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4.1. POLINOMIOS DE TAYLOR
4.2. EXTREMOS DE FUNCIONES
ESCALARES
4.3. EXTREMOS CONDICIONADOS
(Multiplicadores de Lagrange)
Objetivos.
- Encontrar Polinomios de Taylor para funciones de dos
variables.
- Optimizar funciones de dos y tres variables sin restricciones y
con una y dos restricciones de igualdad
4.1 POLINOMIOS DE TAYLOR
En el capitulo anterior se mencionó que si f es una función diferenciable
entonces (^) ( ) ( ) [ ]
z = f + ⎡ Df ⎤ −
x x x x debe ser una buena
aproximación de la función en la vecindad de x 0 , es decir:
f (^) ( ) ≈ f (^) ( 0 ) + ⎡ Df ( 0 ) [⎤ − 0 ]
x x x x x
Para funciones de dos variables tenemos:
( ) ( )
,^0
x y
f f x^ x
f x y f x y
x y y y
⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡^ − ⎤
Un polinomio de primer orden:
( ) ( )
( )
[ ]
( )
[ ]
0 0 0 0
, ,
f x y f x y
f x y f x y x x y y r
x y
Ejemplo.
Sea f ( x y , ) = sen x ( + 2 y ). Hallar el polinomio de Taylor de Primer orden en la
vecindad de ( 0, 0 ).
S OLUCIÓN :
En este caso tenemos:
( ) ( )
[ ]
[ ] 1
0, 0 0, 0
f f
f x y f x y r
x y
Las derivadas parciales, serian:
( ) (^) ( 0,0)
0, 0
cos 2 1
f
x y
x
( ) (^) ( 0,0)
0, 0
2 cos 2 2
f
x y
x
sen x ( + 2 y ) = 0 + 1 [ x ] + 2 [ y ] + r 1
4.1.1 Polinomio de Taylor de segundo orden.
Para funciones de una variable el polinomio de Taylor de segundo orden
es:
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]
f x = f x + f x x − x + f x x − x + r
Las derivadas parciales de primer orden serian:
3 2 0,
x y
f x e
3 2
0,
x y
f y e
Las derivadas parciales de segundo orden serian
3 2
0,
x y
f xx e
3 2
0,
x y
f xy e fyx
3 2
0,
x y
f yy e
Reemplazando y resolviendo:
( ) [ ] [ ]
( ) [ ]
( ) ( )
( )
2
2
2 2 2
2 2 2
x x
f x y x y r
y y
x
f x y x y x y x y r
y
f x y x y x xy xy y r
f x y x y x xy y r
La formula de Taylor de segundo orden puede ser usada en forma directa:
( ) ( ) ( )
[ ] ( )
( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
(^0 0 0 )
0 0 0 0 0 0 2 , (^0) ,^0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0
xx xy
x y yx^ yy x y
x y xx yx xy yy
f f x^ x^ f^ f x^ x
f x y f x y x x y y r
x y y y f^ f y y
x x
f x y f x y f x x f y y f x x f y y f x x f y y r
y y
⎡ ∂ ∂ ⎤ ⎡ −^ ⎤ ⎡^ ⎤ ⎡ − ⎤
⎣ ∂^ ∂ ⎦ ⎣ −^ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ − ⎦
= + − + − + ⎡^ − + − − + − ⎤⎢ ⎥+
( ) ( ) (^) [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]
2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2
1 , , 2 2
f x y f x y f (^) x x x f (^) y y y f (^) xx x x fxy x x y y f (^) yy y y r = + − + − + ⎡^ − + − − + − ⎤+ ⎣ ⎦
Ejercicios propuestos 4.
