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Notas acerca de que son y diferentes usos de los números complejos
Tipo: Apuntes
1 / 35
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¡No te pierdas las partes importantes!
El estudio profundo de la naturaleza es la
fuente más fértil de descubrimientos
matemáticos
Fourier
Ma Carmen Chacón Quintanilla
Marcela A Juárez Rios
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
1
Orígenes
Herón De Alejandría (100)
La primera referencia escrita de la raíz cuadrada de un
número negativo la encontramos en la obra
Stereometría de Herón de Alejandría. Es este trabajo
comparece la operación √𝟖𝟏 − 𝟏𝟒𝟒 aunque es tomada
como √
𝟏𝟒𝟒 − 𝟖𝟏
Hay una referencia a raíces cuadradas de números
negativos en la obra aritmética de Diofanto se puede
observar el intento de cálculo del área de un triángulo
rectángulo de Perímetro 12 y Área 7. Las soluciones
contienen raíces de números negativos. Diofanto (275)
Mahavira (850)
Comenta en su tratado de los números negativos que
“como en la naturaleza de las cosas una cantidad
negativa no es un cuadrado, por lo tanto, no puede
tener raíz cuadrada”
Da las primeras explicaciones a este tipo de
problemas, lo describe de la siguiente forma:
“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es
positivo; la raíz cuadrada de un numero positivo
tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no
existe raíz cuadrada de un numero negativo ya que
un número negativo no es un cuadrado.”
Bhaskara (1150)
Tartaglia y Cardan (1545)
Jerome Cardan publica su obra “El gran arte” en el que
presenta un método para resolver ecuaciones de grado
3 y 4. En su obra presenta lo siguiente:
“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyo
producto sea... 40, es evidente que esta cuestión es
imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la
siguiente forma”
𝑋 + 𝑌 = 10 → 𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐼𝑅 10 𝐸𝑁 𝐷𝑂𝑆 𝑃𝐴𝑅𝑇𝐸𝑆
𝑋 ∗ 𝑌 = 40 → 𝑃𝑅𝑂𝐷𝑈𝐶𝑇𝑂 𝐷𝐸𝐴 40
𝑂𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
5 + √− 15 , 5 − √− 15
( 5 + √− 15 )( 5 − √− 15 ) = 40
Buscaron raíces exactas con polinomios de segundo y
tercer grado.
Planteo que como −𝟐 + √−𝟏𝟐𝟏 𝒚 − 𝟐 − √−𝟏𝟐𝟏
solo se diferencian en un signo, lo mismo debía
suceder con sus raíces cúbicas.
Rafael Bombelli (1556)
René Descartes (1596)
Bautizó con el nombre de imaginarios a los nuevos
números, apunto también que toda ecuación debía
tener tantas raíces como indica su grado, aunque
números no reales podían ser alguna de ellas.
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
3
La teoría de los números complejos surge por primera vez al tratar de resolver una ecuación de
segundo grado. Considerando la ecuación general de segundo grado con coeficientes reales
2
y con base en el teorema fundamental de álgebra que garantiza que de acuerdo al grado de la
ecuación se tendrán exactamente dos raíces.
Al aplicar la fórmula general se tiene
2
donde el discriminante establece las condiciones para las soluciones de la ecuación, esto es
si 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐 es:
2
− 4 𝑎𝑐 > 0 existen dos raíces reales diferentes
2
− 4 𝑎𝑐 = 0 existe una raíz real con multiplicidad dos
2
− 4 𝑎𝑐 < 0 las soluciones de la ecuación no son reales (no tiene solución real)
Y con ello se inicia el estudio, en determinar las soluciones cuando el discriminante es negativo
2
Por ejemplo si se tiene la ecuación 𝑥
2
existe ningún número real que al elevarse al cuadrado y sumando uno de cero, o visto de otra forma
2
2
= − 1 , no es posible que un número real al elevarse al cuadrado genere un
número negativo.
Al resolver la ecuación 𝑥
2
2
− 1 surge una nueva clasificación
de números, definiendo con ello a los números imaginarios.
Euler fue el primero en usar la notación 𝑖 = √− 1 concibió que con la ayuda de la unida imaginaria,
representada con la i , se establecía una igualdad, y con ello la solución de la ecuación sería
Con base en ello el campo de números que se tenía hasta el momento se amplia para construir
ahora un campo denominado como números complejos
Los números complejos se pueden representar de tres formas diferentes:
I. Forma binómica o rectangular {z = a + bi}
II. Forma polar o trigonométrica
III. Forma exponencial o Euler {𝑧 = 𝑟𝑒
𝜃𝑖
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
4
Un número complejo es una expresión matemática de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎, 𝑏 son números
reales, i es la unidad imaginaria.
