Escola Politècnica Superior
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Mòdul 2. Lògica de Predicats
Introducció a la lògica
Cristina Borralleras Andreu
P-ILO-1Q-M2-CA
26-setembre-2006 (ver 2.0)
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Introducció a la Lògica, Profesor: , Carrera: Enginyeria Tèc. Informàtica de Sistemes, Universidad: UVic
Tipo: Apuntes
Antes del 2010
1 / 76
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Mòdul 2.Lògica de Predicats y más Apuntes en PDF de Informática solo en Docsity!
Escola Politècnica Superior
Mòdul 2. Lògica de Predicats
Introducció a la lògica
Cristina Borralleras Andreu [email protected]
P-ILO-1Q-M2-CA
26-setembre-2006 (ver 2.0)
2 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
No és permesa la reproducció total o parcial d’aquests apunts, ni el tractament informàtic, ni la transmissió per cap forma o per qualsevol mitjà, sigui electrònic, mecànic, per fotocòpia, per registre o altres mètodes, sense el permís previ i per escrit dels titulars del Copyright.
DRETS RESERVATS 2003. UNIVERSITAT DE VIC Sagrada Família, 7 08500 Vic (Barcelona) Autor mòdul: Cristina Borralleras Andreu Universitat de Vic
4 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Introducció
La lògica proposicional té importants limitacions. Per a formalitzar un enunciat simple (sense connectives) es fa mitjançant un símbol d’àtom i no s’aprofundeix en l’estructura interna d’aquest enunciat. Això fa que, per exemple, no poguem expressar que certs objectes satisfan una relació o que tots els objectes satisfan una propietat o que existeix algun objecte que satisfà una propietat.
Això ens limita en el sentit de que hi ha raonaments o estructures deductives vàlides que no es poden expressar en el llenguatge proposicional. Per exemple,
Tots els homes són mortals Josep és un home Per tant, Josep és mortal
en llenguatge proposicional ho formalitzaríem com P , Q |= R, on P = tots els homes són mortals, Q = Josep és un home i R = Josep és mortal. Com podeu comprovar R no és conseqüència lògica de P i Q.
Un altre exemple: Només els alts són amics dels Gironins El Pere és amic de l’Albert El Pere no és alt Per tant, L’Albert no és Gironí
en llenguatge proposicional ho formalitzaríem com G → A , P, ¬Q |= ¬R, on G = amic dels Gironins, A = ser alt, P = el Pere és amic de l’Albert, Q = el Pere és alt i R = l’Albert és Gironí. Podeu comprovar que ¬R no és conseqüència lògica de G → A , P, ¬Q.
La lògica de predicats es pot veure com una extensió de la lògica proposicional en la que s’inclouen nous conceptes com quantificadors, símbols de funció i símbols de predicat. Utilitzant aquests nous conceptes podrem expressar frases i raonaments que no es podien expressar utilitzant el llenguatge proposicional.
Universitat de Vic 5
Objectius
1. Aprendre a formalitzar en el llenguatge de la lògica de predicats frases donades en llenguatge natural. 2. Conèixer les nocions d’interpretació i de satisfactibilitat per les fórmules de la lògica de predicats. 3. Ampliar les regles d’inferència de la deducció natural per a poder validar raonaments expressats en el llenguatge de la lògica de predicats, és a dir, regles per a la manipulació de quantificadors. 4. Manipular algebraicament les fórmules per a expressar-les en forma clausal. 5. Estudiar el mètode de resolució pel cas de la lògica de predicats. 6. Veure la relació que hi ha entre la resolució aplicada a un subconjunt del llenguatge de la lògica de predicats i el llenguatge de programació lògica Prolog.
