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Temas relacionados con el movimiento ondulatorio, incluyendo propiedades elásticas de sólidos, conceptos básicos del movimiento ondulatorio y ondas armónicas. Se abordan conceptos como esfuerzo y deformación unitaria, módulos elásticos, funciones de ondas, velocidad de ondas, ondas transversales y longitudinales, frente de ondas, ecuación diferencial del movimiento ondulatorio, ondas armónicas, energía e intensidad, absorción y efecto doppler.
Tipo: Apuntes
1 / 24
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Esfuerzo y deformación unitaria-Módulos elásticos Conceptos fundamentales del movimiento ondulatorio
-Función de ondas y velocidad de ondas-Ondas transversales y longitudinales-Frente de ondas (ondas planas, cilíndricas y esféricas)-Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio Ondas armónicas
-Frecuencia y período-Longitud de onda
Esfuerzo y deformación unitaria
En
la
figura
se
aplica
una
fuerza
F
c
tangencialmente en la parte superior deun taco de gelatina. Estas fuerzas recibenel nombre de
fuerzas de cizalladura
Fc
F^ c
Tensión de cizalladura
A^ x
Deformación de cizalladura
tg L
Módulo de cizalladura o de torsión M
c
c^ /
c
c
tensión de cizalladura
M^
deformación de cizalladura
x^
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO
x
x
x
Pulso de onda Pulso de onda transversal
FUNCIÓN DE ONDA
f^ x y z t
( , ) f x t
x
t = t^0
t
x = x
O´ ´==f(x´)
xx´
´
t = 0^
t = t
v
O
=f(x)
x´
vt
x
f^ x
f^ x
f^ x
f^ x
vt
´ x^
x^
vt ^
f^ x
vt
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO
FUNCIÓN DE ONDA
f^ x
vt
^
x^
vt
f^ x
vt
f^
v^
f^
v t
x
v
F t
x
v
v
h^
x^
vt ^
f^ x
vt
^
( , ) f^ h x t
d^
h^
dv
t^
dh^
t^
dh
2
2
2
d^^2
h v
t^
t^
t^
dh^
t
2
2 2 2
2 d v t^
dh
Si una onda se propaga en la dirección positiva del eje X
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO
Si una onda plana se propaga en una dirección cualquiera definidapor el vector unitario
cos
cos
cos
s^
i^
j^
k^
s
P(x,y,z)
x
y
z
a s
^ r
la ecuación de este plano es
x^
y^
z^
a
,^ ,
son los cosenos directores de
f^ a
vt
f^
x^
y^
z^
vt^
f r s
vt
^
^
2
2 2 2
2 d x^
dh
^
2
2 2 2
d^2
y^
dh
2
2 2 2
d^2 z^
dh
^
2
2
2
2
2
2
2
2
2 1
x^
y^
z^
v^
t
2
2
2
^
^
^
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ONDA
CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL
MOVIMIENTO ONDULATORIO
ONDAS ARMÓNICAS
Ondas armónicas
0
( , )
cos(
x t^
t^
kx
^
x
T
t
^0 ^0
t = t^1 x = x 1
vT
k
Número de onda^0 ( , )
cos 2
t^
x
x t^
Frecuencia angular
Onda armónica propagándose en la dirección del eje
x
0
( , )
cos(
x t^
t^
kx
t
0
x t +t
Onda armónica propagándose en la dirección del vector unitario
s
0
0
cos(
cos(
t^
ka^
t^
kr s
k^
k s ^
cos( 0
t^
kr
vector de onda
ONDAS ARMÓNICAS
Ondas armónicas propagándose en dos y tres dimensiones Onda circular en dos dimensiones
cos(
t^
kr
r
Onda esférica en tres dimensiones
cos(
t^
kr
r
=f(r,t)
(^2) x+y
2 +z
2 =r
2
(^2) x+y
2 =r
ONDAS ARMÓNICAS^2
ENERGÍA E INTENSIDAD.
ABSORCIÓN
A^
A
x
F Onda plana propagándose por un barra en el sentido positivo del eje Xcon una velocidad
v^
siendo
u^
la velocidad de las partículas del medio u^
t
supongamos que el lado izquierdo de la barra tira del lado derechocon una fuerza
t ^
F u
t
F^ según la ley de Hooke puede escribirse
x ^
x ^ ^ t
Si la onda que se propaga por la barra es armónica
cos( 0
t^
kx
^
^
^
0
k^
sen
t
kx
^ x
^
0
sen
t
kx
^ t
A^
A
x
F Onda plana propagándose por un barra en el sentido positivo deleje X
2
2 0
AEk
sen
t^
kx
t
k^
v
v
2 2
2 0
w
Av
sen
t^
kx^
Av
t
2 2
2 0
w^
sen
t^
kx
^
es la densidad de energía
2 2
2
2 2
0
0
1
w
Av^
Av^
sen
t^
kx^
Av
t
^
Y su valor medio en un período
T
representa la densidad de energía almacenada en la barra,
promediada en una longitud de onda
ENERGÍA E INTENSIDAD.
ABSORCIÓN
Hemos visto en el apartado anterior que la intensidad y la amplitudde una onda plana son constantes. Sin embargo la experiencia nosmuestra que las dos magnitudes citadas disminuyen a medida quenos alejamos del foco emisorLa causa de esta disminución en la intensidad de una onda plana esla transformación de parte de la energía mecánica transportada porla^
onda
en
energía
calorífica
que
se
dispersa
en
el
propio
medio
debido a la
viscosidad
o, lo que es lo mismo, al rozamiento de las
partículas del medio entre sí.Parece razonable suponer que la disminución de intensidad
-dI
por
unidad de longitud recorrida por la onda debe ser proporcional a laintensidad de la onda.
-dI/dx=
βI
la constante de proporcionalidad
β^ recibe el nombre de
coeficiente de
absorción
ENERGÍA E INTENSIDAD. del medio
ABSORCIÓN
integrando la expresión anterior entre dos posiciones
x^1
y^ x^2
en las
cuales las intensidades son
I^1
e^ I
respectivamente, se obtiene 2 I^ =I^2
- β e 1 (x-x^2
) 1
según lo visto anteriormente, las intensidades son proporcionales alcuadrado de las amplitudes. Sustituyendo se obtiene
ξo =ξ
eo -(β/2)(x
-x 21 )
Este coeficiente depende de la naturaleza y temperatura del medio,así como de la naturaleza y frecuencia de la onda que nos proporciona la relación entre las amplitudes en el caso deondas planas que se propagan por un medio absorbente
ENERGÍA E INTENSIDAD.
ABSORCIÓN
