Tema 3 Nivelación Trigonométrica
M. Farjas 1
Tema 3: Nivelación Trigonométrica
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nivelación con nivel de ingeniero lecturas atrás y adelante
Tipo: Apuntes
2017/2018
1 / 37
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Tema 3: Nivelación Trigonométrica
ÍNDICE
1. INTRODUCCIÓN
- Desnivel
- Cotas y altitudes. 2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA.
5.1 Fórmula general. 5.2 Correcciones 5.3 Fórmula general aplicada
3. INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL
3.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE
- Incertidumbre en la determinación de la altura del aparato.
- Incertidumbre en la determinación de la altura de señal.
- Incertidumbre en la determinación del término "t".
3.2 INCERTIDUMBRE FINAL
4. EQUIPOS TOPOGRÁFICOS. ANÁLISIS DE METODOLOGÍA.
4.1 Cálculo de desniveles con estaciones totales y semitotales. A) Montajes coaxiales. B) Montajes excéntricos B.1 Con visuales paralelas. B.2 Con visuales no paralelas.
4.2 Cálculo de desniveles con taquímetro y mira.
5. COEFICIENTE K DE REFRACCIÓN.
5.1 Determinación experimental del coeficiente k de refracción 5.2 Reducción de visuales al terreno.
6. MÉTODOS DE NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE.
6.1 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE.
6.2 NIVELACIÓN POR ESTACIONES RECÍPROCAS.
1. INTRODUCCIÓN
- DESNIVEL.
- COTAS Y ALTITUDES.
Definido el desnivel como la cota de un punto referida a la superficie de nivel que pasa por otro, entendemos por nivelación (Higgins^1 ):
" Nivelación es el arte de determinar las diferencias en elevación de puntos sobre la superficie terrestre con el propósito de (a) trazar contornos lineales; (b) dibujar secciones verticales que representen la forma de una superficie, y (c) establecer puntos a una elevación determinada, definida en proyectos de construcción".
En Topografía se supone a efectos altimétricos, la Tierra esférica. Las superficies de nivel son también esferas, concéntricas con la forma general de la Tierra y por lo tanto equidistantes.
Hasta épocas recientes se clasificaban los métodos altimétricos o de nivelación atendiendo al tipo de visual cenital utilizada. En estas fechas, podemos volver a retomar este mismo criterio. Definimos:
- Nivelación con visuales cenitales de cualquier inclinación: nivelación trigonométrica.
- nivelación con visuales exclusivamente horizontales: nivelación geométrica.
- nivelación sin visuales cenitales: nivelación GPS.
La nivelación GPS, ha venido a relevar a la nivelación barométrica retomando sus métodos y su vocabulario de forma inconsciente.
En la actualidad la precisión en Topografía se expresa en partes por millón (ppm.) de la unidad medida, valor que corresponde al término que tradicionalmente se definía como error kilométrico o eK,, en altimetría.
Pretendemos delimitar el rango de precisión de los métodos de nivelación existentes, describiendo con minuciosidad la situación de la nivelación trigonométrica, en la que la estadía vertical ha cedido su lugar a los sistemas de MED, y realizando una somera presentación de los resultados que se están obteniendo con la nivelación por visuales recíprocas y simultáneas y con la nivelación con las técnicas de GPS.
Nuestro objetivo consiste en delimitar el lugar que cada método ocupa en el campo de la nivelación y las tendencias futuras de los mismos. Como en cualquier estudio comparado pretendemos estudiar el presente para entender el futuro. La primera parte se presenta a continuación, analizando los indicadores de la precisión en las nivelaciones trigonométricas.
Una vez obtenidas las cotas hay que referir los puntos a la superficie de referencia origen, obteniéndose las altitudes de los puntos observados.
(^1). HIGGINS, A.L. (1957): pág. 60.
2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA (NT).
2.1. FORMULA GENERAL.
2.2. CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT.
2.3. FORMULA GENERAL APLICADA.
2.1 FORMULA GENERAL
Hemos definido nivelación trigonométrica como el método altimétrico que permite obtener desniveles entre puntos, con observaciones de distancias cenitales de cualquier inclinación.
