Notes d'algebra, Apuntes de Álgebra Lineal

¡Descarga Notes d'algebra y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!

NOTES

D’ `ALGEBRA

LINEAL

Enric Nart

´INDEX DE TALLERS

• Taller 1. Operacions amb matrius
• Taller 2. Transformacions elementals de matrius
• Taller 3. Resoluci´o de sistemes d’equacions lineals
• Taller 4. Rang i independ`encia lineal
• Taller 5. Subespais vectorials i depend`encia lineal
• Taller 6. Treball en cordenades
• Taller 7. Problemes b`asics d’espais vectorials
• Taller 8. Propietats b`asiques de les aplicacions lineals
• Taller 9. Nucli i imatge d’una aplicaci´o lineal
• Taller 10. Matriu d’una aplicaci´o lineal
• Taller 11. Diagonalitzaci´o

Notes d’`algebra lineal Materials 5

Presentaci´o

L’algebra lineal ´es la disciplina matematica que estudia els fenomens lineals, en qualsevolambit on es produeixen. La linealitat ´es la capacitat que tenen alguns objectes de ser sumats i/o magnificats per nombres. Moltes entitats, procedents de diverses `arees cient´ıfiques, gaudeixen d’aquesta capacitat i les in- teraccions m´utues que experimenten s’acostumen a reflectir en equacions lineals, com ara:

2 x −

y +

5 z = 0.

Al batxillerat s’estudien equacions lineals com aquesta, on les lletres x, y, z representen nombres-incognita que es volen determinar. En aquest curs, aspirem a controlar els fenomens lineals en tota la seva extensi´o, de manera que estu- diarem equacions lineals on els s´ımbols x, y, z podran designar objectes molt diversos: nombres, matrius, polinomis, funcions, les cel.les de memoria d’un or- dinador, etc. Aquesta aspiraci´o ens fa distingir dos nivells ben diferenciats en el contingut del curs. En una primera part, d’unes cinc setmanes de durada, revisem a fons la problematica que envolta la resoluci´o de sistemes d’equacions lineals classics. En tota aquesta part es treballa a un nivell de maxima con- creci´o i en s´on protagonistes exclusives les matrius i diferents tecniques per manipular-les: operacions amb matrius, inversi´o, esglaonament, calcul de rangs i determinants, etc. Aquestes tecniques s’utilitzen constantment al llarg de tot el curs i en constitueixen el fonament basic.

En una segona part, d’unes set setmanes de durada, es fa un salt considerable d’abstracci´o i es passen a estudiar els espais vectorials i les aplicacions lineals, que s´on els conceptes que millor modelitzen els fenomens lineals. Aquestes set setmanes constitueixen la part essencial del curs. Un dels objectius prioritaris d’aquesta part ´es fer adquirir a l’alumne la capacitat de viatjar, en les dues direc- cions, entre els nivells concret-abstracte que s’hauran treballat. D’una banda, l’elecci´o d’una base d’un espai vectorial permet assignar coordenades als seus vectors i amb aixo es pot traduir qualsevol problema lineal, plantejat en el nivell abstracte, a un problema numeric sobre matrius i sistemes d’equacions lineals. Un cop feta aquesta traducci´o, el problema es pot resoldre amb les tecniques estudiades a la primera part del curs, i la soluci´o obtinguda es pot reinterpretar en el m´on abstracte per obtenir una soluci´o del problema original.

Notes d’`algebra lineal Materials 7

Presentaci´o de la segona edici´o

En aquesta segona edici´o de les Notes d’algebra lineal es recullen els can- vis que ha experimentat l’assignatura d’ Algebra lineal amb motiu de la seva adaptaci´o al nou Espai Europeu d’Educaci´o Superior. Tractant-se d’una assig- natura molt basica, el fons dels continguts no ha sofert cap modificaci´o essen- cial; no obstant, la nova estructura ha comportat una profunda renovaci´o dels metodes docents, amb l’aplicaci´o d’un nou model d’ensenyament i aprenentatge.