Universitat de Vic 7
Cada símbol de funció f i cada símbol de predicat P té associat un número natural, que és la seva aritat (a vegades s’escriu l’aritat amb un superíndex: fn^ , Pn). Un predicat n-ari és una funció proposicional de n arguments: P(,,…,_). Un cas particular són els predicats zero-àrics (n=0), que són de la forma P, Q, R,…, és a dir, els àtoms de la lògica proposicional. Els predicats unaris (n=1) permeten expressar propietats (p.ex. ser alt, ser nombre primer,…), els predicats binaris (n=2) permeten expressar relacions binàries (p.ex, ser més gran que, ser amic de,…), els predicats ternaris (n=3) permeten expressar relacions ternàries (p.ex, S(x,y,z) representa que la suma de x més y és z), etc. Exemples enunciats : − P : plou
− S : Ara és Setembre
propietats : − P(x) : x és un nombre primer − A(x) : x és alt Relacions binàries : − G(x,y) : x és més gran que y − A(x,y) : x és amic de y
En els arguments dels predicats hi trobarem termes que es defineixen de la següent manera:
- tota variable és un terme
- f(t 1 ,…,tn) és un terme si t 1 ,…,tn són termes i f és un símbol de funció d’aritat n
- cap altre expressió és un terme Els símbols de funció d’aritat zero també s’anomenen constants. En aquests primers apartats només utilitzarem termes que són variables {x, y, z,…} o constants { a, b, c, …}. Els símbols de funció d’aritat n>0 sortiran més endavant. Les constants denoten un individu o un valor concret, l’Albert, el nombre 3,…. Les variables són llocs en blanc en l’expressió d’un predicat i són substituïbles per valors (llavors el predicat es transforma en una proposició o enunciat). Les variables s’utilitzen per a referir a individus genèrics i es poden quantificar. S’anomena domini d’una variable al conjunt de valors que la poden substituir. Per convenció, tot domini d’una variable sempre es suposa no buit.
n
8 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Ara podem donar la definició d’ àtom pel cas de la lògica de predicats: Sigui P un símbol de predicat d’aritat n, i t 1 ,…,tn termes , llavors P(t 1 ,…,tn) és un àtom.
Anomenem literal a un àtom o a la negació d’un àtom.
Les regles de construció de les fórmules de la lògica de predicats són:
- Tot àtom és una fórmula
- Si A i B són fórmules, llavors (¬A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) i (A ↔ B) també ho són
- Si A és una fórmula i x una variable, llavors (∀x A), (∃x A) també ho són (si x apareix lliure en A) (vegeu la definició de variable lliure a la pàgina següent)
- No hi ha cap altre fórmula
Tal com hem fet per a la lògica proposicional, en la lògica de predicats podem simplificar l’escriptura de fórmules de la següent manera:
- Eliminar els parèntesis exteriors
- Associar una prioritat a les connectives i quantificadors. Les escrivim en ordre decreixent : ∀ , ∃ ¬ ∧ , ∨ → ↔ Considerarem associativitat d’esquerra a dreta per les connectives amb igual prioritat.
Quantificadors
- Quantificador universal ∀ : és el generalitzador de la conjunció. Serveix per expressar lleis universals, és a dir, que les compleixen tots els elements del domini. Es llegeix “per a tot”, “tots els”,….
- Quantificador existencial ∃ : és el generalitzador de la disjunció. Serveix per expressar lleis existencials, és a dir, que les compleix algun element del domini. Es llegeix “per algun”, “hi ha algun”, “existeix algun”,….
10 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
Substitucions Podem substituir una variable per una constant o per una altra variable. Denotarem les substitucions de la següent manera: {x ← y, y ← a} que significa que substituïm la x per y i la y per a, en paral·lel. Així doncs, una substitució és un conjunt finit de la forma {x 1 ← t 1 ,…, xn←tn} on cada ti és un terme i cada xi és una variable tals que xi ≠ti i xi ≠xj per tot i≠j. La substitució buida es denota per {}.