Supongamos estacionado el instrumento en el punto A, y que se sitúa el prisma para la MED en el punto B. El modelo teórico de medida queda reflejado en el siguiente gráfico.
Del gráfico se puede deducir fácilmente la expresión por la que se podrá obtener el desnivel, y que será igual a:
En Topografía, siempre es necesario referirse a dos tipos de variables: aquellas que determinan el grado de incertidumbre en el que se encuentran las observaciones realizadas (en el curso anterior se estudiaban como errores accidentales ); y aquellas variables que afectan a las observaciones siguiendo leyes físicas. Éstas últimas, al ser conocidas las causas que las producen, pueden cuantificarse y deben aplicarse las correcciones que eliminan sus efectos en las medidas topográficas.
2.2 CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT.
En la nivelación trigonométrica existen dos efectos que han de ser eliminados:
- La influencia de la curvatura de la Tierra, que da lugar a la corrección por esfericidad.
H t iA mB B A
B ∆ A = + −
La distancia cenital que medimos corresponde a la tangente al rayo de luz en el centro óptico del teodolito, y es con ella con la que se calcula la posición de B, que queda situado en la posición B 1. La distancia BB 1 , es el denominado error por refracción, que con el signo negativo, toma el valor de:
C K
D R
(para 2 K =
R R' r
2 = − )
Esta expresión corresponde al coeficiente de refracción K, de valor igual a la mitad de la relación existente entre el radio de la Tierra y el radio de curvatura de la trayectoria del rayo de luz que proviene del punto visado. Con esta definición, para condiciones normales en España, K toma el valor de 0.08.
Otros autores definen el coeficiente K como la relación directa entre los dos radios mencionados. En esta situación K toma un valor de 0.16 en condiciones normales en nuestro país.
Cada vez es más frecuente que el coeficiente K de refracción se calculé para las condiciones y el lugar de trabajo específico, no utilizándose la generalización de valores que hemos citado. El método para la determinación del coeficiente consiste en la realización de visuales reciprocas y simultáneas entre dos puntos extremo de la zona de trabajo, siguiendo la metodología de observación y cálculo que exponemos en el apartado 5.
La corrección por refracción se considera, en la deducción realizada, como negativa, tal como se muestra en la figura. Esto supone que el rayo de luz sigue una trayectoria cóncava hacia el suelo (en condiciones normales la densidad de la atmósfera decrece a medida que nos elevamos). Cuando este sea el caso a considerar, y si el coeficiente K se determina experimentalmente, él será quien nos introduzca el camino de influencia producido del cambio de la concavidad, apareciendo con signo negativo.
CORRECCIÓN CONJUNTA.
Teniendo en cuenta que la corrección por esfericidad viene dada por:
C
D 2R e
2 = +
y que la corrección por refracción se calcula con:
C K
D R r
2 = −
la corrección conjunta de los dos errores mencionados vendrá dado por:
C C
1 2
D R
K
D R
(0.5 K)
D R
e r
2 2 2
- = − = −
2.3 FORMULA GENERAL APLICADA EN NT.
Para determinar los efectos de estos dos errores sistemáticos, conocida la expresión que nos permite obtener su influencia para cada caso en particular, se modifica la formula general de la nivelación trigonométrica.
R
(D ) H t i m (0.5 K)
B 2 A A B
B A
B ∆ A = + − + −
Fórmula cuyo uso se recomienda siempre en los trabajos topográficos, sin ningún tipo de condicionante.
Recomendamos realizar el siguiente ejercicio:
Hoja 5: Cálculo de desniveles por NT.
3. INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL
3.1. FUENTES DE INCERTIDUMBRE.
3.2 INCERTIDUMBRE FINAL EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL POR NT
Cuando hablamos de un equipo topográfico actual, nos estamos refiriendo a las estaciones totales. Las características de las mismas, definidas en las Normas ISO 1900, podríamos generalizarlas en:
- Distanciómetro de infrarrojos:
. Alcance: 2.000 m . Precisión: 3 mm. ± 3 ppm.