- Determinar el polinomio de Taylor de segundo orden para la función alrededor del punto indicado:
a) ( , ) ( ) , 0 0 , 0 0
fxy = x + y x = y =
b) ( , ) = , 0 = 2 , 0 = 3
f xy e x y
x y
c) ( , ) cos( ), 0 0 , 0 0
2 2
f xy e xy x y
x y
d) f ( x , y ) = sen( xy ) +cos( xy ) , x 0 = 2 , y 0 = 1
e) ( )
( )
2
f xy e x y
x
- Obtenga un desarrollo de Taylor de segundo orden para:
2 2 0 0
f x y x y x y
Luego utilice el resultado para hallar el valor aproximado de f ( 0.3, −0.2)
- Empleando la formula de Taylor de segundo orden aproxime:
a) ( )
3 ln 0.
b) ( )
c) 3.8 sen ( 0.4)
4. Sea f ( −1,1 ) = 5 , ( 1,1)
f (^) −
H −
. Obtenga el valor aproximado para
f ( −0.99,0.98)
5. Sea f :\ 2 6 \ diferenciable en ( x 0 , y 0 ) tal que ∇ f ( x 0 , y 0 ) = ( 2,1),
x y
Hf y f ( x 0 , y 0 )= 3. Determine f ( x 0 + 0.2, y 0 −0.1)
4. 2 EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES
4.2.1 DEFINICIÓN
Sean (^) ( ) :
n
f x U ⊆ R → R ,
x ∈ U , (^) ( )
n
B x ∂.
- f (^) ( x 0 (^) ) es un valor MÁXIMO LOCAL f en
n
B ,
si (^) ( ) ( )
n
f x ≤ f x ∀ x ∈ B.
- (^) ( )
f x es un valor MÍNIMO LOCAL de f en
n
B , si (^) ( ) ( )
n
f x ≥ f x ∀ x ∈ B.
- Si (^) ( )
f x es tal que en su vecindad, en
ciertas direcciones hay un máximo y en
otras un mínimo, entonces se llama
P UNTO DE SILLA.
Bien, ya están definidos los extremos, ahora debemos definir cómo
encontrarlos. Igual que para función de una variable deberán existir puntos
candidatos a ser extremos.
La mayoría de las funciones son diferenciables por tanto nos regiremos al
estudio de este tipo de funciones.
4.2.2 TEOREMA ( Condición necesaria para la existencia de
extremos locales)
Sean (^) ( ) :
n
f x U ⊆ R → R , una función
diferenciable, sea
x ∈ U. Si en
x , f (^) ( x )
tiene un extremo local entonces ∇ f (^) ( x 0 (^) )= 0.
- Si la matriz Hessiana (^) ( ( ))
H f x es definida
NEGATIVA (todos sus valores propios son
negativos) entonces (^) ( )
f x es un valor
MÁXIMO de f.
- Si la matriz Hessiana (^) ( ( ))
H f x es SEMI -
DEFINIDA POSITIVA (valores propios no
negativos) entonces (^) ( )
f x PUEDE ser un
valor MÍNIMO de f.
- Si la matriz Hessiana (^) ( ( ))
H f x es SEMI -
DEFINIDA NEGATIVA (valores propios no
positivos) entonces (^) ( )
f x PUEDE ser un
valor MÁXIMO de f.
- Si la matriz Hessiana (^) ( ( ))
H f x es NO
DEFINIDA (valores propios no positivos y no
negativos) entonces (^) ( )
f x es un PUNTO
DE SILLA de f.
Obtener los valores propios de la matriz Hessiana puede resultar una
tarea dificultosa por tanto, podemos utilizar otro mecanismo que lo vamos a ir
indicando primero para dos variables, luego para tres hasta llegar a
generalizarlo.
4.2. 4 TEOREMA
Sea f (^) ( x y , (^) ) una función dos veces
diferenciable en
U ⊆ R , sea (^) ( )
x , y ∈ U un
punto crítico estacionario de f.
Defínanse las matrices:
[ ] ( )
( )
0 0
0 0
xx xy
xx x y
yx yy
x y
f f
H f H H
f f
Entonces:
1. Si
H > 0 ∧ H > 0 , entonces
f ( x , y )
es un MÍNIMO de f en U.
2. Si
H < 0 ∧ H > 0 , entonces
f ( x , y )
es un MÁXIMO de f en U.
3. Si H 2 < 0 , entonces f ( x 0 , y 0 ) es un
PUNTO DE SILLA de f en U.
4. Si
H = 0 , no se puede concluir.