Amb l’objectiu de donar un rol m´es actiu i participatiu a l’estudiant, s’han introduit uns Tallers. En aquesta activitat, l’estudiant practica en un petit grup de 3 a 5 persones els aspectes m´es basics i rutinaris del conceptes i tecniques que s’han presentat a l’aula. Usualment l’activitat t´e lloc a l’aula, en horari lectiu, i amb el guiatge del professor. Tanmateix, alguns tallers tamb´e es proposen als estudiants com a treball fora de l’aula, i prenen aleshores el rol d’un suggeriment de com iniciar l’activitat d’estudi d’una part de l’assignatura. L’objectiu primari del taller ´es, en qualsevol dels dos casos, donar a l’estudiant armes i bagatge per afrontar amb exit els Exercicis, que s´on un model del veritable nivell d’exigencia del curs, i que es treballen d’una manera m´es cl`assica en el context de les classes de problemes.

D’acord amb la nova estructura del curs, les Notes d’algebra lineal incorporen onze models d’aquests tallers, distribuits de manera estrategica i dosificada, que sumen 33 q¨uestions molt basiques d’algebra lineal, completament desen- volupades. Per a un lector no directament implicat en els objectius academics del curs, els tallers poden ser considerats com un ventall ampli i representatiu d’exercicis basics resolts. S’ha augmentat tamb´e fins a 100 el nombre d’exercicis proposats.

Apart de la inclusi´o d’aquests tallers, he modificat sensiblement la presentaci´o i tractament de diferents temes, acostant-los m´es a la percepci´o i estructura que es preten que en tregui l’alumne. Espero amb aixo facilitar al maxim el treball d’estudi de l’assignatura directament a partir de les Notes. En aquest sentit, agraeixo a Francesc Bars, Warren Dicks i Xavier Xarles els seus comentaris i suggeriments, que m’han permes millorar el text en diversos punts.

Bellaterra, gener de 2006

10 Materials Enric Nart

La relaci´o que pot resultar m´es estranya ´es:

1 + 1 = 0, a Z 2 ,

de la qual es dedueix una altra relaci´o ben singular:

1 = − 1 , a Z 2.

En la transmissi´o digital d’informaci´o, com per exemple la que es produeix quan escoltem m´usica en un CD, la informaci´o es codifica en forma d’una suc- cessi´o de zeros i uns. Sovint es produeixen errors en la transmissi´o d’aquests d´ıgits i es fa necessari incorporar mecanismes de correcci´o d’errors. La majoria d’aquests mecanismes correctors estan basats en sofisticats processos lineals, i el sistema num`eric que els d´ona suport ´es, essencialment, el cos K = Z 2.

Matrius

Fixem un cos commutatiu K, els elements del qual seran els nostres nombres, que sovint anomenarem tamb´e “escalars”.

Una matriu m × n amb entrades de K ´es una taula rectangular d’elements de K, amb m files i n columnes. Denotarem per Km×n^ el conjunt de totes les matrius m × n amb entrades de K. Per exemple,

A =

∈ Q^2 ×^3 ⊆ R^2 ×^3 ⊆ C^2 ×^3 ,

B =

∈ Z^22 × 3.

S’acostuma a representar abreujadament una matriu m × n per:

A = (aij ), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n,

entenent que el terme aij s’ubica a la fila i i la columna j.

La matriu transposada d’una matriu A ∈ Km×n^ ´es la matriu At^ ∈ Kn×m que s’obt´e escrivint ordenadament les files de A en columna. Aix´ı, la matriu transposada de A = (aij ) ´es la matriu At^ = (bij ) que t´e per entrades:

bij = aji, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Per exemple, les matrius transposades de les matrius A, B anteriors s´on:

At^ =

 (^) ∈ Q^3 ×^2 , Bt^ =

 ∈ Z^32 × 2.

Clarament, (At)t^ = A, per a tota matriu A.

Notes d’`algebra lineal Materials 11

Una matriu quadrada de mida n ´es una matriu n × n. La diagonal principal d’una matriu quadrada est`a formada per les entrades situades a les posicions (1, 1), (2, 2),... , (n, n). Una matriu diagonal ´es una matriu quadrada que t´e nul.les totes les entrades fora de la diagonal principal. Es denota:

diag(a 1 ,... , an) =

a 1 0 · · · 0 0 a 2 · · · 0 .. .