𝑎 es la parte real del número complejo, se representa como 𝑅𝑒(𝑧) = 𝑎
𝑏 es la parte imaginaria del número complejo, se representa como 𝐼𝑚(𝑧) = 𝑏, 𝑖 es la unidad
imaginaria.
Cuando 𝑎 = 0 , el número complejo será 𝑧 = 𝑏𝑖, el cual se denomina número imaginario
puro.
Si ahora 𝑏 = 0 , el número complejo será 𝑧 = 𝑎, es decir ahora se tendrá un número real.
Unidad imaginaria 𝑖
Para la unidad imaginaria 𝑖, se tiene
2
3
2
4
2
2
Ejemplo
De los siguientes números complejos determina a) la parte real, b) la parte imaginaria
Número a) Parte real b) Parte imaginaria
¡Importante! La parte real e imaginaria de un número complejo es un número real.
Representación gráfica de los complejos (Diagrama de Argand)
El concepto de plano complejo permite representar geométricamente un número complejo.
Considerando la pareja ordena como (𝑅𝑒(𝑧), 𝐼𝑚(𝑧)) = (𝑎, 𝑏), es decir graficamos la parte 𝑅𝑒(𝑧)
sobre el eje horizontal (𝑒𝑗𝑒 𝑥) denominándose eje real, y la parte 𝐼𝑚(𝑧) sobre el eje vertical (𝑒𝑗𝑒 𝑦),
denominado eje imaginario.
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Álgebra Lineal
6
Conjugado de un número complejo
Dado el número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, se denomina como conjugado de 𝑧, y se denota 𝑧̅ al número
complejo 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖, es decir el conjugado de un número complejo cambia el signo de la parte
imaginaria.
Para un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, su conjugado es 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖 se cumple que
Ejemplo
De los siguientes números complejos determina su conjugado
Número Conjugado
Geométricamente, dos números complejos son conjugados si y sólo si son reflexiones respecto al
eje real
Propiedades de los números complejos conjugados
i) 𝑧̅
ii) 𝑧
1
2
1
2
iii) 𝑧
1
2
1
2
iv)
1
2
1
2
v) 𝑧̅ = 𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 ℝ
vi) 𝑧̅ = −𝑧 ↔ 𝑧 𝜖 𝐼
vii) (𝑧̅ )
𝑛
𝑛 ̅̅̅
viii) 𝑘𝑧̅ = 𝑘𝑧
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
7
Ejemplo
Realiza las operaciones indicadas, indicando la propiedad aplicada
Solución
= 2 − 5 𝑖 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
9
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ejemplo
Determina el valor de 𝑥 para que los números complejos 𝑧 1
2
2
= 15 + 6 𝑖 sean
iguales.
Solución
Para que dos números complejos sean iguales, sus partes real e imaginaria deben ser iguales, con
ello,
2
resolviendo
2
2
Por lo tanto ambas ecuaciones se cumplen sólo para 𝑥 = 3
Ejemplo
Determina las siguientes operaciones
a. ( 2 + 3 𝑖) + (− 5 − 4 𝑖)
b. ( 3 − 4 𝑖) − ( 1 − 𝑖)
c. ( 5 + 3 𝑖) +
d. 3
e. ( 2 − 3 𝑖)( 4 + 2 𝑖)
f.
g.
h.
Solución
a.
b. ( 3 − 4 𝑖) − ( 1 − 𝑖) = ( 3 − 1 ) + (
c. ( 5 + 3 𝑖) − [(− 1 + 2 𝑖) − ( 7 − 5 𝑖)] = ( 5 + 3 𝑖) − (− 1 + 2 𝑖) + ( 7 − 5 𝑖) =
d. 3 ( 2 + 7 𝑖) + 4 ( 8 − 𝑖) = ( 6 + 21 𝑖) + ( 32 − 4 𝑖) = ( 6 + 32 ) + ( 21 − 4 )𝑖 = 𝟑𝟖 + 𝟏𝟕𝒊
e.
2
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Álgebra Lineal
10
f.
5 − 2 𝑖
− 1 +𝑖
5 − 2 𝑖
− 1 +𝑖
− 1 −𝑖
− 1 −𝑖
5
( − 1 −𝑖
) − 2 𝑖
( − 1 −𝑖
)
1 + 1
− 5 − 5 𝑖+ 2 𝑖− 2
2
− 7 − 3 𝑖
2
𝟕
𝟐
𝟑𝒊
𝟐
g.
3 𝑖
2 −𝑖
5
4 + 2 𝑖
3 𝑖
2 −𝑖
2 +𝑖
2 +𝑖
5
4 + 2 𝑖
4 − 2 𝑖
4 − 2 𝑖
6 𝑖− 3
4 + 1
20 − 10 𝑖
16 + 4
3
5
6 𝑖
5
20
20
10 𝑖
20
𝟖
𝟓
𝟏𝟕𝒊
𝟏𝟎
h.
5 + 5 𝑖
3 − 4 𝑖
20
4 + 3 𝑖
5 + 5 𝑖
3 − 4 𝑖
3 + 4 𝑖
3 + 4 𝑖
20
4 + 3 𝑖
4 − 3 𝑖
4 − 3 𝑖
15 + 20 𝑖+ 15 𝑖− 20
9 + 16
80 − 60 𝑖
16 + 9
5
25
35 𝑖
25
80
25
60 𝑖
25
Propiedades para la suma y producto por un escalar de números complejos
Sean 𝑧 1
2
3
𝜖 ℂ y 𝑘
1
2
escalares
Para la suma
1) Cerradura 𝑧
1
2
2) Conmutativa 𝑧
1
2
2
1
3) Asociativa 𝑧
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4) Neutro ∃ 0 𝜖 ℂ|𝑧 + 0 = 𝑧 ∀ 𝑧 𝜖 ℂ
El cero como número complejo es 0+0i
5) Inverso ∀ 𝑧 𝜖 ℂ, ∃ − 𝑧 𝜖 ℂ
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 → −𝑧 = −𝑎 − 𝑏𝑖
Para la multiplicación por un escalar
6) Cerradura 𝑘
1
7) Asociativa
1
2
1
1
2
1
8) Distributiva 𝑘
1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
1
1
2
1
9) Idéntico ∃ 1 𝜖 ℂ
El número 1 se puede expresar como 𝑧 = 1 + 0 𝑖
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
12
Otra forma de determinar el resultado de una potencia de 𝑖 es factorizar en múltiplos de cuatro
(¿por qué 4? Porque es la distancia para que un resultado se repita), y con la tabla inicial de
potencias de 𝑖. Por ejemplo
𝒊 = √−𝟏
𝒊
𝟐
= −𝟏
𝒊
𝟑
= 𝒊
𝟐
𝒊 = −𝒊
𝒊
𝟒
= 𝒊
𝟐
𝒊
𝟐
= 𝟏
35
4
8
3
8
3
98
4
24
2
24
244
4
61
61
Resulta sencillo de utilizar, ¿cuál es la mejor? como siempre, la que a ti te guste.
Ejemplo
Resuelve las siguientes operaciones
42
− 1
− 18
4 𝑚
16
19
12
81
2
2
2
3
5
Solución
42
4
10
2
− 1
− 18
18
4
4
2
4 𝑚
4
𝑚
𝑚
16
2
8
2
8
8
8
8
8
4
2
2
19
4
4
3
2
2
12
81
81 − 12
69
4
17
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Álgebra Lineal
Página
13
2
2
2
2
2
3
5
2
3
4
Módulo de un número complejo
El módulo o magnitud de un número complejo está asociado a la representación geométrica como
vector de un complejo.
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 el módulo o magnitud de 𝑧 se
representa por
2
2
Lo cual podemos interpretar como la magnitud del
vector que representa al número complejo, donde
las componentes del vector constituye los lados de
un triángulo rectángulo, debido a que los ejes real e
imaginario son ortogonales, y aplicando el teorema
de Pitágoras se obtiene
2
2
El módulo o magnitud de un número complejo 𝑧 y su conjugado 𝑧̅ son iguales, y se cumple la relación
2
Demostración
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces siguiendo la ecuación se tiene
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Propiedades del módulo de un número complejo
Si 𝑧, 𝑧
1
2
son números complejos y 𝑘 un escalar, entonces
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
15
Las operaciones con potencias y raíces de números complejos se pueden resolver con mayor
facilidad cuando éstos están representados en forma polar.
A partir de la forma binómica de un número complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, la cual se puede representar
como un punto (𝑎, 𝑏) en el plano complejo.