Ejemplo 1
Hallar los extremos para
2 2 f ( x , y )= x + y
SOLUCIÓN:
PRIMERO se encuentran los puntos críticos, candidatos a ser extremos.
Las derivadas parciales para
f ( x , y )= x + y son:
f x x f y y
El sistema
y
x
da como resultado x 0 = 0 y y 0 = 0
Por tanto tenemos en este caso un sólo punto crítico (^ x 0 ,^ y 0 )^ =(^0 ,^0 )
SEGUNDO Clasifiquemos el punto crítico:
Las segundas derivadas parciales son:
xy yx
yy
xx
f f
f
f
La matriz Hessiana en este caso es:
2 2
2
2 2
2 (0,0)
f f
x x y
H
f f
y x y
= ⎢^ ⎥ =
⎢ ⎥ ⎢^ ⎥
⎣ ∂ ∂^ ∂ ⎦
Ahora, como H 1 (^) = 2 > 0 y 4 0
H 2 = = > concluimos que en ( 0 , 0 ) hay un valor
mínimo para la función, que sería: ( 0 , 0 ) 0 0 0
2 2
fMín = + =
Ejemplo 2
Hallar los extremos para f^ ( x^ , y ) x y^6 xy
3 3 = − +
SOLUCIÓN:
PRIMERO: Para hallar los puntos críticos, tenemos:
Las derivadas parciales son:
f y x
f x y
y
x
Resolviendo el sistema
y x
x y
tenemos:
[ ] [ ]
( ) ( )
2 2 =− + − − + −
U x xy x y y
U x x y y x y
U x x y y x y x y x y
U I C
Las derivadas parciales para la función Utilidad son:
U x y
U x y
y
x
Para los puntos críticos hacemos
y
x
U
U
es decir
x y
x y
Despejamos x en la primera ecuación:
x y
y
x
x y
x y
Reemplazamos x en la segunda ecuación:
y
y
y
y y
y y
Luego x = y − 2 = 55 − 2 = 53
Por tanto, tenemos un sólo punto crítico P ( 53 , 55 )
La matriz Hessiana es
( )
yx yy
xx xy
U U
U U
H
Como H 1 =− 10 =− 10 < 0 y 140 100 40 0
H = entonces
utilidades máximas se producirán cuando x = 53 y y = 55
Para el caso de tres variables tenemos:
4.2. 5 TEOREMA
Sea f una función dos veces diferenciable
en
U ⊆ R , sea (^) ( )
x , y , z ∈ U un punto
crítico estacionario de f.
Defínanse las matrices:
[ ] ( ) ( )
( 0 0 0 )
0 0 0
0 0 0
x y z
zx zy zz
yx yy yz
xx xy xz
x y z
yx yy
xx xy xx x y z f f f
f f f
f f f
H H f f
f f H f H
Entonces:
1. Si
H > 0 ∧ H > 0 ∧ H > 0 ,
entonces (^) ( )
f x , y , z es un MÍNIMO de f
en U.
2. Si
H < 0 ∧ H > 0 ∧ H < 0 ,
entonces
f ( x , y , z ) es un MÁXIMO de f
en U.
Ejemplo
Hallar los extremos para f ( x , y , z )= 2 x^2 + xy + 4 y^2 + xz + z^2 + 2
SOLUCIÓN:
PRIMERO determinamos los puntos críticos estacionarios.
Las derivadas parciales son:
x z
z
f
x y
y
f
x y z
x
f
Resolviendo el sistema simultáneo ⎪ ⎩
x z
x y
x y z
tenemos:
Despejando " y " en la segunda ecuación resulta 8
x y = −.
Despejando " z " en la tercera ecuación resulta 2
x z = −.
Luego reemplazando " y " y " z " en la primera ecuación, encontramos " x ", es decir:
x
x
x x x
Por lo tanto 0 8
x y y 0 2
x z
Hay un solo punto crítico P ( 0 , 0 , 0 )
SEGUNDO : Clasificando el punto crítico.
