Dpto. Agrimensura – Facultad de Ingeniería - UNLP
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Facultad de Ingeniería
UNLP
Departamento de Agrimensura.
NIVELACIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Imagen: R. Müller – Compendio de Topografía.
Versión marzo 2023
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Éste documento contiene una breve explicación acerca de lo que es la nivelación trigonométrica, usada en el campo de la topografía como un método más par la nivelación de un terreno.
Tipo: Resúmenes
2024/2025
1 / 40
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UNLP
Departamento de Agrimensura.
NIVELACIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Imagen: R. Müller – Compendio de Topografía. Versión marzo 2023
Índice
- I- Nivelación Trigonométrica
- Generalidades
- Fundamento
- Nivelación trigonométrica con instrumento de estación total.....................................
- II- Efecto de la curvatura terrestre
- Corrección por curvatura terrestre
- Influencia de la refracción atmosférica....................................................................
- Corrección por Curvatura y Refracción (Cr)
- III- Medición de ángulos verticales
- Tipos de limbos verticales
- Error de índice.
- IV- Determinación de la cota de puntos inaccesibles
- Método de Base Enfrentada:
- Método de Base Alineada.......................................................................................
- V- Ejemplos resueltos.
- 1 - Determinación de cotas por nivelación trigonométrica....................................
- 2 - Determinación de la Cota de un punto lejano
- 3 - Método de la Base Enfrentada
- 4 - Método de la Base Alineada...........................................................................
- VI- Bibliografía
Si se conoce la cota de A, puede plantearse: ZP = ZA + hi + S. sen α – hs La distancia se mide por lo general en forma inclinada (S). Puede hacerse la reducción al horizonte obteniéndose así H (H= S. cos α). El uso de distanciómetros en la determinación de S, simplifica considerablemente la operación, pues no debe olvidarse que medir distancias en terrenos quebrados con cinta no resulta una tarea sencilla.
Hay que tener en cuenta que la nivelación trigonométrica se efectúa también para grandes distancias. Por lo tanto, cuando las distancias son importantes, debe considerarse el efecto de la curvatura terrestre, como también el de la refracción que tiende a curvar la visual.
Nivelación trigonométrica con instrumento de estación total
La estación total es un instrumento que combina un teodolito digital y un distanciómetro electroóptico. Por lo tanto, es posible medir con un mismo equipamiento el ángulo vertical y la distancia inclinada. Estos equipos, además cuentan con una computadora interior que puede calcular, entre otros valores, la distancia reducida al horizonte y desniveles.
Si bien existen estaciones totales que miden distancia por reflexión directa, aquí consideraremos la medición de distancias mediante un prisma reflector.
Otra ventaja que tienen las estaciones totales, es que la medición de ángulos es totalmente digital, y utilizan para ellos limbos codificados.
Izquierda: limbo codificado para la medición digital de ángulos. Derecha: las distintas alternativas para la configuración del cero en medición de ángulos verticales. Cuando se realiza un levantamiento planialtimétrico con estación total, las alturas son determinadas por nivelación trigonométrica. Por cada punto se miden un ángulo vertical (cenital por lo general) y la distancia inclinada. Deben registrarse además la altura del instrumento y la altura de la señal, esta última suele llamarse en estos casos altura del prisma.
En la medición de ángulos con un teodolito digital, como en el caso de la estación total, se utilizan limbos codificados. Estos elementos no tienen una graduación numerada como en los teodolitos mecánicos y ópticos, es por ese motivo que la graduación del cero puede ser configurada a gusto del operador; en el cenit en el nadir o en el horizonte. Nos obstante ello, el error de índice también está presente en estos equipos.
En la siguiente figura se aprecia todo el equipamiento necesario para hacer mediciones con una estación total. Para le medición de las distancias se requiere un prisma reflector, este se monta sobre un bastón portaprisma verticalizador. El soporte que permite anclar el prisma al bastón viene acompañado con una señal de puntería que favorece la correcta colimación de este elemento reflector.
Medición de la altura del instrumento Al igual que con los teodolitos convencionales, la altura del instrumento (hi) se mide entre el punto de cota conocida y una marca sobre la estación total (ver figuras siguientes).
En la colimación de una señal de puntería con estación total, los hilos del retículo deben coincidir con las marcas triangulares de la señal.
En el esquema siguiente se plantean los fundamentos de la nivelación trigonométrica referidos a una estación total midiendo a un prisma reflector sobre un bastón portaprisma.
