¡Descarga Models - Labotaròri solucionat y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
MODELS MATEM ATICS I SISTEMES DINAMICS
Curs 2012-13, semestre de primavera
Laboratori 9: Resoluci´o anal´ıtica d’equacions diferencials de primer ordre
Exercici 1 L’equaci´o x′^ +p(t)x = q(t)xn, on n ∈ N, es coneix com l’equaci´o de Bernouilli. El canvi y = x^1 −n^ per a n ≥ 2 redueix l’equaci´o de Bernouilli a una equaci´o lineal. (Aquest metode va ser trobat per Leibniz al 1696.) Apliqueu el metode per resoldre l’equaci´o t^2 x′^ + 2t^3 x = x^2 (1 + 2t^2 ) per a t 6 = 0 i x(t) ∈ R. Indicaci´o:
e−s^2 (2 + s−^2 ) ds = −e−s^2 /s.
Soluci´o. Dividint per t^2 l’equaci´o diferencial ordin`aria (edo) de l’enunciat es reescriu com
x′^ + 2tx = x^2
t^2
El canvi y = 1/x (per tant, x′^ = −y′/y^2 ) redueix (1) a l’edo lineal seg¨uent
−y′^ + 2ty = 2 +
t^2
Tenim que a(t) = 2t i, per tant, el factor integrant ´es e−A(t)^ = e−t^2. Multiplicant l’equaci´o pel factor integrant trobem
d dt
(ye−t^2 ) = −
t^2
e−t^2 ,
d’on, integrant i usant la primitiva de la indicaci´o, obtenim
ye−t^2 =
e−t^2 t
+ C.
Finalment, la soluci´o ve donada per
y(t) = Cet
2
t
Es comprova facilment que x(t) = 0 ´es tamb´e soluci´o (notem que el canvi de variables y = 1/x esta ben definit llevat de quan x = 0).
Alternatives:
La soluci´o general de una edo lineal ´es la suma de la soluci´o de la edo homogenia associada m´es una soluci´o particular. La edo homogenia associada y′^ + 2ty = 0 t´e soluci´o y(t) = Cet^2. Una soluci´o particular de (2) es pot trobar usant el metode de variaci´o de constants o usant el metode del factor integrant:
(a) Per variaci´o de constants: Busquem una soluci´o particular de la forma y(t) = c(t)et^2. Imposant que compleixi l’equaci´o diferencial (2) trobem la condici´o −c′(t)et^2 = 2 + 1/t^2 , d’on c(t) = −
e−t^2 (2 + t−^2 )dt = e−t^2 /t. La soluci´o general de (2) ´es y(t) = Cet^2 + 1/t.
(b) Per factor integrant (2): L’equaci´o (2) es pot reescriure com
P (t, y)dt + Q(t, y)dy = 0, (3)
on P (t, y) = 2ty − 2 − t−^2 i Q(t, y) = −1. Com que ∂P (t,y) ∂y −^
∂Q(t,y) ∂t Q(t, y)
= − 2 t
i, per tant, dep`en nom´es de t, admet un factor integrant de la forma μ(t). La condici´o d’exactitud ´es ∂μ ∂y
P (t, y) −
∂μ ∂t
Q(t, y) = μ(t, y)
∂Q
∂t
∂P
∂y
que, en el nostre cas, es redueix a l’equaci´o μ′(t) = − 2 tμ(t). Per tant, l’equaci´o (3) admet el factor integrant μ(t) = e−t^2. Les solucions de l’equaci´o s´on de la forma U (t, y) = c on U verifica
∂U ∂y
= −e−t^2 ,
∂U
∂t
= e−t^2 (2ty − 2 − t−^2 ).
De la primera condici´o trobem U (t, y) = −e−t^2 y + g(t) i substituint a la segona obtenim que g′(t) = −e−t^2 (2 + t−^2 ), d’on g(t) = e−t^2 /t. Per tant les solucions verifiquen U (t, y) = −e−t^2 y + e−t^2 /t = c, d’on y(t) = Cet^2 + 1/t.
Finalment, desfent el canvi, trobem la soluci´o general de l’equaci´o (1) ve donada per
x(t) =
t 1 + Ctet^2
Exercici 2 Resoleu
x′(t) =
t cos x + sin 2x on x(t) ∈ R. Indicaci´o: Justifiqueu que existeix la inversa t(x) de la soluci´o i busqueu l’equaci´o diferencial que ha de satisfer. (La soluci´o us quedar`a en forma impl´ıcita.)
