An´alisis multivariante
Luis Cayuela
Septiembre de 2011
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Area de Biodiversidad y Conservaci´on, Universidad Rey Juan Carlos,
Departamental 1 – DI. 231, c/ Tulip´an s/n. E-28933 M´ostoles (Madrid),
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Asignatura: Estadistica, Profesor: , Carrera: Biologia, Universidad: UB
Tipo: Ejercicios
2017/2018
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An´alisis multivariante
Luis Cayuela
Septiembre de 2011
Area de Biodiversidad y Conservaci´on, Universidad Rey Juan Carlos,
Departamental 1 – DI. 231, c/ Tulip´an s/n. E-28933 M´ostoles (Madrid),
Espa˜na. E-mail: [email protected].
An´alisis multivariante (versi´on 1.1)
Publicado por: Luis Cayuela
Se autoriza a cualquier persona a utilizar, copiar, distribuir y modificar esta
obra con las siguientes condiciones: (1) que se reconozca la autor´ıa de la misma;
(2) que no se utilice con fines comerciales; y (3) que si se altera la obra original,
el trabajo resultante sea distribuido bajo una licencia similar a ´esta.
Para cualquier comentario o sugerencia por favor remitirse al autor de la obra.
- Introducci´on
En un sentido amplio, el an´alisis multivariante hace referencia a cualquier
m´etodo estad´ıstico que analice simult´aneamente m´ultiples caracter´ısticas en
cada uno de los individuos o muestras objeto de la investigaci´on. Una de las
dificultades en definir qu´e es el an´alisis multivariante reside en el hecho de que
el t´ermino multivariante (o multivariado) no ha sido usado de manera
consistente en la literatura. Algunos investigadores usan el t´ermino
multivariado simplemente para referirse a las relaciones existentes entre m´as
de dos variables. Sin embargo, para que un an´alisis sea considerado
verdaderamente multivariante, todas las variables deben de ser aleatorias y
deben de estar interrelacionadas de tal manera que los diferentes efectos no
puedan ser interpretados significativamente de manera independiente. Por
ejemplo, si queremos ver el efecto de una variable ambiental sobre las
diferentes especies de peces que hay en un r´ıo, tiene sentido considerar todas
las abundancias de cada una de las especies en su conjunto y no la abundancia
de cada una de las especies por separado, ya que las diferentes especies se
interrelacionan entre s´ı por medio de interacciones bi´oticas (competencia por
recursos, predaci´on, etc) y es dif´ıcil de separar estos efectos de los efectos
puramente ambientales.
Podemos considerar como t´ecnicas multivariantes, entre otras:
◦ An´alisis de componentes principales
◦ An´alisis discriminante
◦ An´alisis cluster (t´ecnica de agrupaci´on)
◦ An´alisis de correspondencias
◦ Escalamiento multidimensional
◦ An´alisis de correspondencias can´onico
◦ Modelo de ecuaciones estructurales (an´alisis causal)
◦ An´alisis de la varianza multivariado (incluyendo la regresi´on
multivariada)
En esta sesi´on veremos algunas de ellas, prestando especial atenci´on al an´alisis
de comunidades biol´ogicas.
- An´alisis de componentes principales (PCA)
El an´alisis de componentes principales (PCA) es una t´ecnica estad´ıstica de
s´ıntesis de la informaci´on, o reducci´on de la dimensi´on (n´umero de variables).
Es decir, ante un banco de datos con muchas variables, el objetivo ser´a
reducirlas a un menor n´umero perdiendo la menor cantidad de informaci´on
posible. Los nuevos componentes principales o factores ser´an una combinaci´on
lineal de las variables originales, y adem´as ser´an independientes entre s´ı.
Un aspecto clave en PCA es la interpretaci´on de los factores, ya que ´esta no
viene dada a priori, sino que ser´a deducida tras observar la relaci´on de los
factores con las variables iniciales (habr´a, pues, que estudiar tanto el signo
como la magnitud de las correlaciones). Esto no siempre es f´acil, y ser´a de
vital importancia el conocimiento que el experto tenga sobre la materia de
investigaci´on.