- Donada una substitució θ = {x 1 ← t 1 ,..., xn← tn} i una fórmula A, aplicar θ a A és la fórmula obtinguda reemplaçant simultàniament totes les aparicions de les variables xi que apareixen en A pels termes ti. El resultat d’aplicar θ a A s’escriu Aθ, i se’n diu una instància de A. Exemple: P(x,y,z,a) {y←a, z←x} = P(x,a,x,a) P(f(x,y),g(z,a,x)) {y←a, x←z} = P(f(z,a),g(z,a,z)) (noteu que en aquest cas hi ha termes formats per funcions no constants)
- Siguin θ = { x 1 ← t 1 ,..., xn← tn } i μ = {y 1 ← s 1 ,..., ym← sm} dues substitucions. La composició de θ i μ , representada per θ ° μ , s’obté treient del conjunt { x 1 ← t 1 μ,..., xn← tnμ , y 1 ← s 1 ,..., ym← sm } aquells parells xi← tiμ per als quals xi és idèntic a tiμ, i també els parells yj← sj per als quals yj ∈ {x 1 ,..., xn}.
Les fórmules que no tenen cap variable lliure s’anomenen fórmules tancades o enunciats. Les fórmules que tenen alguna variable lliure s’anomenen fórmules obertes.
2.1.1. Formalització
En aquest apartat veurem alguns exemples de formalització utilitzant el llenguatge de la lògica de predicats. En primer lloc donarem alguns dels patrons més habituals que apareixen en la formalització de frases que requereixen quantificadors. Utilitzarem els predicats A(x) que vol dir “x és A”, B(x) que vol dir “x és B” i C que és una fórmula qualsevol.
Universitat de Vic 11
- Lleis universals que fan referència a tots els elements del domini Tot és A (o tothom és A): ∀∀∀∀ x A(x) Per exemple:
- Tothom és feliç : ∀x F(x) on F(x) = x és feliç
- Tot és blau i petit: ∀x (B(x) ∧ P(x)) on B(x) = x és blau i P(x) = x és petit
- Ningú està malalt : ∀x ¬M(x) on M(x) = x està malalt Una altra manera d’expressar una llei universal és negant un existencial : “Ningú està malalt” també es pot formalitzar ¬∃x M(x)
- Lleis existencials que fan referència a tots els elements del domini Alguns són A (o hi ha algu que és A): ∃∃∃∃ x A(x) Per exemple:
- Hi ha algú feliç : ∃x F(x) on F(x) indica x és feliç
- Alguns són blaus i petits: ∃x (B(x) ∧ P(x)) on B(x) = x és blau i P(x) = x és petit
- No tots estan malalts (és el mateix que dir “hi ha algú que no està malalt”): ∃x ¬M(x) on M(x) = x està malalt Una altra manera d’expressar una llei existencial és negant un universal : “No tots estan malalts” també es pot formalitzar ¬∀x M(x)
- Lleis universals que fan referència als elements del domini que satisfan una determinada propietat (per tant, a un subconjunt dels elements del domini) Tots els A són B: ∀∀∀∀ x (A(x) →→→→ B(x)) Per exemple:
- Tots els nens estan contents : ∀x (N(x) → C(x)) on N(x) = x és nen i C(x) = x està content
- Tots els cotxes són blaus i potents: ∀x (C(x) → B(x) ∧ P(x)) Tots els cotxes blaus són potents: ∀x (C(x) ∧ B(x) → P(x)) on C(x) = x és cotxe, B(x) = x és blau i P(x) = x és potent
- Cap mare està malalta : ∀x (M(x) → ¬L(x)) on M(x) = x és mare i L(x) = x està malalta Una altra manera d’expressar una llei universal és negant un existencial: “Cap mare està malalta” també es pot formalitzar ¬∃x (M(x) ∧ L(x))
Universitat de Vic 13
Altres exemples de formalització Els símbols de predicat i constants que s’usen per cada frase declarativa simple apareixen entre parèntesis al mig del text.