....^

0 0 · · · an

Una matriu simetrica ´es una matriu quadrada de mida n, que coincideix amb la seva transposada: A = At. Per exemple, les matrius diagonals s´on simetriques. En general, la simetria d’una matriu quadrada es visualitza com a simetria respecte de la diagonal principal.

 

no simetrica simetrica

Estudiarem tres operacions amb matrius: la suma de matrius, el producte de matrius per escalars, i el producte de matrius. Les dues primeres s´on molt sen- zilles i gaudeixen de les mateixes propietats que la suma i el producte d’escalars. En canvi, el producte de matrius ´es una operaci´o delicada, amb propietats molt diferents de les que estem acostumats a atribuir a les operacions amb nombres.

Suma de matrius

Donades dues matrius de la mateixa mida A = (aij ), B = (bij ) ∈ Km×n, la matriu suma A + B ´es la matriu de la mateixa mida que t´e per entrada (i, j) el resultat de sumar les entrades de A i B en aquesta mateixa posici´o:

A + B = (cij ), cij = aij + bij , ∀i, j.

Denotarem simplement per 0 ∈ Km×n^ la matriu que t´e totes les entrades nul.les. Clarament,

0 + A = A + 0 = A, ∀A ∈ Km×n.

Producte de matrius per escalars

Donats un escalar λ ∈ K i una matriu A ∈ Km×n, la matriu producte λA ´es la matriu m × n que s’obt´e multiplicant totes les entrades de A per λ:

λA = (cij ), cij = λaij , ∀i, j.

Notes d’`algebra lineal Materials 13

Insistim en el fet que no sempre t´e sentit multiplicar dues matrius; depen de la seva mida i de l’ordre en que les vulguem multiplicar. A m´es a m´es, es tracta d’una operaci´o altament no commutativa.

Remarques

(1) Pot ser que el producte AB tingui sentit pero que el producte BA no estigui definit. Aixo passa amb les matrius de l’exemple 1: no t´e sentit fer BA, ja que no coincideixen el nombre de columnes de B (quatre) amb el nombre de files de A (dues).

(2) Pot ser que tinguin sentit els dos productes AB i BA, pero que no es puguin comparar perque siguin matrius de diferent mida. Per exemple:

A =

∈ Q^1 ×^3 , B =

 ∈ Q^3 ×^1.

AB = (−1) ∈ Q^1 ×^1 , BA =

 ∈ Q^3 ×^3.

(3) Si A, B ∈ Kn×n, aleshores els dos productes AB i BA tenen sentit i s´on tamb´e matrius quadrades de mida n. No obstant aix`o, si n > 1, tindrem sovint AB 6 = BA. Per exemple:

A =

, B =

=⇒ AB =

, BA =

Propietats del producte de matrius

1. Propietat associativa:

A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Km×n, ∀B ∈ Kn×r, ∀C ∈ Kr×s.

1. Propietat distributiva respecte de la suma, per la dreta i per l’esquerra:

A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Km×n, ∀B, C ∈ Kn×r.

(A + B)C = AC + BC, ∀A, B ∈ Km×n, ∀C ∈ Kn×r.

1. Compatibilitat amb el producte per escalars:

(λA)B = λ(AB) = A(λB), ∀A ∈ Km×n, ∀B ∈ Kn×r, ∀λ ∈ K.

1. Anticommutativitat respecte de la transposici´o:

(AB)t^ = BtAt, ∀A ∈ Km×n, ∀B ∈ Kn×r.

14 Materials Enric Nart

Producte de matrius i combinacions lineals de files i columnes

Vegem a continuaci´o una altra manera d’identificar les files i les columnes d’un producte de matrius, que utilitzarem sovint al llarg de tot el curs. Considerem matrius A ∈ Km×n, B ∈ Kn×r^ i la seva matriu producte AB, que tindra m files i r columnes. La fila i-esima de AB es fabrica aparellant la fila i-esima de A amb cadascuna de les columnes de B; analogament, la columna j-esima de AB es fabrica aparellant cadascuna de les files de A amb la columna j-esima de B. Podem expressar aquests fets en forma de productes adequats de matrius:

(i-esima fila de A) B = (i-esima fila de AB) , 1 ≤ i ≤ m,

A (j-esima columna de B) = (j-esima columna de AB) , 1 ≤ j ≤ r.