Fases de un an´alisis de componentes principales:
1. An´alisis de la matriz de correlaciones. Un an´alisis de componentes
principales tiene sentido si existen altas correlaciones entre las variables,
ya que esto es indicativo de que existe informaci´on redundante y, por
tanto, pocos factores explicar´an gran parte de la variabilidad total.
2. Selecci´on de los factores. La elecci´on de los factores se realiza de tal
forma que el primero recoja la mayor proporci´on posible de la
variabilidad original; el segundo factor debe recoger la m´axima
variabilidad posible no recogida por el primero, y as´ı sucesivamente. Del
total de factores se elegir´an aqu´ellos que recojan el porcentaje de
variabilidad que se considere suficiente. A ´estos se les denominar´a
componentes principales. Esta decisi´on puede ser m´as o menos arbitraria
(p.e. que capturen el 80 % de la variabilidad de los datos) o estar basada
en criterios estad´ısticos. El paquete nFactors ofrece una serie de funciones
para la selecci´on de factores (ver
http://www.statmethods.net/advstats/factor.html).
3. An´alisis de la matriz factorial. Una vez seleccionados los componentes
principales, se representan en forma de matriz. Cada elemento de ´esta
representa los coeficientes factoriales de las variables (las correlaciones
entre las variables y los componentes principales). La matriz tendr´a
tantas columnas como componentes principales y tantas filas como
variables.
4. Interpretaci´on de los factores. Para que un factor sea f´acilmente
interpretable debe tener las siguientes caracter´ısticas, que son dif´ıciles de
conseguir:
- Los coeficientes factoriales deben ser pr´oximos a 1.
- Una variable debe tener coeficientes elevados s´olo con un factor.
- No deben existir factores con coeficientes similares.
5. C´alculo de las puntuaciones factoriales. Son las puntuaciones que tienen
los componentes principales para cada caso, que nos permitir´an su
an´alisis posterior y su representaci´on gr´afica.
2.1. Ejemplo: Modelando la riqueza de plantas ex´oticas
en Reino Unido a partir del clima
En este ejemplo queremos modelar la riqueza de especies ex´oticas en el Reino
Unido utilizando variables clim´aticas. Para ello se ha dividido todo el Reino
Datos cedidos por Fabio Suzart, Universidad de Alcal´a. Estos datos no pueden ser usados
para otros fines que no sean docentes sin permiso del autor.
Importance of components:
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC
Standard deviation 2.6437 1.7183 0.98154 0.71722 0.47717 0.39998 0.
Proportion of Variance 0.5824 0.2461 0.08028 0.04287 0.01897 0.01333 0.
Cumulative Proportion 0.5824 0.8285 0.90876 0.95162 0.97060 0.98393 0.
PC8 PC9 PC10 PC11 PC
Standard deviation 0.20319 0.12922 0.08389 0.01386 0.
Proportion of Variance 0.00344 0.00139 0.00059 0.00002 0.
Cumulative Proportion 0.99800 0.99939 0.99998 1.00000 1.
Como podemos ver, los dos primeros factores recogen cerca del 83 % de la
variabilidad de las variables clim´aticas utilizadas. Tomaremos estos dos
componentes para representar la variabilidad en el clima. Ahora es importante
interpretar qu´e significan estos componentes principales. Para ello podemos
utilizar la matriz de correlaci´on de las variables clim´aticas con los factores.
> pca1$rotation[, 1:2]
PC1 PC
Mean.Temperature 0.34852153 -0.
Mean.Jan.Temperature 0.30722684 -0.
Rango.de.temperatura 0.21576733 0.
PET 0.35433070 -0.
Min.pET 0.27654607 -0.
Max.pET 0.31976844 0.
Insolation 0.33246966 -0.
Growth.Season 0.32063663 -0.