- Teodolito:
. Sensibilidad: 30cc. . Aumentos: 30. . Apreciación según la casa comercial: 2cc.
El estudio de las fuentes de incertidumbre se va a realizar exponiendo un planteamiento teórico, y posteriormente se particularizará a este modelo de equipo topográfico, para ir cuantificando el valor de las magnitudes a las que se hace referencia en cada caso.
Recomendamos estudiar este apartado con el ejercicio:
Hoja 6 y 7: Conceptos y terminología en el cálculo de incertidumbres en NT.
3.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE.
Según la figura:
B A
B B A A D
t cos V =
de donde:
t (^) AB^ = D (^) AB^ cos VAB
Aunque la estación total permita obtener la distancia reducida (o las coordenadas) directamente, no podemos olvidar que lo realiza con un microprocesador que toma los mismos datos de campo que los que consideramos aquí, y que las incertidumbres son inherentes a los datos de campo. Por ello debemos referirnos a la distancia medida y a la distancia cenital obtenida como las variables que intervienen en la incertidumbre del termino t. Estas dos variables tienen incertidumbres propias del proceso de su medición. El término t viene dado por:
t = D cos V
y es función de dos variables: D y V;
t = f (D,V)
Aplicando la ley de transmisión de errores, podemos escribir:
e
f D
e
f V t e
2
2 D
2
2 V
2
+
∂ ∂
∂ ∂
siendo eD la incertidumbre en la medida de la distancia geométrica y eV la existente en la medida del ángulo cenital.
Calculamos las derivadas parciales:
∂ ∂
f D
=cos V
∂ ∂
f V
= −D sen V
Sustituyendo queda:
e (^) t^2 = (cos V)e^2 D^2 +(D sen V)e^2 22 V
y finalmente podemos escribir:
e (^) t = (cos V)e^2 D^2 +(D sen V)e^2 2 V^2
Antes de proceder al cálculo de este error en los distintos casos, es necesario estudiar y cuantificar los términos eD Y eV.
a) Error o incertidumbre en la distancia medida: e (^) D
La medida electromagnética de distancias viene caracterizada por las casas comerciales con un error estándar o desviación típica, que denominaremos ev. Este consta de dos términos: el primero viene dado por una constante; y el segundo, es proporcional a la distancia medida, y se expresa en partes por millón (ppm) o lo que es lo mismo, error en mm por Km medido.
Para las estaciones totales a las que aquí nos referimos, este error puede tomar valores de este tipo:
ev = 3 mm ± 3 ppm
Este error, muchos autores, lo identifican con el rango de incertidumbre que se introduce en la distancia con MED. Sin embargo existen otros términos que no pueden olvidarse cuando este método se aplica a la Topografía, y que sirven para caracterizar el instrumental utilizado en la materialización de la señal y el estacionamiento. Estos errores son:
- error de estación: ee,
- error de señal: es,
- error por inclinación de jalón: ej.
El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por:
2 2 2 2 eD = ev + ee + es + e j
Error de estación: e (^) e
En nuestro estudio aplicado podemos considerar que la estación total se va a situar sobre un trípode y se estacionará con plomada óptica. Esto va a dar lugar a un error de estación (ee) menor de 2 mm.
ee ≤ 2 mm
e sen
m
sen (100 )
j β α
=
siendo α el ángulo de pendiente.
Como sen(100+α) es igual al cos α, obtenemos la siguiente expresión.