Dato: ZA : Cota del punto A. Mediciones Fundamentales: α : ángulo vertical (de altura, cenital o nadiral). S : distancia geométrica (o inclinada). Mediciones Complementarias: hi : altura del instrumento. hs : altura del prisma (o señal). Incógnita: ZP : Cota del punto adelante P Otros valores que se calculan: H : distancia reducida al horizonte. V : desnivel entre el centro geométrico del instrumento y el centro óptico del prisma.
Ejemplo Dato:
- ZA = 16,652 m Mediciones Fundamentales:
- α = 23º 05’ 30”
- S = 136,25 m Mediciones Complementarias:
- hi = 1,56 m
- hs = 2,00 m Incógnita:
- ZP =???? Cálculo: 𝑍𝑃 = 16 , 652 + 1 , 56 + 136 , 25. 𝑠𝑒𝑛(23º 05 ′^ 30") − 2 ,00 = 69, 649 m Resultado: 𝒁𝑷 = 𝟔𝟗, 𝟔𝟓 𝒎 Debe tenerse en cuenta que el resultado se expresa al centímetro, es decir, con dos decimales. Puede que la cota del punto de estación se conozca con una precisión superior, pero por lo general el resto de las mediciones: ángulo, distancia inclinada, alturas del prisma y señal, degradan el resultado no permitiendo asegurar mayor precisión que la del centímetro.
Pueden determinarse además la altura reducida al horizonte (H) y la componente en altura V.
II- Efecto de la curvatura terrestre Mientras que en las mediciones topográficas horizontales (planimetría) se puede prescindir de la curvatura de la Tierra y considerar paralelas las direcciones de la plomada (o perpendiculares al plano horizontal), en todos los puntos de la zona de trabajo (hasta los 10 Km), no sucede lo mismo en las mediciones verticales.
En la siguiente figura, los puntos A, B y C pertenecen al terreno natural. Si se midiesen los desnivelas desde A hacia los puntos B y C, considerando como referencia una superficie plana horizontal tangente a la superficie terrestre en A, se obtienen las alturas Bb y Cc. Resultado que B tiene una altura mayor que A y C una altura menor que A. Pero si consideramos como referencia un arco circular concéntrico con la esfera de radio medio, las alturas medidas serán Bb´ y Cc´. En esta última consideración, el punto C estaría sobre A. Como se puede apreciar, para la medición de alturas, no se puede omitir la curvatura de la superficie terrestre. Por ello a los desniveles medidos debe aplicarse una corrección.
En Nivelación Geométrica, realizando visuales cortas (inferiores a los 100 m) y trabajando desde el medio, puede considerarse como nulo el efecto de la curvatura terrestre.
En nivelación trigonométrica por lo general no se mide desde el medio sino se estaciona sobre el punto conocido (equivalente al de lectura atrás) y además las distancias suelen superar los 100 metros, por lo que la curvatura terrestre y la refracción atmosférica afectarán los resultados de estos trabajos. Motivo por el cual se deberá calcular y aplicar la correspondiente corrección.
Corrección por curvatura terrestre
Veamos cómo se obtiene la expresión matemática que permite corregir las alturas obtenidas por el efecto de la curvatura terrestre, y por otro efecto importante producido por la refracción del aire.
En la figura siguiente la visual debería seguir la forma de la superficie de nivel que pasa por A’ y así obtener la lectura B’. Pero la visual sigue la línea recta A’B’’. Leemos B’’ cuando la lectura que necesitamos debería ser B’.
Omitiendo la altura del instrumento por ser despreciable frente al radio medio de la Tierra:
𝑂𝐴´ = 𝑅~ 6370 𝐾𝑚 De la misma figura se puede obtener la igualdad: ΔhAB= Bb = A’A – B’B
- AA’: altura del instrumento sobre A.
- B’B: lectura adelante en la mira sobre B (caso ideal)
- eC: Error por curvatura
- eC= B’B’’ Dado la pequeñez del ángulo A’OB’’ se pueden considera iguales el arco, la cuerda y la tangente, por lo tanto:
d= arco Ab = A’B’’ Se aplica el teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo A´O B´´: (𝑅 + 𝑒𝑐)^2 = 𝑅^2 + 𝑑^2
Se denomina coeficiente de refracción k :
𝑘 =
𝑅′ =^0 ,^13
Llamando eR al efecto de la refracción atmosférica
𝑒𝑅 =
𝑑^2
2. 𝑅′ =^0 ,^13
𝑑^2
Corrección por Curvatura y Refracción (Cr)
El efecto de la refacción atmosférica tiene el signo opuesto al de la curvatura terrestre. El efecto combinado de ambos efectos está dado por la expresión:
𝑐𝑟 = 𝑒𝑐 − 𝑒𝑅
𝐶𝑟 =
𝑑^2
2. 𝑅 −^0 ,^13
𝑑^2
2. 𝑅 =^
𝑑^2
𝑑^2
𝑑^2
Debido al efecto conjunto de la curvatura terrestre y la refracción atmosférica, la visual determina la lectura sobre el punto B’’’. El efecto de curvatura y refracción aumenta el valor de la lectura adelante; por lo tanto, el desnivel obtenido es menor al verdadero. Por ello la cota del punto medido ha de ser menor debido a este efecto. Por lo tanto, la corrección a la cota ha de ser positiva. El valor Cr se suma a la cota del punto medido.