AET -0.01362093 -0.
Water.Defcit 0.23318824 0.
Precipitation -0.28774698 -0.
Rainfall -0.28741001 -0.
Tambi´en es conveniente dibujar los componentes seleccionados del PCA en un
gr´afico. Para ello utilizaremos la funci´on biplot().
> biplot(pca1, cex = c(0.01, 1), scale = 0.5, ylim = c(-0.6, 0.6))
> points(x = pca1$x[, 1], y = pca1$x[, 2], cex = clima[, 1]/300,
+ col = "grey")
PC
PC
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Lo que hemos hecho ha sido, por un lado, representar la relaci´on de las
variables clim´aticas con los dos primeros componentes del PCA. Pero adem´as,
hemos representado en este gr´afico cada una de las celdas de 10 x 10 km con
un tama˜no (cex) que es proporcional a su riqueza de especies ex´oticas. De esta
manera podemos interpretar el significado de los ejes y empezar a vislumbrar
si existe alguna relaci´on entre estos ejes y nuestra variable respuesta. Tanto el
gr´afico como las correlaciones de las variables con los ejes parecen apuntar a
que el primer componente est´a relacionado con la temperatura
(Mean.Temperature, Mean.Jan.Temperature), la evapotranspiraci´on potencial
(PET, Max.PET) y la duraci´on de la estaci´on de crecimiento (Growth.Season),
mientras que el segundo componente est´a relacionado fundamentalmente con
la evapotranspiraci´on real (AET) y el d´eficit h´ıdrico (Water.Deficit). Por tanto
podr´ıamos decir que el primer componente est´a vinculado a la entrada de
energ´ıa en el sistema y el segundo al d´eficit h´ıdrico (ya que ´esta y la AET est´an
correlacionadas negativamente). Adem´as, vemos que la riqueza de especies
nativas parece estar asociada positivamente con el eje 1 (entrada de energ´ıa en
el sistema).
Vamos a ajustar ahora el modelo estad´ıstico para explicar la riqueza de
especies nativas est´a realmente explicada por estas dos nuevas variables.
> lm.exoticas <- lm(clima$Alien ~ pca1$x[, 1:2])
> par(mfcol = c(2, 2))
> plot(lm.exoticas)
Fitted values
Residuals
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Cook's distance
Residuals vs Leverage
1885
1902
1872
No parece que el modelo sea muy id´oneo. Es claramente heteroced´astico y no
lineal. Adem´as, tengamos en cuenta que la variable respuesta es un conteo y,
por tanto, predicciones que no sean enteros o con valores por debajo de 0 (que
son posibles asumiendo una distribuci´on de errores normal) no tienen sentido.
Probemos un modelo Poisson.
> glm.exoticas <- glm(clima$Alien ~ pca1$x[, 1:2], family = poisson)
> summary(glm.exoticas)
Call:
glm(formula = clima$Alien ~ pca1$x[, 1:2], family = poisson)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) 4.8574493 0.0020704 2346.14 <2e-16 ***
pca1$x[, 1:2]PC1 0.2581541 0.0008915 289.56 <2e-16 ***
pca1$x[, 1:2]PC2 -0.0303083 0.0010245 -29.59 <2e-16 ***
Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
(Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
Null deviance: 153463 on 2242 degrees of freedom
Residual deviance: 45873 on 2240 degrees of freedom
AIC: 60635
Number of Fisher Scoring iterations: 4
Ahora las dos variables son significativas. La primera, relacionada con la
entrada de energ´ıa en el sistema, se relaciona positivamente con la riqueza de
nativas. Y la segunda, que es una indicadora del d´eficit h´ıdrico, lo est´a
negativamente. As´ı que a mayor d´eficit h´ıdrico, menor riqueza de especies
ex´oticas. Vamos a ver si esta vez los residuos son adecuados.