La matriz Hessiana sería:
( )
zx zy zz
yx yy yz
xx xy xz
f f f
f f f
f f f
H
De aquí tenemos: [ ]
⎥
H 1 4 H 2 H 3 H
Calculando los determinantes tenemos:
i)
2 2 2 f ( x , y , z )= x + xz − y + y + yz + 3 z
j) f ( x , y , z )= − x^2 − y^2 − z^2 + 2 y + xz
2. Determine el máximo y mínimo absolutos de la función z = sen x +sen y +sen( x + y )en la
región
0 ≤ x ≤π ≤ y ≤π.
Resp. ⎟ ⎠
π π Máximo local
3. Determine los puntos críticos de ( ) ( )
2 2 4
0
, ln 1 1
x
t f x y x y dt t
∫ +
- Una compañía de teléfonos planea introducir dos nuevos tipos de sistemas de comunicaciones. Se
calcula que si el primer tipo de sistema se valora en x cientos de dólares por sistema y el segundo
tipo en y cientos de dólares por sistema, aproximadamente 40 − 8 x + 5 y consumidores
comprarán el primer tipo y 50 + 9 x − 7 y comprarán el segundo tipo. Si el costo de fabricación del
primer tipo es de $1000 por sistema y el costo del segundo tipo es $3000 por sistema. ¿Qué precio debería fijar la compañía de teléfonos a los sistemas para generar la máxima utilidad posible?.
- Suponga que una empresa monopolista tiene las siguientes funciones de precio
3 3
2 2
1 1
P Q
P Q
P Q
, y la función de costo total C = 20 + 15 Q + Q^2 donde
Q = Q 1 + Q 2 + Q 3. Determine los niveles de demanda que haga máximo el beneficio.
- Para los productos A , B y C de un monopolista la función costo está dada por
2 2 3 C pA pBpC = pA + pB + pC − pApB − pC − pA + donde
p (^) A , pB , p C son los precios de los productos. Encuentre los precios que minimicen el costo.
4.3 EXTREMOS CONDICIONADOS ( Multiplicadores de
Lagrange )
En muchas ocasiones nos enfrentaremos a situaciones de optimización
cunado las variables independientes deben ser tomadas de un subconjunto
de su dominio. Es decir presentan restricciones
4.3.1 TEOREMA. Criterio para establecer extremos con
una restricción en funciones de dos
variables
Suponga que se desea optimizar la función
de dos variables f , dos veces diferenciable,
sujeta a la restricción o ligadura g x y ( , ) = k ,
donde k es una constante.
Defínase la Función Langragiana
L ( λ, x y , ) = f ( , x y ) − λ [ g x y ( , )− k ]
donde λ es llamado Multiplicador de
Lagrange.
Suponga que se obtiene el Punto crítico
( x 0^ ,^ y 0 ,^ λ^ ) de la Función Langragiana.
Defínase el Hessiano Orlado, como la matriz:
( 0 , 0 , )
x y x y
x xx xy x xx xy
y yx yy y yx yy
x y
L L L g g
H L L L g L L
L L L g L L
Entonces:
1. Si H > 0 entonces en
( x , y ) la función f
tiene un MÁXIMO.
2. Si H < 0 entonces en
( x , y ) la función f
tiene un MÍNIMO.
Ejemplo
Hallar los valores máximos y mínimos de f ( x , y )= xy , sujeto a que 8
2 2 x + y =
SOLUCIÓN:
En este caso
2 2
g ( x , y )= x + y. Por tanto la función Langragiana sería:
( , , ) ( , ) [ (, ) ] [ 8 ]
2 2
L λ xy = fxy −λ gxy − k = xy −λ x + y −
λ 0 (, )^8
2 2
L gxy k x y
L f g x y
L f g y x
y y y
x x x
Despejando λ en las dos primeras ecuaciones, e igualando se obtiene:
y x y x
y
x
x
y
y
x
x
y
2 2
Reemplazando en la tercera ecuación, resulta:
2
2
2 2
x
x x
x
x y
Para obtener los puntos críticos, hacemos:
2
3 2
3
2
1 2
1
L x x
L x y x y
L x y
y
x
Igualando las dos últimas ecuaciones, resulta: x y x y x
(^1232)
Lo último lo reemplazamos en la primera ecuación y se obtiene:
x
x
x x
x x
Por tanto:
y
y
. Es decir, existe sólo un punto crítico: ( 36 , 24 )
El Hessiano Orlado sería:
−
2
1
2
1 2
1
x
H x y x
Y para el punto ( 36 , 24 )es:
H
Como el determinante es: H =( − 1 )(− 180 )+ 1 ( 120 )= 300 > 0 , concluimos que el editor debe
invertir $36000 en desarrollo y $24000 en promoción para obtener las máximas ventas.