Efecto conjunto de la curvatura terrestre y la refracción atmosférica. La corrección Cr es siempre positiva y se suma a la cota obtenida. En la figura anterior puede verse que el desnivel teórico que se busca obtener es: ∆ℎ𝐴𝐵 = 𝐴𝐴´ − 𝐵𝐵´ El desnivel que se obtiene realmente es: ∆ℎ𝐴𝐵 = 𝐴𝐴´ − 𝐵𝐵´´´ Siendo: 𝐵𝐵´´´ > 𝐵𝐵´ Por ese motivo, el desnivel obtenido siempre será menor al teórico. El desnivel se suma a la cota del punto conocido para calcular la cota del punto desconocido:
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐵 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐴 + ∆ℎ𝐴𝐵 Si el desnivel utilizado es menor al verdadero, lo mismo sucederá con la cota calculada. Por ese motivo la corrección Cr debe sumarse siempre:
𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐵 = 𝐶𝑜𝑡𝑎 𝐴 + ∆ℎ𝐴𝐵 + 𝐶𝑟 En la siguiente tabla se muestran valores de Cr calculados para distancias típicas (las mismas de la tabla 1)
Tabla 2 : Cálculo de Cr para distancias típicas. Distancias en metros y correcciones en milímetros. Analizando la tabla anterior y considerando que las cotas se calculan con precisión del centímetro (2 decimales), pude tomarse como regla práctica que se debe aplicar esta corrección cuando las distancias superan los 300 metros.
Finalmente, la ecuación para la nivelación trigonométrica quedaría con la forma: 𝒁𝑷 = 𝒁𝑨 + 𝒉𝒊 + 𝑺. 𝒔𝒆𝒏 𝜶 − 𝒉𝒔 + 𝑪𝒓 Ejemplo Dato:
- ZA = 16,652 m Mediciones Fundamentales:
- α = 14º 37’ 12”
III- Medición de ángulos verticales Los teodolitos y estaciones totales son instrumentos que permiten la determinación de medidas angulares, pudiendo obtenerse los ángulos de interés para la topografía. Interesan los ángulos contenidos en planos horizontales y verticales, con el instrumental mencionado pueden medirse ambos. Los limbos son círculos graduados que permiten las mediciones angulares, cuentan los teodolitos y estaciones totales con dos de ellos, uno horizontal y otro vertical.
Tipos de limbos verticales
De acuerdo con la forma en que se encuentran graduados los distintos tipos de limbos verticales es posible clasificar los teodolitos en:
- Cenitales : el origen de la graduación (0º) se encuentra sobre la vertical, estando el cero grado en la parte superior.
- Nadirales : el origen de la graduación se encuentra sobre la vertical, estando el cero grado en la parte inferior.
- Altura de horizonte : el origen de la graduación se encuentra sobre el horizonte.
Tipos de limbos verticales. Se trate de un tipo u otro de instrumento, siempre en la nivelación trigonométrica interesa conocer el ángulo de altura (o de elevación) h. Por tal motivo, en caso de no contar con un instrumento que da directamente el ángulo de altura, se deberá deducir dicho ángulo de altura como complemento del ángulo medido, tal como se aprecia en la figura anterior.
Ya sea que se midan ángulos de altura, cenitales o nadirales; en todos los casos hay que considerar la posible existencia de un error de índice.
Error de índice.
Al medir ángulos horizontales la posición del cero (0º) de las graduaciones es prácticamente arbitraria, es decir, no es necesario que la marca cero del limbo acimutal tenga alguna posición particular. En cambio, en la medición de ángulos verticales, la posición del cero (0º) de las graduaciones es importante, y depende de la dirección de la vertical.
Cuando se miden ángulos horizontales, el ángulo de interés se calcula como la diferencia entre dos direcciones. Cuando se miden ángulos verticales, una sola medición
es suficiente para definir la magnitud de interés, esto es posible porque la posición de la marca cero en las graduaciones del limbo vertical no es arbitraria. Los teodolitos se construyen de tal manera que la línea de ceros del limbo vertical coincida con la dirección de la vertical cuando el teodolito se encuentre en condiciones de trabajo (eje principal verticalizado).