> par(mfcol = c(2, 2))
> plot(glm.exoticas)
Predicted values
Residuals
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Predicted values
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Cook's distance
1
Residuals vs Leverage
2150
517
1885
Si vemos los residuos observaremos que el modelo, aunque no es perfecto, es
bastante m´as adecuado que el modelo normal.
regresi´on. Por medio de este an´alisis s´olo es posible saber si la(s) variables
explicativa(s) tienen un efecto sobre el conjunto de las variables respuesta,
pero dif´ıcilmente sabremos c´omo es este efecto a no ser qu´e utilicemos otras
t´ecnicas complementarias como el NMDS. Por tanto, al realizar un an´alisis de
este tipo nos fijaremos en la significaci´on de los coeficientes y, cuando sea
posible, en la variabilidad explicada por cada una de las variables explicativas.
En R hay, por lo menos, dos funciones que nos permiten ajustar un MANOVA.
La funci´on manova() se encuentra dentro del paquete stats y ajusta MANOVAs
param´etricos, por lo que es importante evaluar la idoneidad del modelo
mirando los residuos. La funci´on adonis(), dentro del paquete vegan, permite
ajustar MANOVAs semi-param´etricos, por lo que la evaluaci´on de los residuos
del modelo no es necesaria. Nos centraremos en esta ´ultima para el an´alisis de
comunidades biol´ogicas.
3.1. Ejemplo: ¿Qu´e variables determinan la composici´on
flor´ıstica en bosques tropicales montanos?
Se quiere investigar qu´e variables ambientales afectan la composici´on flor´ıstica
de ´arboles en parcelas de 0.1 hect´areas muestreadas en distintos tipos de
bosques tropicales en los Altos de Chiapas, M´exico (bosque de pino-encino
(POF), bosque de encino (OF), bosque de pino (PF), bosque nublado (MCF)
y bosque transicional a selva baja caducifolia (TF)). El tipo de bosque es el
resultado de factores ambientales (clima) y el uso humano.
Para este caso de estudio se han seleccionado las 86 especies m´as abundantes
sobre un total de 231 en 204 parcelas de 0.1 hect´areas. Para cada especie
tenemos su abundancia total en cada parcela. Queremos construir un modelo
en d´onde la composici´on de ´arboles quede en funci´on por un lado del tipo de
bosque y, por otro, de la productividad (medida a partir del ´ındice de
vegetaci´on NDVI obtenido de una imagen Landsat del a˜no 2000) y la elevaci´on.
La matriz de parcelas (filas) x especies (columnas) est´a disponible en la
siguiente direcci´on http://tinyurl.com/MANOVA-bio. Las variables
ambientales para las parcelas muestreadas (tipo de bosque, productividad,
elevaci´on) est´an disponibles en la siguiente direcci´on
http://tinyurl.com/MANOVA-env.
Vamos primero a cargar la matriz de parcelas x especies y los datos
ambientales en R.
> bio <- read.table("http://tinyurl.com/MANOVA-bio", header = T,
+ sep = "\t")
> env <- read.table("http://tinyurl.com/MANOVA-env", header = T,
+ sep = "\t")
Ahora vamos a ajustar un MANOVA en d´onde la composici´on de especies
(bio) va a estar en funci´on de las variables que hay en el arreglo de datos env
(Forest type, Productivity, Elevation).
Cayuela, L., Golicher, D.J., Rey Benayas, J.M., Gonz´alez-Espinosa, M. & Ram´ırez-
Marcial, N. 2006. Fragmentation, disturbance and tree diversity conservation in tropical mon-
tane forests. Journal of Applied Ecology 43: 1172-
> library(vegan)
> attach(env)
> manova1 <- adonis(bio ~ Forest.type + Productivity + Elevation)
> manova
Call:
adonis(formula = bio ~ Forest.type + Productivity + Elevation)
Df SumsOfSqs MeanSqs F.Model R2 Pr(>F)
Forest.type 4 14.486 3.6215 12.3231 0.18383 0.001 ***
Productivity 1 1.019 1.0188 3.4667 0.01293 0.001 ***
Elevation 1 5.401 5.4013 18.3791 0.06854 0.001 ***
Residuals 197 57.895 0.2939 0.
