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Un análisis detallado sobre la estimación de los coeficientes de la función de regresión poblacional lineal utilizando el método de mínimos cuadrados ordinarios (mco). Se especifica el modelo de regresión poblacional lineal y el modelo de regresión muestral lineal, se calcula el estimador mco de la pendiente β1 y del término constante β0 de la recta de regresión poblacional, se estima la función de regresión muestral lineal mco, se interpreta los estimadores mco de los coeficientes, se realiza la predicción mco de la variable dependiente dado un valor de la variable independiente, y se calcula los residuos mco y los residuos elevados al cuadrado mco. El documento proporciona una comprensión profunda de los conceptos y técnicas relacionados con la regresión lineal simple, lo cual puede ser de gran utilidad para estudiantes universitarios de cursos de econometría, estadística aplicada o análisis de datos.
Tipo: Apuntes
1 / 16
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¡No te pierdas las partes importantes!
1.1. Modelo de regresión poblacional lineal
1.2. Modelo de regresión muestral lineal
1.3. Estimación de los coeficientes de la función de regresión poblacional lineal
1.4. Recta de regresión muestral MCO
1.5. Error de predicción MCO
1.6. Caso resuelto
1.6.1. Datos
1.6.2. Especificación del modelo de regresión poblacional lineal
1.6.3. Especificación del modelo de regresión poblacional lineal
1.6.4. Construcción de la matriz de sumas
1.6.5. Cálculo del estimador MCO de la pendiente 𝛽 1
de la recta de regresión poblacional
1.6.6. Cálculo del estimador MCO del término constante 𝛽 0
de la recta de regresión
poblacional
1.6.7. Estimación de la recta de regresión muestral MCO
1.6.8. Interpretación de los estimadores MCO de los coeficientes 𝛽 0
y 𝛽
1
de la recta de
regresión poblacional
1.6.9. Predicción MCO de la variable dependiente dado un valor de la variable
independiente
1.6.10. Estimación de los residuos MCO
El modelo de regresión muestral lineal con regresor único (Stock y Watson, 2012, p.82) se
especifica de la siguiente forma,
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Donde
𝑖 es el subíndice que toma valores de 1 hasta 𝑛.
𝑛 es el número de observaciones en la muestra.
𝑖
es la variable dependiente (o el regresando).
𝑖
es la variable independiente (o el regresor).
0
es el estimador del término constante 𝛽
0
de la recta de regresión poblacional.
1
es el estimador de la pendiente 𝛽
1
de la recta de regresión poblacional.
𝑖
es el residuo, es el estimador del término de error 𝑢
𝑖
Para la estimación de los coeficientes de la función de regresión poblacional lineal con
regresor único se utiliza el método de mínimos cuadrados ordinarios.
Estimador de mínimos cuadrados ordinarios (MCO)
Partiendo del modelo de regresión muestral lineal con regresor único
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Despejando 𝑢̂
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación
𝑖
2
𝑖
0
1
𝑖
2
Aplicando sumatorias a ambos lados de la ecuación
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
𝑖
0
1
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
“El principio o método de mínimos cuadrados elige 𝛽
0
y 𝛽
1
de manera que, para una
muestra o conjunto de datos determinados, ∑ 𝑢̂
𝑖
2
es la más pequeña posible. En otras
palabras, para una muestra dada, proporciona valores estimados únicos de 𝛽
0
y 𝛽
1
que
producen el valor más pequeño o reducido posible de
𝑖
2
” (Gujarati y Porter, 2010, p. 57).
Minimizando la suma de los residuos elevados al cuadrado
Calculando las derivadas parciales de primer orden de
𝑖
2
respecto de β
0
y de β
1
se
obtiene
𝑖
2
0
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
2
1
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Seguidamente igualando a cero las derivadas parciales de primer orden, y luego resolviendo
el sistema de ecuaciones se obtienen los estimadores MCO de 𝛽
0
y 𝛽
1
Igualando a cero la derivada parcial de primer orden de ∑ 𝑢̂
𝑖
2
respecto de β
0
𝑖
0
1
𝑖
Despejando ∑ 𝑌
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
Igualando a cero la derivada parcial de primer orden de ∑ 𝑢̂
𝑖
2
respecto de β
1
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Despejando ∑ 𝑌 𝑖
𝑖
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
0
𝑖
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
0
𝑖
1
𝑖
2
𝑖
𝑖
0
𝑖
1
𝑖
2
𝑖
𝑖
0
𝑖
1
𝑖
2
𝑖
𝑖
1
𝑖
2
1
𝑖
2
𝑖
𝑖
1
𝑖
2
1
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
1
𝑖
2
𝑖
2
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
Multiplicando por 𝑛 el numerador y el denominador del lado derecho de la ecuación
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
1
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
Simplificando se obtiene
𝟏
𝒊
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒊
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝟐
La recta de regresión muestral con regresor único MCO se especifica de la siguiente forma,
𝑖
0
1
𝑖
Donde
𝑖 es el subíndice que toma valores de 1 hasta 𝑛.