e
sen
m cos
j β α
=
y finalmente:
e m
sen cos
j =^
β α
Para tomar conciencia de la cuantía del ej se han confeccionado las siguientes tablas
e j (m m ): con nive l e sfe rico (be ta m e nor o igua a 1g) V/M 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2, 100/0 20 22 24 25 27 28 30 31 99/101 20 22 24 25 27 28 30 31 98/102 20 22 24 25 27 28 30 31 97/103 20 22 24 25 27 28 30 31 96/104 20 22 24 25 27 28 30 31 95/105 20 22 24 25 27 28 30 32 94/106 21 22 24 25 27 28 30 32 93/107 21 22 24 25 27 28 30 32 92/108 21 22 24 25 27 28 30 32 91/109 21 22 24 25 27 29 30 32 90/110 21 22 24 25 27 29 30 32 89/111 21 22 24 26 27 29 30 32 88/112 21 22 24 26 27 29 30 32 87/113 21 22 24 26 27 29 30 32 86/114 21 23 24 26 27 29 31 32 85/115 21 23 24 26 27 29 31 32
La influencia del ángulo cenital es despreciable, variaciones máximas de 1 mm en el intervalo de distancias cenitales estudiadas (100 85/115). La altura a la que se ha visado es un efecto a tener en cuenta. Los errores se estudian para conocer que variables son las que hay que tener en cuenta, cual es su valor y cuales tienen efectos despreciables.
e j (m m ): sin nive l e sfe rico (be ta m e nor o igua a 3g) V/M 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2, 100/0 61 66 71 75 80 85 90 94 99/101 61 66 71 75 80 85 90 94 98/102 61 66 71 75 80 85 90 94 97/103 61 66 71 75 80 85 90 94 96/104 61 66 71 75 80 85 90 94 95/105 61 66 71 76 80 85 90 95 94/106 62 66 71 76 80 85 90 95 93/107 62 66 71 76 81 85 90 95 92/108 62 66 71 76 81 85 90 95 91/109 62 67 72 76 81 86 90 95 90/110 62 67 72 76 81 86 91 95 89/111 62 67 72 77 81 86 91 96 88/112 62 67 72 77 82 86 91 96 87/113 63 68 72 77 82 87 91 96 86/114 63 68 72 77 82 87 92 97 85/115 63 68 73 78 82 87 92 97
El ángulo cenital influye más : 3 mm en el intervalo estudiado, la influencia es menor y los efectos de cualquier variación también. La variación por m oscila desde 6 cm, con alturas de señal de 1.30, hasta 10 cm con alturas de señal de 2.00 m
El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por
e (^) D = e (^2) v+ e (^) e^2 + e (^) s^2 +e^2 j
Para las estaciones totales que estudiamos:
ev = 3 mm. ± 3 ppm.
ee= 2 mm.
es= 2 mm. con prisma sobre tripode. es= 10 mm. con prisma sobre jalón.
ej= La influencia de la variación de la distancia cenital despreciable. Considerando la altura del prima mínima de 1,30.
- Con nivel esférico ej= 20 mm.
- Sin nivel esférico ej= 61 mm.
Para la situación más usual en la que el prisma se coloca sobre un jalón con nivel esférico y tendiendo a realizar lectura lo más bajas posibles (caso general 1.30 m.), el error en distancias será:
e (^) D = ± 23 mm.
Generalizando este planteamiento. en la medida electromagnética de distancias, se recomienda el uso de trípode con el prisma, bien sea que el prisma se sitúe directamente sobre él o que el trípode se utiliza como elemento auxiliar para nivelar, por la influencia del error ej no sólo en altimetría sino también en planimetría.
b) Lectura.
Sistema óptico mecánico.
n
e (^) L m
1 3
2
siendo:
- m el último salto en pantalla.
- n el número de observaciones.
Sistema electrónico.
3
e^1 L
m e =
siendo m (^) e el último salto en pantalla en el sistema electrónico.
c) Puntería
n
K A
C e (^) p v
1
siendo:
- C (^) v el coeficiente de observación cenital
- A los aumentos del anteojo.
- K la constante de mayoración
- n el número de observaciones realizadas. Con regla de Bessel n= 2.
Las características del teodolito de la estación total que estamos considerando son s= 50cc^ A = 30x^ a = 1cc.
Ahora bien no podemos considerar la apreciación que nos proporciona la casa comercial como dato a introducir en el error de lectura, puesto que este valor se obtiene por interpolación y no tiene carácter relacionado con la precisión real. Experimentalmente se ha demostrado; que con estos equipos lo que si se puede asegurar es una representatividad en las lecturas de ± 8 cc. La expresión del error de la lectura en las estaciones totales debe situarse por el valor que en la definición de las características del instrumento aparece como desviación típica de la medida angular, que tiende a asemejarse a este valor experimental.