Total 203 78.801 1.
Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Los resultados muestran que todas las variables son significativas. Las sumas
de cuadrados (SumsOfSqs) nos dicen qu´e cantidad de variabilidad est´a
explicada por cada una de las variables y la variabilidad residual (esto es, no
explicada por el modelo). En este ejemplo podemos ver que la composici´on de
´arboles en bosques tropicales montanos est´a explicada fundamentalmente por
el tipo de bosque (14.49/78.80 = 18 %), pero tambi´en por la productividad
(1.018/78.80 = 1 %) y la elevaci´on (5.40/78.80 = 7 %). Es decir, que
dependiendo del tipo de bosque vamos a encontrar distintas especies. Pero
adem´as existe un gradiente altitudinal que condiciona en parte la composici´on
de estos bosques. Podr´ıa ser interesante explorar si este gradiente altitudinal
afecta de manera distinta a los distintos tipos de bosque. Para ello vamos a
incluir la interacci´on entre estas variables en un nuevo modelo.
> manova2 <- adonis(bio ~ Forest.type + Productivity + Elevation +
+ Forest.type:Elevation)
> manova
Call:
adonis(formula = bio ~ Forest.type + Productivity + Elevation + Forest.type:Elevation)
Df SumsOfSqs MeanSqs F.Model R2 Pr(>F)
Forest.type 4 14.486 3.6215 13.0471 0.18383 0.001 ***
Productivity 1 1.019 1.0188 3.6704 0.01293 0.001 ***
Elevation 1 5.401 5.4013 19.4590 0.06854 0.001 ***
Forest.type:Elevation 4 4.323 1.0808 3.8936 0.05486 0.001 ***
Residuals 193 53.572 0.2776 0.
Total 203 78.801 1.
Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ‘’ 0.01 ‘’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Y vemos que, efectivamente, el cambio en la composici´on de especies a lo largo
del gradiente altitudinal va a ser distinto seg´un el tipo de bosque (y explica
5. A partir de la configuraci´on inicial, se reasignan los sitios (unidades
muestrales) para reducir las distancias con la matriz X.
6. Se repite este proceso de manera iterativa hasta que se consigue una
soluci´on ´optima en d´onde la matriz de distancias Y es muy parecida a la
matriz de distancias X. Esto es, se minimiza el stress.
La ventaja del NMDS es que nos permite, al igual que el PCA, reducir la
dimensionalidad de nuestros datos originales. El resultado de la ordenaci´on se
puede visualizar en un gr´afico de ordenaci´on. Posteriormente podemos
relacionar los ejes resultantes de dicha ordenaci´on con distintas variables
ambientales para determinar de manera indirecta el efecto de ´estas sobre la
matriz de sitios x especies.
Aunque en ecolog´ıa se utiliza t´ıpicamente esta t´ecnica para analizar datos de
comunidades biol´ogicas (matriz de sitios x especies) tambi´en se puede aplicar a
otro tipo de datos, como por ejemplo m´ultiples variables f´ısico-qu´ımicas
medidas en distintos cuerpos de agua (r´ıos, embalses, pantanos). Esta t´ecnica
se utiliza tambi´en mucho en otras disciplinas, como la psicolog´ıa o la
econom´ıa. En R tenemos una implementaci´on de esta funci´on (metaMDS) en el
paquete vegan.