𝑛 es el número de observaciones en la muestra.
𝑖
es el valor esperado de acuerdo a la recta de regresión muestral MCO.
𝑖
es la variable independiente (o el regresor).
0
1
𝑖
es la recta de regresión MCO, denominada recta de regresión muestral o función
de regresión muestral lineal, es la línea recta construida utilizando los estimadores
0
es el estimador MCO del término constante 𝛽
0
de la recta de regresión poblacional.
1
es el estimador MCO de la pendiente 𝛽
1
de la recta de regresión poblacional.
Para calcular el error de predicción MCO se utiliza la siguiente fórmula
𝑖
𝑖
𝑖
Donde
𝑖
es el error de predicción (o residuo), es el estimador MCO del término de error 𝑢
𝑖
1.6.1. Datos
Considerando los datos presentados en la Tabla 1, especificar el modelo de regresión
poblacional lineal que relaciona la nota lograda y las horas de estudio semanal, especificar
el modelo de regresión muestral lineal que relaciona la nota lograda y las horas de estudio
semanal, calcular los estimadores MCO de los coeficientes 𝛽 0
y 𝛽
1
de la recta de regresión
poblacional, estimar la función de regresión muestral lineal MCO, interpretar los
estimadores MCO de los coeficientes 𝛽 0
y 𝛽
1
de la recta de regresión poblacional, calcular
el valor de predicción MCO de la nota lograda dado un valor de las horas de estudio
semanal, calcular los residuos MCO, y calcular los residuos elevados al cuadrado MCO.
1.6.2. Especificación del modelo de regresión poblacional lineal
Considerando lo presentado en el punto 1.1, para este caso, se especifica el modelo de
regresión poblacional lineal siguiente
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Donde
𝑖
es el valor de la nota lograda por el i-ésimo estudiante en la población.
𝑖
es el valor de las horas de estudio semanal del el i-ésimo estudiante en la población.
0
1
𝑖
es la función de regresión poblacional lineal.
0
es el término constante de la recta de regresión poblacional, el cual es desconocido.
1
es la pendiente de la recta de regresión poblacional, el cual es desconocido.
𝑖
es el término de error, el cual es desconocido.
1.6.3. Especificación del modelo de regresión muestral lineal
Considerando lo presentado en el punto 1.2, para este caso, se especifica el modelo de
regresión muestral lineal siguiente
𝑖
0
1
𝑖
𝑖
Donde
𝑖
es el valor de la nota lograda por el i-ésimo estudiante en la muestra.
𝑖
es el valor de las horas de estudio del el i-ésimo estudiante en la muestra.
0
es el estimador del término constante 𝛽
0
de la recta de regresión poblacional.
1
es el estimador de la pendiente 𝛽
1
de la recta de regresión poblacional, y se espera que
sea positivo.
𝑖
es el residuo, es el estimador del término de error 𝑢
𝑖
1.6.4. Construcción de la matriz de sumas
Tabla 2. Matriz de sumas
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
2
𝑖
2
1 8 5 40 25 64
2 10 5 50 25 100
3 15 7 105 49 225
4 11 5 55 25 121
5 15 15 225 225 225
6 10 6 60 36 100
7 8 3 24 9 64
8 14 29 406 841 196
9 15 35 525 1 225 225
10 7 3 21 9 49
11 10 42 420 1 764 100
12 14 16 224 256 196
13 19 9 171 81 361
14 12 13 156 169 144
15 14 10 140 100 196
16 14 7 98 49 196
17 9 15 135 225 81
18 15 20 300 400 225
19 6 6 36 36 36
20 15 20 300 400 225
21 16 24 384 576 256
22 6 3 18 9 36
23 5 10 50 100 25
24 18 15 270 225 324
25 12 15 180 225 144
26 10 21 210 441 100
27 7 5 35 25 49
28 11 21 231 441 121
29 9 5 45 25 81
30 8 3 24 9 64
31 16 24 384 576 256
32 12 13 156 169 144
33 12 40 480 1 600 144
34 14 5 70 25 196
35 5 6 30 36 25
36 14 19 266 361 196
37 15 24 360 576 225
38 11 5 55 25 121
39 15 18 270 324 225
40 12 6 72 36 144
Suma
∑ 𝑌
𝑖
𝑛
𝑖= 1
= 469 ∑ 𝑋
𝑖
𝑛
𝑖= 1
= 553 ∑ 𝑌
𝑖
𝑋
𝑖
𝑛
𝑖= 1
= 7 081 ∑ 𝑋
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
= 11 753 ∑ 𝑌
𝑖
2
𝑛
𝑖= 1
= 6 005
Fuente: Tabla 1.
