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Modelos Matemáticos Con ED De Primer Orden
¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO?
Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema de fenómenos. Los
modelos nos permiten describir en términos matemáticos el comportamiento de algunos
sistemas o fenómenos de la vida real (fenómenos físicos, biológicos, sociológicos,
económicos, etc.) a través de las relaciones que hay entre dos o más variables y los distintos
parámetros a los que están establecidos, con el objetivo de comprender su mecanismo de
función, pudiendo así tener aplicaciones en el estudio de múltiples disciplinas y en el
desarrollo tecnológico.
La formulación de un modelo matemático de un sistema primero conlleva:
Especificar el nivel de resolución del modelo. Es decir, identificar las variables que
ocasionan el cambio del sistema y seleccionar de acuerdo a su grado de implicación.
- Establecer un conjunto de suposiciones razonables o hipótesis, acerca del sistema que
estamos tratando describir. Esas hipótesis también incluyen las leyes empíricas que se
pueden aplicar al sistema.
Con frecuencia, las hipótesis acerca de un sistema implican una rapidez de cambio o tasa de
cambio de una o más variables. Estás hipótesis pueden traducirse matemáticamente en una
o más ecuaciones que contienen derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede
resultar ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales.
Proceso para hacer un modelo matemático:
Castillo Méndez Dafne Jocelyn
Franco López Jesús Fernando
González Cázares Manuel Alejandro
Morales Sánchez Laura Michel
Ecuaciones Diferenciales
Ingeniería Química
E:
Realizar supuestos o
hipótesis acerca de los
mecanismos de cambio
del sistema
Expresar los supuestos en
términos de las ecuaciones
diferenciales
Formulación
matemática
Resolver las ED
Obtener soluciones
Presentar las predicciones
del modelo (por ejemplo, en
forma de gráfica)
Comprobar las
predicciones del modelo
con hechos conocidos
Si es necesario, modificar
las hipótesis o aumentar la
resolución del modelo
1. PROPAGACIÓN DE UNA ENFERMEDAD
Sea 𝑥(𝑡) el número de personas que han contraído la enfermedad y 𝑦(𝑡) el número de
personas que aún siguen expuestas al contagio. Es lógico suponer que la rapidez 𝑑𝑥/𝑑𝑡 con
la que se propaga la enfermedad es proporcional al número de encuentros, o interacciones,
entre estos dos grupos de personas. Si suponemos que el número de interacciones es
conjuntamente proporcional a 𝑥(𝑡) y 𝑦(𝑡), esto es, proporcional al producto 𝑥𝑦, entonces:
Ejercicio 7
Supóngase que un alumno es portador del virus de la gripe y regresa a un aislado campus de
su universidad de 1000 estudiantes. Determine una ecuación diferencial para el número de
personas 𝑥(𝑡) que contraerán la gripe si la rapidez con la que la enfermedad se propaga es
proporcional al número de interacciones, entre el número de estudiantes que tiene gripe y
el número de estudiantes que aún no se han expuesto a ella.
𝑥 = número de estudiantes con gripe
= estudiantes no infectados
𝑘 = cte de proporcionalidad
= 𝑘E𝑥
F( 1000 − 𝑥)
Calculamos 𝑹
𝒔𝒂𝒍𝒆
𝑨
𝟏𝟎𝟎
→ (R) Misma rapidez de entrada 10L /min
"(#)
)(#)
= ]
"
(
)
*+++,
^
∴ _
` a 10
b =
Por lo tanto:
a) Determine una ecuación diferencial que exprese la cantidad A(t) de sal que hay en
el tanque al tiempo 𝑡 > 0.
Resolviendo la ED tenemos:
→ e
= e −
𝟏𝟎𝟎
b) ¿Cuánto vale 𝐴( 0 )?
En el instante 𝑡 = 0 , nuestra cantidad de soluto (sal) es de 25 kg debido a que no se
ha retirado ningún líquido.
3. DRENADO DE UN TANQUE
La ley de Torricelli establece que la rapidez "𝑣" de salida del agua a través de un agujero de
bordes afilados en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una profundidad "ℎ" es igual
a la rapidez de un cuerpo (en este caso una gota de agua) que está cayendo libremente desde
una altura "ℎ". La ley de Torricelli es una aplicación directa del teorema de Bernoulli, que se
expresa en la siguiente ecuación:
/
/
/
/
/
Consideramos que:
/
son equivalentes debido a que están sujetas a la misma
presión atmosférica.