4.1. Ejemplo: Gradientes de composici´on flor´ıstica en
bosques tropicales montanos
Al igual que en ejemplo anterior, se quiere investigar qu´e variables ambientales
afectan la composici´on flor´ıstica de ´arboles en parcelas de 0.1 hect´areas
muestreadas en distintos tipos de bosques tropicales en los Altos de Chiapas,
M´exico. El tipo de bosque es el resultado de factores ambientales (clima) y el
uso humano. Se seleccionaron las 86 especies m´as abundantes sobre un total de
231 en 204 parcelas de 0.1 hect´areas. Para cada especie tenemos su abundancia
total en cada parcela. Queremos construir un modelo en d´onde la composici´on
de ´arboles quede en funci´on por un lado del tipo de bosque y, por otro, de la
productividad (medida a partir del ´ındice de vegetaci´on NDVI obtenido de una
imagen Landsat del a˜no 2000) y la elevaci´on.
Los objetivos concretos son:
1. Explorar visualmente c´omo son de similares o distintas las parcelas
muestreadas en funci´on de las especies que contienen.
2. Investigar la relaci´on entre esta ordenaci´on y las variables ambientales
por medio de correlaciones de dichas variables con los ejes de ordenaci´on
y el ajuste de superficies de tendencia.
La matriz de parcelas (filas) x especies (columnas) est´a disponible en
http://tinyurl.com/MANOVA-bio. Las variables ambientales para las parcelas
Cayuela, L., Golicher, D.J., Rey Benayas, J.M., Gonz´alez-Espinosa, M. & Ram´ırez-
Marcial, N. 2006. Fragmentation, disturbance and tree diversity conservation in tropical mon-
tane forests. Journal of Applied Ecology 43: 1172-
muestreadas (tipo de bosque, productividad, elevaci´on) est´an disponibles en
http://tinyurl.com/MANOVA-env.
Al igual que en el caso anterior es necesario cargar la matriz de parcelas x
especies y los datos ambientales en R. Si se ha realizado el ejercicio anterior en
esta misma sesi´on se puede saltar este paso.
> bio <- read.table("http://tinyurl.com/MANOVA-bio", header = T,
+ sep = "\t")
> env <- read.table("http://tinyurl.com/MANOVA-env", header = T,
+ sep = "\t")
Vamos ahora a realizar el escalamiento multidimensional no m´etrico. Como la
configuraci´on inicial de las parcelas es aleatoria, cada vez que realicemos el
NMDS vamos a tener un resultado ligeramente distinto. Para evitar esto
vamos a utilizar el comando set.seed() que genera unos datos “semilla” a partir
de los cuales se establece la configuraci´on inicial de las parcelas en los ejes del
NMDS. De esta manera, cada vez que realicemos el an´alisis obtendremos el
mismo resultado.
Este gr´afico no es muy informativo. Vamos a personalizarlo para poder obtener
m´as informaci´on sobre los tipos de bosque.
> plot(nmds1, type = "n")
> points(nmds1$points, pch = as.numeric(env$Forest.type), col = as.numeric(env$Forest.type)
+ cex = 1.5)
> legend(x = "bottomleft", legend = c("Cloud forest", "Oak forest",
+ "Pine forest", "Pine-oak forest", "Transitional forest"),
+ pch = c(1:5), col = c(1:5))
NMDS
NMDS
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Cloud forest
Oak forest
Pine forest
Pine−oak forest
Transitional forest
Vemos que los distintos tipos de bosque se diferencian bastante bien en cuanto
a la composici´on de especies que los componen. Algunos grupos son m´as
compactos, como los bosques transicionales, y otros m´as heterog´eneos, como
los bosques de niebla (que parece que forman dos subgrupos) y los bosques de
encino y pino-encino. Vamos a insertar en la gr´afica los vectores de las
variables ambientales utilizando para ello la funci´on envfit() del paquete vegan.
> plot(nmds1, type = "n")
> points(nmds1$points, pch = as.numeric(env$Forest.type), col = as.numeric(env$Forest.type)
+ cex = 1.5)
> legend(x = "bottomleft", legend = c("Cloud forest", "Oak forest",
+ "Pine forest", "Pine-oak forest", "Transitional forest"),
+ pch = c(1:5), col = c(1:5))
> ef <- envfit(nmds1, env, permu = 1000)
> plot(ef)
NMDS
NMDS
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