la pendiente de los precios como un efecto causal (como

se está haciendo en la pregunta) los precios deberían ser exógenos. El sentido común nos

indica que si cambia el valor de las casas donde viven los alumnos, éstos no van a obtener por

este cambio notas más altas. Por eso la interpretación de la pendiente no debería ser causal.

¿Por qué hay un efecto significativo? La variable precios está recogiendo el efecto sobre las

notas de factores socioeconómicos que afectan las notas y están correlacionados tanto con la

calidad de la escuela como con la calidad de las casas donde viven las familias y que tienen

que ver con la situación socioeconómica de las familias.

(d) Explique el cambio de la estimación del efecto de REM tras incluir la variable de control.

Solution: Partiendo de la fórmula de la variable omitida, una respuesta correcta debe

utilizar que hay una correlación positiva entre precios y el error en la primera ecuación y

que la correlación entre precios y REM es negativa.

TABLE 1: STANDARDIZED NORMAL DISTRIBUTION

Areas under the normal curve

Example:

Z �X^ �^ �