Ejemplo 3
Un consumidor tiene $ 600 para gastar en 2 artículos, el primero de los cuales tiene un valor de
$ 20 / unidad y el segundo $ 30 / unidad. Si la utilidad obtenida por el consumidor de " x "
unidades del primer artículo y " y " unidades del segundo está dada por f ( x , y )= 10 x^0.^6 y^0.^4.
a) ¿Cuántas unidades de cada artículo debería comprar el consumidor para maximizar su
utilidad?
SOLUCIÓN:
En este caso la función Objetivo es
- 6 0. 4
f ( x , y )= 10 x y sujeta a que 20 x + 30 y = 600.
La función Langragiana es
- 6 0. 4
L xy x y x y
L xy fxy gxy k
Obteniendo los puntos críticos tenemos:
y x
x y
x y x y
x y x y
x y L x y
x y L x y
L x y x y
y
x
6 0. 6 0. 40. 4
6 0. 6 0. 4 0. 4
6 0. 6
6 0. 6
- 4
4 0. 4
= − λ= →λ=
= − λ= →λ=
− −
− −
− −
− −
λ
Reemplazando en la primera ecuación (la Restricción), tenemos:
x
x
x x
x x
x x
Y como y x 9
= entonces y = 8.
Por lo tanto resulta el punto crítico ( 18 , 8 ).
Para clasificar el punto crítico, calculamos el Hessiano Orlado:
− − −
− − −
− − −
− − −
4 0. 6 0. 6 1. 6
4 0. 4 0. 4 0. 6
( 18 , 8 )
4 0. 6 0. 6 1. 6
- 4 0. 4 0. 6
x y x y
H x y x y
Como H > 0 entonces el consumidor, para obtener las máximas utilidades, debe comprar 18
unidades del primer artículo y 8 unidades del segundo artículo.
Ejemplo 4
Un fabricante planea vender un nuevo producto a $350 la unidad y estima que si se invierten " x "
miles de dólares en desarrollo y " y " miles en promoción, los consumidores comprarán
x
y
y unidades del producto, aproximadamente. Los costos de fabricación de este
producto son $150 por unidad.
a) ¿Cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y cuánto en promoción para generar la
máxima utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados?
En este caso habrá que formar la Función Objetivo, que es la Utilidad:
[ ]
x y x
x
y
y Uxy
x y x
x
y
y
x
x
y
y U
U Ingresos Costos Inversión
⎥−^ −
El punto crítico, sin restricciones, será:
El problema lo resolveremos definiendo la distancia entre un punto de la elipse y la recta.
Entonces, la función objetivo sería
0 0 2 2
x y
d
sujeta a que
2 2
g : x 0 + 3 y 0 = 19
Ahora ∇ d = λ( ∇ g ), es dcir:
0 0
0 0
d g
x x
d g
y y
λ
λ
⎪ ∂^ ⎛^ ∂ ⎞
⎩ ⎝^ ⎠
lo cual da
( )
( )
0
0
x
y
λ
λ
Igualando y simplificando resulta: x 0 = 4 y 0
Reemplazando en la restricción:
( )
2 2 0 0 (^2 ) 0 0
0
x y
y y
y
De acuerdo a la posición, observe el dibujo, tomamos el positivo. (En otro caso habría que probarlo)
Entonces x 0 (^) = 4 y 0 = 4 1( ) = 4
Hemos hallado las coordenadas del punto de la elipse que da la mínima distancia, por tanto
esta distancia mínima será:
( ) ( ) min.
d
Ejercicios Propuestos 4.