Elaboración: Autoría propia.
1.6.7. Estimación de la recta de regresión muestral MCO
Los valores calculados en el punto 1. 6. 5 y en el punto 1. 6. 6 se remplazan en la recta de
regresión muestral MCO presentada en el puto 1. 4 , con lo cual se obtiene
𝑖
𝑖
Donde
La recta de regresión estimada muestra una relación positiva entre la nota lograda
y las horas de estudio semanal del estudiante. Si las horas de estudio semanal
aumenta en una hora, la regresión estimada predice que la nota lograda aumentará
en 0,145352411 puntos.
1.6.8. Interpretación de los estimadores MCO de los coeficientes 𝜷 𝟎
y 𝜷
𝟏
de la recta
regresión poblacional
0
El término constante de 9, 715502918 significa que es el valor de la nota lograda por
el estudiante cuando las horas de estudio semanal es cero.
1
La pendiente de 0,145352411 significa que un aumento en las horas de estudio
semanal en una hora del estudiante está, en promedio, asociado a un aumento en
la nota lograda de 0,145252411 puntos. La pendiente positiva indica que cuantas
más horas de estudio semanal, mayor nota lograda.
1.6.9. Predicción MCO de la variable dependiente dado un valor de la variable
independiente
Para ello, se utiliza la recta de regresión muestral MCO estimada en el punto 1. 6. 7 , la cual
es la siguiente
𝑖
𝑖
Tabla 3. Predicción de la nota lograda dado un valor de las horas de estudio semanal
𝑖
𝑖
𝑖
𝑌
̂
𝑖
= 9 , 715502918 + 0 , 145352411 𝑋
𝑖
𝑖
1 8 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
2 10 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
3 15 7 9,715502918 + 0,145352411( 7 ) 10,
4 11 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
5 15 15 9,715502918 + 0,145352411( 1 5) 11,
6 10 6 9,715502918 + 0,145352411( 6 ) 10,
7 8 3 9,715502918 + 0,145352411(3) 10,
8 14 29 9,715502918 + 0,145352411(29) 13,
9 15 35 9,715502918 + 0,145352411( 3 5) 14,
10 7 3 9,715502918 + 0,145352411( 3 ) 10,
11 10 42 9,715502918 + 0,145352411(42) 15,
12 14 16 9,715502918 + 0,145352411(16) 12,
13 19 9 9,715502918 + 0,145352411( 9 ) 11,
14 12 13 9,715502918 + 0,145352411(13) 11,
15 14 10 9,715502918 + 0,145352411(10) 11,
16 14 7 9,715502918 + 0,145352411(7) 10,
17 9 15 9,715502918 + 0,145352411( 1 5) 11,
18 15 20 9,715502918 + 0,145352411(20) 12,
19 6 6 9,715502918 + 0,145352411( 6 ) 10,
20 15 20 9,715502918 + 0,145352411(20) 12,
21 16 24 9,715502918 + 0,145352411(24) 13,
22 6 3 9,715502918 + 0,145352411(3) 10,
23 5 10 9,715502918 + 0,145352411(10) 11,
24 18 15 9,715502918 + 0,145352411( 1 5) 11,
25 12 15 9,715502918 + 0,145352411( 1 5) 11,
26 10 21 9,715502918 + 0,145352411( 21 ) 12,
27 7 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
28 11 21 9,715502918 + 0,145352411(21) 12,
29 9 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
30 8 3 9,715502918 + 0,145352411(3) 10,
31 16 24 9,715502918 + 0,145352411(24) 13,
32 12 13 9,715502918 + 0,145352411(13) 11,
33 12 40 9,715502918 + 0,145352411(40) 15,
34 14 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
35 5 6 9,715502918 + 0,145352411(6) 10,
36 14 19 9,715502918 + 0,145352411(19) 12,
37 15 24 9,715502918 + 0,145352411(24) 13,
38 11 5 9,715502918 + 0,145352411(5) 10,
39 15 18 9,715502918 + 0,145352411(18) 12,
40 12 6 9,715502918 + 0,145352411(6) 10,
Fuente: Tabla 1, ítem 1.4.d.
Elaboración: Autoría propia.
1.6.10. Estimación de los residuos MCO
Gujarati, D. N., y Porter, D. C. (2010). Econometría. México, D. F., México: McGRAW-HILL/
INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V.
Stock, J. H., y Watson, M. M. (2012). Introducción a la Econometría. Madrid, España:
