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Notas de preliminares
Antonio Garv´ın
1 Recordando cosas
Recordaremos los conjuntos con los que vamos a trabajar, en especial R y Rn. A fin de cuentas el c´alculo trata basicamente de los n´umeros (y las funciones) reales.
N, Z, Q, R, C(R^2 , R^3 , R^4 , · · · , Rn)
Las propiedades m´as importantes sobre desigualdades, el concepto de valor absoluto y la noci´on de distancia son puntos b´asicos de partida. En los ejer- cicios haremos intervenir desigualdades y la notaci´on de intervalos. Algunos conceptos geom´etricos b´asicos pueden aparecer en los ejercicios entre ellos: rectas, circunferencias y par´abolas.
1.1 Desigualdades:
Recordemos las principales propiedades de las desigualdades
a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c
a ≤ b, c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d a ≤ b y c > 0 ⇒ ac ≤ bc a ≤ b y c < 0 ⇒ bc ≤ ac
0 < a ≤ b ⇒ 0 <
b
a ¿Podrias poner ejemplos num´ericos para cada una de estas propiedades?
1.2 Intervalos:
Recordemos tambi´en la notaci´on de intervalos
[a, b], (a, b], [a, b), (a, b)
(−∞, a], (−∞, a), [a, ∞), (a, ∞)
Los cuatro primeros corresponden a lo que se denominan intervalos acotados y los siguientes no acotados. Se denominan cerrados o abiertos seg´un que entren o no los extremos. As´ı por ejemplo el primero es cerrado, el segundo es abierto a la izquierda y cerrado a la derecha, etc. Graficamente se suele indicar con un hueco ◦— que el extremo no est´a y con un punto • — que s´ı lo est´a. Se definen mediante desigualdades, as´ı por ejemplo se tiene
[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b} a • ————• b
(a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b} a ◦————• b
¿Podr´ıas definir los demas y dar su representaci´on gr´afica?
1.3 Valor absoluto y distancia
En R a partir de la noci´on de valor absoluto( o valor sin signo) de un n´umero se puede definir la distancia entre dos n´umeros. Estas son las definiciones:
| x |=
x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0 d(x, y) =| x − y |
y estas las propiedades que cumplen:
| a + b |≤| a | + | b |
| ab |=| a || b | | −a |=| a | | a |≤ b ⇐⇒ −b ≤ a ≤ b En R^2 introducimos coordenadas y definimos tambi´en la distancia entre puntos. Consideraciones elementales que hacen uso del teorema de pit´agoras nos llevan a definir la distancia entre dos puntos
d((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) =
(x 2 − x 1 )^2 + (y 2 − y 1 )^2
Esto nos permite introducir conceptos m´etricos como el de lugar geom´etrico.
bisectrices del primer-tercer cuadrante y del segundo-cuarto cuadrante. La ecuaci´on punto (el (a, b)) pendiente (m), es de la forma
y − a = m(x − b)
1.4 Funciones
Hemos de recordar el concepto de funci´on real de variable real, de dominio y de grafo. ¿C´omo se definen estos conceptos? ¡Cuidado con el dominio! La divisi´on por cero y las raices cuadradas de n´umeros negativos, no existen. Hay que tener cuidado con los convenios. Para que dos funciones f y g las consideremos iguales no solo deben venir definidas por la misma regla f (x) = g(x), sino que adem´as deben tener igual dominio. En general sino se especifica se sobreentiende que el dominio es el m´aximo posible. ¿C´uales son los dominios de las siguientes funciones?
x,
x^3 + x x^2 + 1
x^2 − 1 x − 1 , x + 1,
x + 1,
x +
x − 2 ,
x^2 − 16 x − 4
F (x) =
x^2 + x − 6 , G(x) =
x si x < 2 x^2 si 2 ≤ x < 3 Recordemos las operaciones entre funciones y algunos tipos de funciones. Las funciones se pueden sumar y restar, multiplicar y dividir. En esto co- inciden con los n´umeros, pero adem´as se pueden componer. Las funciones pueden ser inyectivas, sobreyectivas, mon´otonas (crecientes, decrecientes, estrictamente), pares, impares, etc. Repasaremos las funciones elementales, las polin´omicas, las racionales, las potenciales, las trigonom´etricas, las exponenciales y sus inversas haciendo algunas representaciones gr´aficas. En este punto se recordar´an los resultados relativos a la primera y segunda derivada para la representaci´on gr´afica. Las polin´omicas de grado 0 (constantes) tienen por gr´afica rectas horizontales. Las de grado 1 rectas (oblicuas), y las de grado 2 par´abolas.
Las racionales son cociente de polin´omicas p(x) q(x) ¿Qu´e representaci´on
gr´afica tienen las funciones siguientes?
P 1 (x) = x(x − 1)(x − 2), P 2 (x) = x^2 (x + 2)
Las funciones de la forma f (x) = xα^ con α ∈ R se denominan potenciales y son en cierto sentido una generalizaci´on de las mon´omicas. No hay que
confundirlas con las exponenciales que son de la forma f (x) = αx. ¿C´ual es la representaci´on gr´afica de las siguientes?
f 1 (x) = 3
x^7 = x^7 /^3 , f 2 (x) =
x = x^1 /^2 , f 3 (x) = x
√ (^2).
Las funciones exponenciales y las trigonom´etricas nos sirven de excusa para recordar las principales propiedades relativas a exponenciales y logar- itmos as´ı como a senos, cosenos y tangentes.
- aras^ = ar+s^2. ar as^
= ar−s
- (ar)s^ = ars^4. n
am^ = a mn
- ax^ > 0 ∀x ∈ R 6. a−x^ =
ax En general las exponenciales tienen un comportamiento diferente si la base es mayor o menor que 1. Por ejemplo podemos pensar en 2 y 1/ 2
f (x) = 2x^ : (^) x→−∞lim f (x) = 0, f (−2) = 1/ 4 , f (−1) = 1/ 2 , f (0) = 1,
f (1/2) =
2 , f (1) = 2, f (2) = 4, (^) xlim→∞ f (x) = ∞
g(x) = (1/2)x^ : lim x→−∞ g(x) = ∞, g(−2) = 4, g(−1) = 2, g(0) = 1,
g(1/2) =
2 / 2 , g(1) = 1/ 2 , g(2) = 1/ 4 , lim x→∞ g(x) = 0
Las logar´ıtmicas son las inversas de las exponenciales
x = loga y ⇐⇒ y = ax
Dicho en otros t´erminos se tiene
loga(ax) = x aloga^ y^ = y
loga(rs) = loga r + loga s 2. loga( r s ) = loga r − loga s
loga((r)s) = s loga r
Al igual que las exponenciales los casos a > 1 (pensar en 2) y a < 1 presentan comportamientos diferentes.
y las definiciones de cosecante, secante y cotangente
cosec x =
sen x
sec x =
cos x
, cotag x =
tag x
nos permiten obtener muchas m´as, entre otras
1 + tag 2 x = sec^2 x, sen 2x = 2 sen x cos x, cos x 2
1 + cos x 2
Recordemos que por consideraciones elementales, podemos siempre reducirnos al primer cuadrante, incluso a ´angulos entre 0 y π 4
sen (x + 2kπ) = sen x, sen (−x) = sen x, · · ·
cos(x + π/2) = − sen x, cos(x + π) = − cos x, · · · Las inversas (locales)en el sentido de la composici´on, se denominan arcos. As´ı tenemos arcosenos, arcocosenos, arcotangentes, etc.
arcsen = ( sen )−^1 , arccos = (cos)−^1
No confundamos las inversas en el sentido de la composici´on, con las inversas
en el sentido del producto. Esto es, f −^1 con
f
. Por ejemplo si f = sen ,
f −^1 = arcsen y
f
= cosec.
Gr´aficas:
y = sen x y = cos x y = tag x Vamos a detenernos un poco para definir un concepto nuevo, las fun- ciones hiperb´olicas y sus inversas. Introducir conceptos nuevos entre los ya conocidos nos sirve para que no sea todo un simple recordatorio y motivar nuestra curiosidad. Esta forma de actuar, intercalar cosas nuevas entre con- ceptos ya adquiridos previamente, presidir´a estos instantes iniciales. As´ı que tenemos que estar atentos.
Las hiperb´olicas se definen en analog´ıa con las trigonom´etricas. Esto quedar´a m´as claro cuando veamos los complejos. De todas formas a partir del seno y coseno hiperb´olico la analog´ıa es completa. As´ı por ejemplo la tangente hiperb´olica es el cociente del seno y el coseno hiperb´olico, etc. Ah´ı va la definici´on del seno y coseno hiperb´olico.
senh x = ex^ − e−x 2
cosh x = ex^ + e−x 2
tagh x = senh x cosh x
La identidad fundamental es
cosh^2 x − senh 2 x = 1
¿Podemos demostrarla a partir de la definici´on? Las inversas se denominan argumentos. As´ı tenemos
Argsenh , Argcosh , Argtagh , · · ·