Existe un error de Índice (ε) cuando la lectura de 0° no corresponde a la colimación de un punto en el Cenit (Nadir u horizonte según el modelo de teodolito).
Dado que no existe una materialización del cenit, el nadir o el horizonte, para establecer si un teodolito tiene o no error de índice se debe medir el ángulo vertical a un punto aplicando el método de Bessel; conviene que este punto esté bien definido y tenga un buen contraste con su entorno, los extremos de torres o antenas son excelentes para esta labor.
Se explicará el proceso para un teodolito con limbo cenital, pero es el mismo para instrumentos con otros tipos de limbo.
En la figura siguiente se pueden apreciar dos esquemas, correspondientes a la medición del ángulo cenital de un punto P aplicando el método de Bessel; el teodolito se encuentra calado. En la parte izquierda de la figura, se colima al punto P y se obtiene una lectura de CI (Círculo Izquierda) de valor z , se puede apreciar que el índice I , referencia para las lecturas cenitales, se encuentra en una posición de coincidencia con la vertical. El ángulo cenital z se mide desde el índice I (dirección cenital) hasta el eje de colimación. Luego, tras realizar una vuelta de campana se realiza en CD (Círculo Derecha) otra lectura de P, como el circulo vertical giro 180° con respecto a P la lectura registrada será 360°-z.
Lecturas cenitales: CI: z CD: 360°-z Si el índice se ubica en su posición ideal se sebe verificar la siguiente igualdad:
Solución: Error de índice:
𝜀𝑃 =
63º 40 ′^ 25" + 296º 19' 05" − 360º00′00"
2 =^ −0º00′15"
Debe recordarse que el error de índice afecta a todas las mediciones verticales con el mismo signo y magnitud.
Las lecturas verticales corregidas son:
CI= 63º 40’ 25” – (-0º00’15”) = 63º 40’ 40”
CD= 296º 19’ 05” – (-0º00’15”) = 296º 19’ 20”
Se verifica : 63º 40’ 40” + 296º 19’ 20” =360º 00’ 00”
Con las lecturas CI corregidas se calcula el ángulo de altura (h):
h =90º - z (limbo cenital)
h = 90º 00’ 00” - 63º 40’ 40” = 26º 19’ 20”
IMPORTANTE: Primero corregir el valor angular leído y luego deducir el ángulo de altura. Cuando se cuenta con teodolitos cenitales o nadirales donde el ángulo de altura no se lee directamente si no se deduce, primero deben corregirse las lecturas por error de índice, y posteriormente se calcula el ángulo de altura.
Ejemplo 2 :
Con un teodolito con limbo nadiral , estacionado en O, se realizaron las siguientes lecturas a un punto Q por el método de Bessel:
Solución: Error de índice:
𝜀𝑃 =
117º 33 ′^ 51" + 242º 27' 29" − 360º00′00"
Las lecturas verticales corregidas son:
CI= 117° 33’ 51” – (+0º 00’ 40”) = 117° 33’ 11”
CD= 242º 27’ 29” – (+0º 00’ 40”) = 242º 26’ 49”
CI CD
O P 63º 40' 25" 296° 19' 05"
EST. Punto Visado
Limbo Cenital.
CI CD
O Q 117º 33' 51" 242° 27' 29"
Limbo Nadiral.
EST. Punto
Visado
Se verifica : 117° 33’ 11” + 242º 26’ 49” =360º 00’ 00”
Con las lecturas CI corregidas se calcula el ángulo de altura:
h =z – 90° (Limbo nadiral)
h = 117° 33’ 11” - 90º 00’ 00” = 27º 33’ 11”
El ángulo de altura se calcula con la lectura de CI previamente corregida.
Ejemplo 3 :
Con un teodolito que mide directamente ángulos de altura , estacionado en A, se midió el ángulo vertical por el método de Bessel a un punto B:
Solución: Error de índice:
𝜀𝑃 =
31º 27 ′^ 09" + 328º 32' 31" − 360º00′00"
Las lecturas verticales corregidas son:
CI= 31° 27’ 09” – (-0º 00’ 10”) = 31° 27’ 19”
CD= 328º 32’ 31” – (-0º 00’ 10”) = 328º 32’ 41”
Se verifica : 31° 27’ 19” + 328º 32’ 41” =360º 00’ 00”
En este caso, como el limbo mide directamente el ángulo de altura, la lectura corregida en CI corresponde a ese valor:
h=CI= 31° 27’ 19”