= 0 , se desprecia debido a que es muy pequeña. Renombramos
/
/
= 0 ya que se encuentra al fondo del tanque, y renombramos ℎ
Por lo tanto:
/
/
q𝜌𝑔ℎ =
/
/
r ∙
/
/
/
/
𝑣 = t 2 𝑔ℎ
𝑣
6
𝑃
!
= 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
ℎ
!
𝑣
7
𝑃
"
= 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑡𝑚𝑜𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎
𝝆
𝑯 𝟐
𝑶
𝑳𝒆𝒚 𝒅𝒆 𝑻𝒐𝒓𝒓𝒊𝒄𝒆𝒍𝒍𝒊 →
sea constante), y también está en función de ℎ, que viene siendo la profundidad o altura del
agua respecto al tanque, y no es constante debido a que el nivel de agua depende del
tiempo 𝑡. Entonces:
;
Al obtener la derivada de la expresión anterior, estaríamos obteniendo la velocidad o tasa de
cambio del volumen del agua respecto al tiempo. Como en este caso 𝐴 ;
es constante y ℎ
está en función del tiempo, entonces:
<
Obteniendo entonces dos expresiones para 𝑑𝑉/𝑑𝑡:
9
t 2 𝑔ℎ
<
Al igualar, obtenemos la ecuación diferencial que deseábamos para expresar la altura del
agua al tiempo 𝑡:
<
9
t 2 𝑔ℎ ↔
9
<
t 2 𝑔ℎ
Esta expresión es válida aun cuando 𝐴 ;
no sea constante. En este caso, se debe expresar el
área de la superficie exterior del agua en función de ℎ, es decir:
;
;
Ejercicio 14
Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la figura 1.3.13 sale agua por un
agujero circular que está en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura ℎ del
agua al tiempo 𝑡 > 0. El radio del agujero es 50 mm, 𝑔 = 9. 8
4
=
, y el factor de
fricción/contracción introducido en el problema 13 es 𝑐 = 0. 6.
3 m
6 m
Anteriormente, hallamos una ecuación diferencial para poder hallar la altura ℎ del agua al
tiempo 𝑡, ahora agregaremos el factor de fricción/contracción:
9
<
t 2 𝑔ℎ → 𝐴
<
9
t 2 𝑔ℎ
Podemos observar que el área de la superficie superior del agua no es constante debido a la
forma del tanque, que ahora adquiere la forma de un cono. Vemos que el área de la
superficie superior del agua ira adquiriendo la forma de circunferencias más pequeñas al ir
bajando hasta llegar al fondo del tanque cónico. Por lo que tenemos que encontrar una
expresión 𝐴
<
que dependa de ℎ:
;
/
;
Podemos observar que, entre la generatriz, el radio mayor y la altura del cono se forma un
triángulo rectángulo:
Entonces, para un triángulo rectángulo general contenido en el cono, donde se encuentra el
nivel del agua:
Estos triángulos son semejantes por el teorema de semejanza AAA o AA.
3 m
6 m
h
r
𝜃
𝜃
/
√ 19. 6 → Eℎ
://
F
Obteniendo así la ecuación diferencial que modela la altura ℎ del agua al tiempo 𝑡:
t 𝒉
𝟑
Si queremos hallar la solución de la ecuación diferencial para obtener ℎ(𝑡):
aℎ
:
/ b
Eℎ
://
F𝑑ℎ = 𝑑𝑡
e aℎ
:
/ b 𝑑ℎ = e 𝑑𝑡 → −
a
b ℎ
@
/ = 𝑡 + 𝐶
@
/ = 𝑡 + 𝐶
@
/ = −
𝟏
𝟐/𝟓
4. CIRCUITOS EN SERIE
En un circuito en serie con el interruptor cerrado, la corriente se denota por 𝑖(𝑡) y la carga
en el capacitor en el tiempo t como 𝑞(𝑡). 𝐿 es la inductancia, 𝑅 la resistencia y 𝐶 la
capacitancia.
De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado 𝐸(𝑡) es igual a la suma de las
caídas de voltaje en el circuito.
La corriente está relacionada con la carga en el capacitor mediante 𝑖 = 𝑑𝑞/𝑑𝑡.
Entonces, para obtener 𝐸(𝑡) se suman los siguientes voltajes:
Inductor 𝐿
!
C
!#
Resistor 𝑅
!C
!#
Capacitor
D
Por lo tanto se obtiene la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
/
/
Ejercicio 1 5
Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura. Determine
una ecuación diferencial para la corriente 𝑖(𝑡) si la resistencia es 𝑅, la inductancia es 𝐿 y el
voltaje aplicado es 𝐸(𝑡).