- Encuentre los extremos de la función f ( x , y )= xy sujeta a que x + y = 6
2. Maximizar f ( x y , ) = xy sujeta a que x + y = 10
Resp. ( 5 , 5 ); fmáx = 25
- Encuentre los extremos de la función
2 2 f ( x , y )= x + y sujeta a que x + 4 y = 2
- Empleando multiplicadores de Lagrange, halle la distancia mínima de la recta con ecuación
2 x + 3 y = − 1 al origen.
Resp.
13
1 d min =
- Empleando multiplicadores de Lagrange, halle la distancia mínima de la circunferencia con ecuación 2 2 x + y = 1 a la recta con ecuación 4 x + 3 y = 12.
Resp. min
d =
d 2 2 x + 3 y = 19
4 x + 3 y = 12
( x 0^ , y 0 )
6. Empleando multiplicadores de Lagrange, halle la distancia mínima de ( )
(^2 ) x − 4 + y = 4 al punto
de coordenadas ( 0,10)
Resp. ⎟
d min 116
- Los cursos de dos ríos (dentro de los límites de una región determinada) representan
aproximadamente una parábola
2 y = x ,y una recta x − y − 2 = 0. Hay que unir estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible. ¿Porqué puntos habrá que trazarlos?.
Resp. Parábola
, recta
- Hallar la distancia mínima entre 9 x^2^ + 16 y^2 = 144 y 5 x + 8 y = 40.
Resp. elipse ⎟⎟
min
d ==
9. En una esfera de radio a inscribir un cilindro cuya superficie sea máxima.
Resp. 5 5
a r , ( 5 1 ) 5 5
a h
10. Calcular la superficie total del cilindro de máximo volumen inscrito en una esfera de radio a.
Resp.
( ) (^2)
3
A a
π
- Dadas las ecuaciones de utilidad presupuestal de un consumidor
1 2
1 2
(^32)
q q
U q q
. Determine los
valores de q 1 y q (^) 2 que maximizan la utilidad del consumidor.
- La relación entre las ventas "S" y las cantidades "x" y "y" gastadas en dos medios de publicidad está
dada por
y
y
x
x
S
. La Utilidad neta es
de las ventas menos el gasto en publicidad.
El presupuesto para publicidad es de $25. Determine cómo debe asignarse este presupuesto entre los dos medios para maximizar la utilidad neta.
- Una empresa de computadoras tiene un presupuesto mensual publicitario de $60,000. Su
departamento de ventas estima que si se gastan " x " dólares cada mes en publicidad en periódicos y
" y " dólares cada mes en publicidad por televisión, las ventas mensuales estarán dadas por
4
3 4
1
S = 90 x y dólares. Si la utilidad es el 10% de las ventas menos el costo de la publicidad,
determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual. Compruébelo utilizando el Hessiano Orlado.
14. Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P
unidades de su producto, en donde ( , ) 60 5 ( )
2 2 P LK = L + K. Los costos de la mano de obra
y de capital son de $200 y $100 por unidad. Suponga que la empresa decide elaborar 4500 unidades. Halle el número de insumos de mano de obra y de capital que deben emplearse con objeto de minimizar el costo total.
15. En un taller de mecánica se reparan 2 tipos de autos A y B. La función de trabajo conjunto está
dado por: f xy = x + y − xy
2 2
( , ) 2 , donde x e y representa el números de autos por día del
tipo A y B reparados, respectivamente. Para minimizar el trabajo, ¿cuántos autos de cada tipo
deben repararse, si diariamente se puede reparar 8 autos?
16. Una compañía puede destinar su planta a la elaboración de dos tipos de productos A y B. Obtiene
una utilidad de $4 por unidad de A y de $6 por unidad de B. Los números de unidades de los dos
tipos que pueden producir mediante la planta están restringidos por la ecuación del transformación del
producto: 2 4 4 0
2 2
x + y + x + y − = Con x^ y y los números de unidades (en miles de
dólares) de A y B respectivamente, producidos por semana. Halle las cantidades de cada tipo que
deben producirse a fin de maximizar la utilidad.