- N’hi ha que són quadrats (Q(x)) ∃x Q(x)
- N’hi ha que són quadrats (Q(x)) i blaus (B(x)) ∃x (Q(x) ∧ B(x))
- N’hi ha que són quadrats (Q(x)) i n’hi ha que són blaus (B(x)) ∃x Q(x) ∧ ∃x B(x)
- N’hi ha que fan natació (N(x)) però tots fan gimnàs (G(x)) ∃x N(x) ∧ ∀x G(x)
- Tots van d’excursió (E(x)) i estan contents (C(x)) ∀x (E(x) ∧ C(x))
- Tots els que van d’excursió (E(x)) estan contents (C(x)) ∀x (E(x) → C(x))
- Hi ha primers (P(x)) que són senars (S(x)) ∃x (P(x) ∧ S(x))
- No tots els primers (P(x)) són senars (S(x)) ∃x (P(x) ∧ ¬S(x)) ≡ ¬∀x (P(x) → S(x))
- Tots els primers (P(x)) més grans que (G(x,y)) dos (2) són senars (S(x)) ∀x (P(x) ∧ G(x,2) → S(x))
- Tots els nois (N(x)) que fan teatre (T(x)) aniran a l’excursió (E(x)) ∀x (N(x) ∧ T(x) → E(x))
- Hi ha nois (N(x)) que fan teatre (T(x)) i aniran a l’excursió (E(x)) ∃x (N(x) ∧ T(x) ∧ E(x))
- Hi ha nois (N(x)) que fan teatre (T(x)) i n’hi ha que fan gimnàs (G(x)) ∃x (N(x) ∧ T(x)) ∧ ∃x (N(x) ∧ G(x))
- Si tots els nois (N(x)) van a l’excursió (E(x)), hi ha algú que està content (C(x)) ∀x (N(x) → E(x)) → ∃y Cy
- L’Albert (a) anirà a gimnàs (G(x)) si tots els seus amics (A(x,y) =x és amic de y) hi van ∀x (A(a,x) → G(x)) → G(a)
14 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
- L’Albert (a) anirà a gimnàs (G(x)) si algun dels seus amics (A(x,y)=x és amic de y) hi va ∃x (A(a,x) ∧ G(x)) → G(a)
- Tothom té pare (P(x,y)=x és pare de y) ∀x∃y P(y,x)
- N’hi ha un que és pare de tots (P(x,y)=x és pare de y) ∃x∀y P(x,y)
- Tots els barbers (B(x)) afeiten algú (A(x,y)=x afeita y) ∀x (B(x) → ∃y A(x,y))
- Tots els barbers (B(x)) s’afeiten a si mateixos (A(x,y)=x afeita y) ∀x (B(x) → A(x,x))
- Si hi ha algú que admira a tothom (A(x,y)=x admira y) llavors hi ha algú que s’admira a si mateix : ∃x∀y A(x,y) → ∃z A(z,z)
- Si algun noi admira (A(x,y)=x admira y) a tots els professors (P(x)) llavors tots els professors són admirats per algun noi : ∃x [ N(x) ∧ ∀y (P(y) → A(x,y)) ] → ∀z [ P(z) → ∃t (N(t) ∧ A(t,z)) ]
- Tots els futbolistes (F(x)) admiren (A(x,y)=x admira y) algun futbolista ∀x (F(x) → ∃y (F(y) ∧ A(x,y))
- Hi ha futbolistes (F(x)) que admiren (A(x,y)=x admira y) als jugadors de bàsquet (B(x)) ∃x (F(x) ∧ ∀y (B(y) → A(x,y))
- Quan alguna persona (P(x)) triomfa (T(x)) d’altres li tenen enveja (E(x,y)=x té enveja de y) ∀x (P(x) ∧ T(x) → ∃y (P(y) ∧ E(y,x)))
Activitat: resoleu els exercicis d’autoavaluació 1 a 12.
2.1.2. Semàntica
Els conceptes de validesa, satisfactibilitat, conseqüència lògica i equivalència lògica es defineixen de la mateixa manera que en el cas de la lògica proposicional. Ara bé, les fórmules de la lògica de predicats són més complexes que els enunciats de la lògica proposicional, i per tant, cal veure en què consisteix una interpretació en la lògica de predicats.
