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INGENIER´IA GEOL OGICA: MEC ´ ANICA DE MEDIOS CONTINUOS´ Ignacio Romero — 20 de Septiembre de 2004
Notaci´on indicial
En Mec´anica de Medios Continuos los objetos matem´aticos m´as empleados son los escalares, vectores y tensores en R^3. Para trabajar con vectores se define una base de vectores ortonormales B^1 = {e 1 , e 2 , e 3 } de forma que todo vector v ∈ R^3 se puede expresar como la siguiente combinaci´on lineal v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. (1)
Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuaci´on previa de una forma m´as compacta:
v =
∑^3
p=
vpep. (2)
Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el s´ımbolo de sumatorio e indicar sus l´ımites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convenci´on: en vez de (1) o (2) se escribe v = vpep. (3) En esta expresi´on, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo ´ındice repetido, se entender´a que vpep significa v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3. En vez del sub´ındice p se podr´ıa haber empleado cualquier otro, y as´ı
vpep = vqeq = viei , (4)
por lo que el ´ındice repetido se denomina mudo. Se dice que la expresi´on (3) emplea notaci´on indicial o tambi´en el convenio de Einstein. Dos vectores a y b son iguales si apep = bpep. Esta igualdad se puede reescribir como (ap − bp)ep = 0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la ´ultima expresi´on requiere que cada componente se anule, es decir, ap − bp = 0, o de otra manera
ap = bp. (5)
De este simple ejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo ´ındice en varios lugares, pero no multiplic´andose, quiere decir que la igualdad es v´alida cuando el ´ındice toma el valor 1,2 ´o 3. Un ´ındice de este tipo se denomina libre y puede intercambiarse por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo, la identidad (5) quiere expressar { (^) a 1 =^ b 1 a 2 = b 2 a 3 = b 3
N´otese que en la identidad anterior (5) no hay ning´un ´ındice mudo, pues aunque p aparezca en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no est´an multiplicando.
Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´en se emplea una base tensorial de nueve tensores:
B^2 = {e 1 ⊗ e 1 , e 1 ⊗ e 2 , e 1 ⊗ e 3 , e 2 ⊗ e 1 , e 2 ⊗ e 2 , e 2 ⊗ e 3 , e 3 ⊗ e 1 , e 3 ⊗ e 2 , e 3 ⊗ e 3 } , (7)
y todo tensor T se puede escribir como
T = T 11 e 1 ⊗ e 1 + T 12 e 1 ⊗ e 2 + T 13 e 1 ⊗ e 3 + T 21 e 2 ⊗ e 1 +... (8)
En este caso se observa a´un m´as claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con las nueve componentes de un tensor. Se podr´ıa escribir la expresi´on previa como
T =
∑^3
p=
∑^3
q=
Tpqep ⊗ eq , (9)
pero igual que con los vectores, se adopta la convenci´on de que esta ´ultima expresi´on se puede escribir simplemente como T = Tpqep ⊗ eq. (10)
Como en el caso de los vectores, los ´ındices repetidos cuyos objetos correspondientes se multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´ındice tomando valores 1,2 y 3.
Tambi´en como en el caso de los vectores, aquellos ´ındices libres que aparecen repetidos en varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientes no se multiplican indican que la igualdad es v´alida cuando los ´ındices toman valores 1,2 y 3. As´ı por ejemplo Tij + Rij = 7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de segundo order m´as la misma componente del tensor de segundo orden R es igual a 7.
Las consideraciones aqu´ı presentadas son v´alidas tambi´en para tensores de mayor orden. Por ejemplo: Aijkvj = Ai 1 kv 1 + Ai 2 kv 2 + Ai 3 kv 3 , SpqrTir = Spq 1 Ti 1 + Spq 2 Ti 2 + Spq 3 Ti 3.
Cuadro resumen
En el siguiente cuadro se resumen las operaciones m´as comunes en ´algebra y c´alculo tensorial y sus expresiones en notaci´on indicial. En toda la tabla φ es una funci´on escalar, a, b, c son vectores y R, S, T son tensores de orden dos.
Operaci´on Notaci´on tensorial Notaci´on indicial
Igualdad de vectores a = b ap = bp
Igualdad de tensores T = S Tpq = Spq
Delta de Kronecker
1 si i = j 0 si i 6 = j δij
Tensor de permutaci´on
1 si ijk = 123, 231 ´o 321 − 1 si ijk = 213, 132 ´o 312 0 si hay alg´un ´ındice repetido.
ijk
Producto escalar a · b apbp
Producto vectorial a = b ∧ c ai = ipqbpcq
Suma de vectores a = b + c ai = bi + ci
Suma de tensores R = S + T Rij = Sij + Tij
Producto tensor, vector b = T · a bi = Tipap
Producto tensor trans., vector b = T T^ · a bi = Tpiap
Producto tensor, tensor R = S · T Rij = SipTpj
Producto externo T = a ⊗ b Tij = aibj
Doble contracci´on S : T SpqTpq
Traza de un tensor tr(T ) Tpp
Determinante det(T ) ijkT 1 iT 2 j T 3 k
Gradiente de f. escalar a = grad [φ] ai = φ,i
Gradiente de f. vector T = grad [a] Tij = ai,j
Divergencia de un vector φ = div [a] φ = ai,i
Divergencia de un tensor a = div [T ] ai = Tip,p
Rotacional de un vector b = rot [a] bi = ijkaj,k
Resumen de reglas pr´acticas de operaci´on indicial
- Un ´ındice, por ejemplo p, repetido en una multiplicaci´on, indica un sumatorio
p=1 de los t´erminos en la multiplicaci´on:
apbp = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3.
- El par de ´ındices repetidos y multiplic´andose se pueden cambiar de letra, siempre que no se utilice en otra parte de la expresi´on:
apbp + ck = aqbq + ck = arbr + ck.
- Cuando uno de los ´ındices repetidos en una multiplicaci´on pertenece al una delta de Kronecker basta con reemplazar el ´ındice repetido por el ´ındice libre en la delta:
aipδpj = aij.
Un ´ındice que est´a repetido, pero no entre los factores que se multiplican, no se sustituye por un sumatorio bi + ci 6 = b 1 + c 1 + b 2 + c 2 + b 3 + c 3.
Uno o m´as ´ındices libres (que no est´an multiplicados por otros factores que tengan esos mismos ´ındices) indican 3 ecuaciones independientes por cada ´ındice:
vi = ai + 3 ⇒
{ (^) v 1 =^ a 1 + 3 v 2 = a 2 + 3 v 3 = a 3 + 3
- Un ´ındice nunca puede aparecer repetido m´as de una vez en una multiplicaci´on. Puede aparecer m´as de dos veces si es en sumandos distintos, pero no es recomendable pues puede llevar a confusi´on:
viSpiWji ⇒ Incorrecto !! viSpiWjk + aibi ⇒ Correcto, pero no recomendable viSpiWjk + ambm ⇒ Correcto
- Un tensor ortogonal es aquel que tiene la propiedad AAT^ = AT^ A = 1. En ´ındices:
AipAjp = ApiApj = δij