Este punto también puede ser representado en términos de coordenadas polares (𝑟, 𝜃) donde
𝑟 ≥ 0 , entonces:
2
2
cos 𝜃 =
sen 𝜃 =
con ello
𝑧 = 𝑟(𝐜os 𝜃 + 𝒊 𝒔𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝒄𝒊𝒔𝜃
Definición (Forma polar de un número complejo)
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, y considerando 𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 y 𝑏 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃, entonces se define la forma polar del
número complejo como:
𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛𝜃) = 𝑟𝑐𝑖𝑠𝜃
La forma polar se representa por su módulo 𝑟 y su argumento 𝜃, que es el ángulo entre la parte
positiva del eje real y el módulo del vector definido por 𝑧, esto es
→ 𝜃 = tan
− 1
Si un número complejo tiene un argumento 𝜃, este argumento más cualquier múltiplo entero de 2 𝜋
también es un argumento de 𝑧
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
16
La notación para el argumento de 𝑧 es
arg(𝑧)
y representa el conjunto de todos los argumentos de 𝑧
Como cualesquiera de dos argumento de 𝑧 difieren en
un múltiplo de 2 𝜋. Se pueden obtener con
𝜃 + 2 𝜋𝑛, para 𝑛 entero
Pero hay siempre exactamente un argumento de 𝑧 en
el intervalo de −𝜋 < 𝜃 ≤ 𝜋 y se denomina argumento
principal de 𝑧, es único y se representa como 𝐴𝑟𝑔 (𝑧).
Si 𝑧 ≠ 0 , la rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj corresponde a
los valores positivos del 𝐴𝑟𝑔 (𝑧) y una rotación en sentido de las manecillas del reloj corresponden
a los valores negativos del 𝐴𝑟𝑔
Si los números complejos están representados en forma polar la definición de igualdad no cambia,
es decir, dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.
Nota: si 𝜃 está en grados, entonces 𝜃 + 360 ° 𝑛
Si un número complejo está en forma binómica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 se convierte a polar como 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑖𝑠 𝜃,
donde
2
2
𝜃 = tan
− 1
Para determinar la ubicación del argumento
Condición 𝜃
Si 𝑎 > 0 𝜃 = tan
− 1
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 > 0 𝜃 =
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = −
Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 𝜃 = 𝜋 − tan
− 1
Si 𝑎 = 0 y 𝑏 < 0 𝜃 = −𝜋 + tan
− 1
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Álgebra Lineal
18
La forma exponencial es otra alternativa para representar un número complejo.
Para la representación exponencial utilizamos la fórmula de Euler.
Teorema (Identidad de Euler)
Si 𝜃 es un número real entonces 𝑒
𝑖𝜃
Una función compleja va de los números complejos a los números complejos. Por lo que se puede
definir 𝑒
𝑧
, donde 𝑧 es un número complejo, de tal manera que tenemos la función exponencial de
un número complejo.
Si 𝑎 y 𝑏 son números reales entonces
𝑧
𝑎+𝑏𝑖
𝑎
𝑏𝑖
donde 𝑎 y 𝑏 son números reales, podemos usar otras literales reales como 𝑥 𝑒 𝑦, obteniendo
𝑧
𝑥+𝑦𝑖
𝑥
𝑦𝑖
Se conoce la función exponencial 𝑒
𝑥
, cuyas características son:
Dominio :𝐷
𝑓
Rango: 𝑅
𝑓
Creciente
Inyectiva
Pero ¿ 𝑒
𝑦𝑖
De cálculo integral sabemos que las funciones 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑐𝑜𝑠𝑥 y 𝑒
𝑥
tienen desarrollo en series de
potencias:
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑥 −
𝑥
3
3!
𝑥
5
5!
−
𝑥
7
7!
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 −
𝑥
2
2!
𝑥
4
4!
−
𝑥
6
6!
𝑥
2
3
Si tenemos
𝑧
2
3
Departamento de Ciencias Básicas
Álgebra Lineal
Página
19
Si decimos que 𝑧 = 𝑥𝑖 , donde 𝑥 es un número real (en lugar de 𝑦𝑖 escribimos 𝑥𝑖)
𝑧
𝑥𝑖
2
3
4
𝑧
𝑥𝑖
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
Sustituyendo las potencias de 𝑖
𝑧
𝑥𝑖
2
3
4
5
6
7
𝑧
𝑥𝑖
2
4
6
𝑐𝑜𝑠𝑥
3
5
7
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥𝑖
En la fórmula de Euler 𝑥 = 𝜃 ⟹ 𝑒
𝜃𝑖
Concluimos que,
𝑧
𝑥+𝑦𝑖
𝑥
𝑦𝑖
𝑥
Por lo tanto, las representaciones de un número en forma polar son:
I. Forma binómica o rectangular {𝐳 = 𝐚 + 𝐛𝐢}
II. Forma polar o trigonométrica {𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽) = 𝒓𝒄𝒊𝒔𝜽}
III. Forma exponencial o Euler {𝒛 = 𝒓𝒆
𝜽𝒊
Ejemplo
Represente el número 𝑧 = 1 + 𝑖 complejo en forma exponencial.
Solución
Determinamos el módulo y el argumento de 𝑧
2 y el 𝐴𝑟𝑔(𝑧) =
𝜋
4
𝜋
4
𝑖