16 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
- Donada la fórmula ∀x P(x,a) veurem quatre possibles interpretacions a) Domini D={1,2} ={a2} ={¬P(1,1), P(1,2), ¬P(2,1), P(2,2)} b) Domini D={anna, pep, joan} ={aanna} = { ¬P(anna,anna), ¬P(anna,pep), P(anna,joan), P(pep,anna), ¬P(pep,pep), ¬P(pep,joan), P(joan,anna), ¬P(joan,pep), ¬P(joan,joan)} c) Domini D = Z (els enters) ={a0} Interpretem el predicat P amb la relació ≥ sobre els enters, ={P”≥”} d) Domini D = N (els naturals) ={a0} Interpretem el predicat P amb la relació ≥ sobre els naturals, ={P”≥”}
Per a poder definir quan una interpretació satisfà una fórmula, primer cal donar una noció d’avaluació d’una fórmula en una interpretació. Per evitar tecnicismes, estendrem la noció d’interpretació a variables : per a cada variable x, s’assigna un element xdel domini (D) de la interpretació .
L’avaluació en una interpretació d’un terme t , denotat per aval( t ), és una funció que per cada terme dóna un valor del domini D:
- Si x és una variable llavors aval( x )= x
- Si fn^ és una funció llavors aval(f(t 1 ,…,tn))= f(aval(t 1 ),…, aval(tn)) En particular, si a és una constant llavors aval( a )= a
Finalment, podem definir l’avaluació en una interpretació d’una fórmula.
Semàntica d’una fórmula Sigui una interpretació i F una fórmula. L’avaluació en de F , denotada aval( F ), és una funció que per cada fórmula dóna un valor de { V, F }. Definim aquesta avaluació per tots els possibles casos de F.
Universitat de Vic 17
- Si P és un símbol de predicat d’aritat n, aval(P(t 1 ,…,tn))= P(aval(t 1 ),…, aval(tn))
- aval(¬ A )=V si i només si aval( A )=F
- aval( A 1 ∧ A 2 )=V si i només si aval( A 1 )=V i aval( A 2 )=V
- aval( A 1 ∨ A 2 )=V si i només si aval( A 1 )=V o aval( A 2 )=V
- aval( A 1 → A 2 )=V si i només si aval( A 1 )=F o aval( A 2 )=V
- aval( A 1 ↔ A 2 )=V si i només si aval( A 1 )= aval( A 2 )
- aval(∀∀∀∀ x A )=V si i només si avalx=d= V per tot d∈D
- aval(∃∃∃∃ x A )=V si i només si avalx=d= V per algun d∈D on [x=d] denota la interpretació identica a excepte que x= d.
Donada una fórmula A i una interpretació per aquesta fórmula, aval( A ) assigna el valor de veritat de la fórmula A en la interpretació .
Fixeu-vos que per dominis finits D={1,…,n }:
- aval(∀∀∀∀ x P(x) ) es pot calcular traduïnt a aval(P(1) ∧ P(2) ∧…∧ P(n)), i
- aval(∃∃∃∃ x P(x) ) es pot calcular traduïnt a aval(P(1) ∨ P(2) ∨…∨ P(n)).
Models i contraexemples Sigui una interpretació i A una fórmula. Direm que
- és un model de A o que satisfà A , denotat |= A , si i només si aval( A )=V
- és un contraexemple de A , denotat |≠ A , si i només si aval( A )=F.
Exemples
- Donada la fórmula ∀x ∃y P(x,y) veurem quines de les cinc interpretacions donades són models i quines contraexemples a) Domini D={1,2} Donat que no hi ha funcions (ni constants), ={} ={¬P(1,1), P(1,2), ¬P(2,1), P(2,2)} Traduïm la fórmula ∀x ∃y P(x,y) utilitzant la definició aval(∀x ∃y P(x,y)), és a dir, ∀x ∃y P(x,y) és equivalent a ∃y P(1,y) ∧ ∃y P(2,y) que és equivalent a [ P(1,1) ∨ P(1,2) ] ∧ [ P(2,1) ∨ P(2,2) ]
Universitat de Vic 19
b) < {anna, pep, joan}, {aanna}, { ¬P(anna,anna), ¬P(anna,pep), P(anna,joan), P(pep,anna), ¬P(pep,pep), ¬P(pep,joan), P(joan,anna), ¬P(joan,pep), ¬P(joan,joan)} > és un contraexemple de ∀x P(x,a). Noteu que ∀x P(x,a) es tradueix P(anna,anna) ∧ P(pep,anna) ∧ P(joan,anna) (donat que la constant a s’interpreta com anna), que és F en la interpretació donada.