El error que se comete por dirección cenital, con estas consideraciones con el primer modelo de ecuaciones es:
e (^) V = ± 10 cc
y con las nuevas formulaciones resulta del mismo orden.
En las condiciones de trabajo mencionadas el error por distancia geométrica medida era:
1 , 5 ≤ K ≤ 3
e (^) D = ±23 mm.
El valor total de la influencia de estos errores en el término t, lo podemos obtener por la siguiente expresión, deducida en un apartado anterior.
e (^) t (cos V) e (D sen V) e 2 D
2 2 2 V
2 = +
A continuación se presenta la tabla con los resultados obtenidos, en función de la distancia y de la distancia cenital.
La variación de distancia cenital no influye en el error en t a partir de 800 m, y la de 500 a 800 supone un error de 1 mm en el intervalo de 100 a 85/115 estudiado. En un caso concreto hay que calcular los valores que toma et en función del equipo utilizdo y de las características de la observación.
C. Error o incertidumbre al evaluar el término m : e (^) m
Denominamos error en m al error total que se introduce en el desnivel por hacer la puntería a un prisma situado sobre un trípode o un jalón.
Existen dos factores a tener en cuenta, cada uno de los cuales introduce un margen de error en la lectura m. El primero se produce en la propia medición de la altura de la señal: e’m, y el segundo correspondiente a la incertidumbre respecto a la altura a la que se ha realizado la puntería cenital: e”m.
1º Error en la medida directa de la altura de la señal: e’ (^) m
Para analizarlo, tenemos que diferenciar dos casos posibles.
a) Si el prisma está sobre jalón.
En esta situación la altura de la señal se obtiene leyendo la graduación que aparece en el propio jalón y la causa del error viene dado por la posible inclinación de la señal. La altura que tomamos como valor para los cálculos es la obtenida directamente de la graduación que aparece en el jalón: m.
Si el jalón esta inclinado, esta altura m no corresponde a la altura real (desconocida). Denominamos a la real m’ y β al ángulo de inclinación.
De la figura:
m' m
=cosβ
De donde:
m' =m cos β
El error vendrá dado por la diferencia entre el que utilizamos para el cálculo y el que corresponde al modelo observación:
e' (^) m = m −m'
Sustituyendo:
e' (^) m = m − m cos β = m (1 −cosβ)
Si se trabaja con nivel esférico (β ≤ 1 g)
m 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,
e'm(mm) 0,16 ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, ,,, 0,
DESPRECIABLE.
Si se trabaja sin nivel esférico o con el nivel descorregido (β ≤ 3 g):
m 1,30 1,4 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,
e'm(mm) 1 2 2 2 2 2 2 2
b) Si el prisma esta sobre, o con trípode
Si se utiliza un prisma sobre trípode o este se le añade un jalón, debemos hacer referencia al error en la medida de la altura del trípode y el prisma, sobre la señal. Se mide con un flexometro y de modo análogo a la determinación de la altura de aparato podemos considerar un valor extremo de 5 mm.
e' (^) m ( con tripode) ≤ 5 mm.
2º Incertidumbre respecto a la altura de señal a la que se ha realizado la puntería cenital: e” (^) m
Es esta otra causa de error habitualmente olvidada y de gran importancia en el tema que nos ocupa. Consiste en la incertidumbre existente sobre el punto del prisma al que corresponde la lectura de la medida cenital medida por tratarse de un instrumento de MED.
Este error tiene una influencia experimental de 1 a 2 centímetros en distancias de 100 a 500 m, y alcanza valores de hasta 4 cm cuando se hace necesario situar 3 o más prismas en distancias de 2 km.
En la escala de distancias, que estamos evaluando, vamos a considerar los siguientes valores:
m 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000 e"m 10 20 30 40
Para cualquier distancia intermedia puede realizarse una interpolación lineal entre estos valores.
3º Error total en m
Para determinar la influencia de estos dos errores realizaremos la componente cuadrática de ambos: