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Tema 4: Muestreo y Distribuciones
en el muestreo
Introducción
Conceptos de Población y Muestra
Tipos de muestreo
Definición de Muestra Aleatoria Simple (mas)
Parámetros poblacionales y estadísticos muestrales
Características de las distribuciones en el muestreo (para cualquier población)
Muestreo en poblaciones Normales
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La Estadística es una materia que se ocupa de analizar la realidad recogiendo observaciones de las que se obtiene información a fin de facilitar la toma de decisiones. Hasta ahora se han estudiado dos partes/etapas previas de la Estadística: La estadística Descriptiva y la Probabilidad.
Pues bien, en esta parte del curso de Estadística Teórica nos centraremos en la Inferencia Estadística. Esto es, si hasta ahora estudiábamos y modelizábamos un fenómeno aleatorio que se daba en la realidad, ahora tratamos de INFERIR a partir de unos datos obtenidos de la realidad, las características de este fenómeno.
Al conjunto de técnicas que tienen como objetivo extraer conclusiones para una población a partir de la información que proporciona una muestra se le denomina INFERENCIA ESTADÍSTICA.
El objetivo de este tema es el de ofrecer una introducción acerca de las nociones básicas de las técnicas utilizadas en Inferencia Estadística:
- Muestra y sus características
-Comportamiento de muestras que proceden de poblaciones normales
Introducción
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Población: es el conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (Ej. Empresas, personas, vehículos, etc…). Normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo. Ya hemos dicho que la población se caracteriza probabilísticamente mediante variables aleatorias y éstas por sus distribuciones de probabilidad, que especifican el comportamiento aleatorio de la población.
Muestra: es un subconjunto de la población al que tenemos acceso y sobre el que realmente tomamos las observaciones (mediciones) Si el número de elementos del subconjunto es n, diremos que el tamaño de la muestra es “n”. O bien la observación de una o varias características en “n” elementos de una población. O bien el resultado de repetir n veces el experimento aleatorio.
Conceptos de Población y Muestra
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Conceptos de Población y Muestra
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Espacio muestral: conjunto de todas las posibles muestras de tamaño n de la población y que está formado por tantos elementos como muestras distintas de este tamaño se puedan obtener X (^) n.
Por tanto, de todas las muestras (o combinaciones de elementos) que se pueden extraer de una población, podemos considerar que una muestra concreta es el resultado de un experimento en el que se extrae una muestra de entre todas las que integran el espacio muestral. Así, X es una muestra genérica que es una variable aleatoria n-dimensional, cuya distribución de probabilidad depende de:
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria poblacional (F(X)). Del procedimiento de selección de muestra. Del tamaño de la muestra.
Como en la muestra elegida puede aparece cualquier elemento de la población, la muestra antes de ser elegida es una V.A. con distribución igual a la de la población. Sin embargo, en cuanto se elige una muestra concreta, ya no tenemos una V.A., sino un número.
La finalidad ideal de una muestra es que ésta sea representativa de la población
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Parámetros Poblacionales y Estadísticos Muestrales
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Parámetros poblacionales : son las características numéricas de la población. En concreto, un parámetro es una característica numérica de la distribución de la población que permite conocer total o parcialmente su distribución de probabilidad.
Estadístico: cualquier función matemática de los elementos muestrales (y no del parámetro). T(X)=T(x 1 , x 2 , x 3 )
Un estadístico es una función de variables aleatorias , y por tanto, será también una variable aleatoria, esto es, tendrá su propio campo de variación y su distribución de probabilidad (los cuales dependerán de los de la población
Los estadísticos más comunes son:
Media muestral : Varianza muestral:
Cuasivarianza muestral:
x n
x a
n i i
1 1
S n
x x m
n i
i
1
2
2
1
2 2 (^1)
n
x x S
n
i
i
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Características de las distribuciones en el muestreo
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Dado que los estadísticos son variables aleatorias, podremos estudiar sus características, como son sus momentos (los cuales nos resumen la información de la variable aleatoria estudiada). Supondremos que proceden de poblaciones con media μ y varianza σ^2.
Distribución de la media muestral
Esperanza (media): En una muestra aleatoria simple de tamaño “n” (x 1 , x 2 , …., x (^) n) de una variable aleatoria X se define la media muestral o valor medio de los valores u observaciones muestrales:
Por ser una variable aleatoria podemos calcular la esperanza matemática de la media muestral
Por tanto, el valor esperado de la media muestral coincide con el valor de la media poblacional (independientemente de la distribución de probabilidad que siga la población).
x x xsonlasextracciones muestrales
x donde i n n
Ex
n
n i i
, , ,
1 , 2 , , 1 ()
1 2
1
n
n n
Ex n
E x n
x n
Ex E
n i
n i i
n i i
n i i 1 1 1 1
()^111 ( )^1
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Características de las distribuciones en el muestreo
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Distribución de la media muestral Varianza:
Por tanto, ahora observamos que la varianza muestral no coincide con la varianza poblacional, sino que es necesario dividirla por el tamaño muestral.
Entonces la varianza de la media muestral es la variabilidad de las distintas muestras de la media. Por tanto, el resultado obtenido (ܸ ̅ݔ ൌ ఙ^
మ ) nos indica que tomando un tamaño muestral lo suficientemente grande, podremos asegurar que la varianza de la media muestral se hará muy pequeña, y por tanto, el valor de la media muestral estará probablemente muy próximo a su esperanza, esto es, a la media poblacional. La Desviación Típica de la media muestral recibe el nombre de ERROR ESTÁNDAR de la media muestral. Por tanto, lo que estamos diciendo es que, según aumenta el tamaño de la muestra, aumenta la precisión de la media muestral para estimar la media poblacional.
n n
n
n
V x
n
V x
n
x
n
V x V
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
2 2 2 1
2 2 1
2 1
2 1
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Características de las distribuciones en el muestreo
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Distribución de la Varianza muestral
Esperanza: Antes de calcular la E(S (^) x^2 ), se puede demostrar que
Su esperanza será:
Vemos que la esperanza de la varianza muestral no es igual a la var. Poblacional. Debido a esto, la cuasivarianza muestral adquiere gran relevancia, como se comprobará en temas posteriores. Existe una relación inmediata entre varianza y cuasivarianza muestral.
Su Esperanza será:
2 1
2 1
2
1
2 2 ^ ^1 ( x ) n ( x ) n n
x x n
x x S
n i i
n i
i n i
i x
2
2 1
2 2 2 2
1
( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
n
sepuededemostrar n
Ex nEx n E x nx n ES
n i x i i
^
2 2 1
Sx
n
n
S
n
n n
n S n
n E S E x
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Muestreo en poblaciones Normales
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Distribución de la Diferencia de medias muestrales con σ^2 conocida
Si en vez de una población se consideran dos, X~N(x , x) e Y~N(y , y), de cada una de las cuales se extrae una muestra aleatoria simple (x 1 , x 2 ,..., xn) y la segunda (y 1 , y 2 , …., yn ), independientemente de la primera, las medias muestrales y sus distribuciones muestrales son:
Se considera de interés estudiar el estadístico de diferencia de medias muestrales , éste será una combinación lineal de n+m variables aleatorias normales e independientes, por lo que su distribución será normal:
n
x x
n
i
i
^1
m
y y
m j
j
n
x N x x
m
y N y y
E x y E x E y x y
n m V x y Vx Vy x y
2 ^2
n m
x y N x y x y
2 2 ~ ;
^
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Muestreo en poblaciones Normales
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Distribución de la Diferencia de medias muestrales con σ^2 conocida
Si en vez de una población se consideran dos, X~N(x , x) e Y~N(y , y), de cada una de las cuales se extrae una muestra aleatoria simple (x 1 , x 2 ,..., xn) y la segunda (y 1 , y 2 , …., yn ), independientemente de la primera, las medias muestrales y sus distribuciones muestrales son:
Se considera de interés estudiar el estadístico de diferencia de medias muestrales , éste será una combinación lineal de n+m variables aleatorias normales e independientes, por lo que su distribución será normal:
n
x x
n
i
i
^1
m
y y
m j
j
n
x N x x
m
y N y y
E x y E x E y x y
n m
V x y Vx Vy x y
2 ^2
n m
x y N x y x y
2 2 ~ ;
^
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Muestreo en poblaciones Normales
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Distribución de la Media Muestral con σ^2 desconocida
Dado que depende de la varianza poblacional y la desconocemos, recurrimos a una distribución no dependiente de la varianza poblacional, que es la T-Student. Ésta se define como:
Además sabemos que y que
Con estos datos nosotros tenemos una N(0,1) y una por lo que debemos transformar los datos para que podamos obtener la t de student. Operando llegamos a:
2 2 1
2
n
nSx
2
n 1
1 2
2 2 1
~ 1 1
1 1
1 1
(^) n n x x x
t n
S
x
n n
S
n
x
n
nS
n
x
n
n
x
t^
n
x
t
n
S
x
t
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Muestreo en poblaciones Normales
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Distribución de la diferencia de medias muestrales con σ^2 desconocida
Dadas dos V.A. X~N(x, x) e Y~N(y , y), de cada una de las cuales se extrae una mas (x 1 , x 2 , …., x (^) n) y la segunda (y 1 , y 2 , …., y (^) n), independientemente de la primera, para las que no se conoce el valor de x, y, siendo n y m el tamaño de las respectivas muestras de cada población, se obtiene que la distribución de la diferencia de medias cuando las varianzas poblacionales sean desconocidas resulta ser (la demostración para llegar a ella es un tanto ardua, y puede consultarse en cualquier manual, por lo que aquí presentamos únicamente el resultado):
2 2 ~^2
2
(^) nm x y
x y t n m
n m n m
n S m S
x y t
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Muestreo en poblaciones Normales
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Distribución de la diferencia de proporciones muestrales
Dada una muestra aleatoria simple de “nx ” observaciones procedentes de una población de proporción de éxitos p (^) x, la cual da lugar a una proporción muestral de y de una muestra aleatoria simple de “ny ” observaciones procedentes de una población de proporción de éxitos p 2 , la cual da lugar a una proporción muestral de , entonces si “nx” y “n (^) y ” son suficientemente grandes:
y
y y
x
x x x y x y n
p q
n
pq p ˆ p ˆ ~ N p p ;