c) < Z , { a0} , {P“≥ “} > és un contraexemple de ∀x P(x,a). Noteu que ∀x P(x,a) si interpretem a per 0 i P per la relació ≥ sobre els enters significa … ∧ -2≥ 0 ∧ -1≥ 0 ∧ 0 ≥ 0 ∧ 1 ≥ 0 ∧ 2 ≥ 0 ∧ … que és F. “No és cert que tot enter és més gran o igual que 0”
d) < N , { a0} , {P“≥ “} > és un model de ∀x P(x,a). Noteu que ∀x P(x,a) si interpretem a per 0 i P per la relació ≥ sobre els naturals significa 0≥ 0 ∧ 1 ≥ 0 ∧ 2 ≥ 0 ∧ … que és V. “És cert que tot natural és més gran o igual que 0”
Activitat: resoleu l’exercici d’autoavaluació 13.
La mateixa classificació donada pels enunciats de la lògica proposicional s’apliquen a les fórmules de la lògica de predicats:
- Una fórmula A és una tautologia (o també es diu que és vàlida ) si totes les possibles intepretacions són models, és a dir, si tota interpretació satisfà A ( ∀ |= A ). Es denota per |= A. En cas contrari es diu que A és invàlida i es denota |≠ A
- Un fórmula A és insatisfactible si no té cap model, és a dir, si no existeix cap interpretació que satisfà A ( ∀ |≠ A ). Es denota per |= ¬A. En cas contrari es diu que A és satisfactible i es denota |≠ ¬A
- Una fórmula A és contingent si té algun model i algun contraexemple.
També coincideixen les definicions de conseqüència lògica i d’equivalència lògica
20 TAUVIC-TeleAprenentatge Universitari VIC
- Conseqüència lògica Siguin A 1 ,A 2 ,…,An i B fórmules. Direm que B és conseqüència lògica de {A 1 ,A 2 ,…,An}, denotat A 1 ,A 2 ,…,An |= B, si tot model de { A 1 ,A 2 ,…,An } és model de B. És a dir, B és conseqüència lògica de { A 1 ,A 2 ,…,An } si per tota interpretació tal que |=A 1 ∧ A 2 ∧…∧ An llavors |= B.
Tal i com vàrem veure en la lògica proposicional, els problemes de conseqüència lògica , validesa i insatisfactibilitat són equivalents : A 1 ,A 2 ,…,An |= B ⇔ |= A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ An → B ⇔ |= ¬(A 1 ∧ A 2 ∧ … ∧ An ∧¬B)
- Equivalència lògica Siguin A i B enunciats. Direm que A i B són lògicament equivalents si i només si els models de A i B coincideixen. Es denota A≡B i diem que A≡B és una equivalència lògica.
Les equivalències lògiques que vàrem donar per la lògica proposicional també es verifiquen per la lògica de predicats. A continuació donem algunes conseqüències lògiques i equivalències lògiques de la lògica de predicats on apareixen quantificadors.
Llista classificada de conseqüències i equivalències lògiques Utilitzarem les fórmules A i B. Denotarem per A (o B) una fórmula tancada, és a dir, sense variables lliures i denotarem per A(x) (o B(x)) si x apareix lliure a A (o B) i denotarem per A(x,y) (o B(x,y)) si x i y apareixen lliures a A (o B).
- Lleis d’alteració de quantificadors
∀x A ≡ A ∃x A ≡ A ∀x∀y A(x,y) ≡ ∀y∀x A(x,y) ∃x∃y A(x,y) ≡ ∃y∃x A(x,y) ∀x∀y A(x,y) |= ∀x A(x,x) ∃x A(x,x) |= ∃y∃x A(x,y) ∃x∀y A(x,y) |= ∀y∃x A(x,y) ∀x A(x) |= ∃x A(x)
- Negació - De Morgan (han sortit exemples en l’apartat de formalització)
¬∀x A(x) ≡ ∃x ¬A(x) ¬∃x A(x) ≡ ∀x ¬A(x)