Aix´ı, atenent a les files de la matriu producte, el producte de matrius exhibit a l’exemple 1 de la p`agina 12 es pot desglossar en dos productes de matrius:

( 2 1 0

B =

B =

i atenent a les columnes de la matriu producte, es desglossa en quatre productes de matrius:

A

, A

, A

, A

Aquests productes de matrius en que intervenen matrius amb una sola fila o columna admeten una reinterpretaci´o molt interessant.

Observaci´o. Donada una matriu C ∈ Km×n^ denotem per C 1 ,... , Cm les seves m files i per C^1 ,... , Cn^ les seves n columnes. Aleshores, per a qualsevol elecci´o d’escalars λ 1 ,... , λm, μ 1 ,... , μn ∈ K es t´e:

(λ 1 · · · λm) C = λ 1 C 1 + · · · λmCm, C

μ 1 .. . μn

 =^ μ 1 C^1 +^ · · ·^ +^ μnCn.^ (1.2)

Una expressi´o com aquesta, λ 1 C 1 + · · · + λmCm, on una fam´ılia d’objectes (en aquest cas les files d’una matriu) es multipliquen per escalars i se sumen s’anomena una combinaci´o lineal d’aquests objectes; els escalars λ 1 ,... , λm in- volucrats s’anomenen els coeficients de la combinaci´o lineal. Utilitzant aquesta terminologia, podem resumir (1.1) i (1.2) en una ´unica observaci´o:

16 Materials Enric Nart

En efecte, suposem que A ∈ Kn×n^ admet dues matrius B, C ∈ Kn×n^ que multiplicades per A per la dreta i l’esquerra donen com a resultat la identitat:

BA = CA = I, AB = AC = I.

Si multipliquem els dos membres de la igualtat BA = I per la dreta per la matriu C, tindrem:

(BA)C = IC =⇒ B(AC) = IC =⇒ BI = IC =⇒ B = C.

Denotarem per GLn(K) el subconjunt de Kn×n^ format per totes les matrius invertibles de mida n. Amb l’operaci´o de multiplicar matrius, el conjunt GLn(K) t´e una estructura de grup, no commutatiu si n > 1, que s’anomena grup lineal d’ordre n de K. Aquesta estructura de grup de GLn(K) es resumeix t`ecnicament en les propietats seg¨uents, ben evidents:

(1) La matriu identitat I ´es invertible i coincideix amb la seva pr`opia inversa: I = I−^1.

(2) Si A ´es invertible, la matriu inversa A−^1 tamb´e ´es invertible i (A−^1 )−^1 = A ´es la seva inversa.

(3) Si A, B ∈ Kn×n^ s´on invertibles, aleshores el seu producte AB tamb´e ´es invertible i (AB)−^1 = B−^1 A−^1.

Aquesta darrera propietat ´es t´ıpica dels processos no commutatius. Si per cal¸car-nos ens posem primer els mitjons i despr´es les sabates, per descal¸car-nos ho hem de fer en l’ordre invers: primer treure’ns les sabates i despr´es els mitjons. Hem mencionat abans que el producte de matrius tamb´e ´es anticommutatiu respecte de la transposici´o: (AB)t^ = BtAt. La seg¨uent observaci´o ´es una con- seq¨u`encia immediata d’aquesta identitat.

Observaci´o. Si A ∈ Kn×n^ ´es una matriu invertible, aleshores la seva trans- posada At^ ´es tamb´e invertible i (At)−^1 = (A−^1 )t.

Les equacions matricials AX = B i XA = B

Estem acostumats que en el m´on dels nombres, podem a¨ıllar la variable d’una equaci´o de la forma: ax = b, sempre que a 6 = 0:

ax = b =⇒

a

(ax) =

a

b =⇒ x =

a

b.

Aixo es deu al fet que tots els nombres no nuls s´on invertibles. En el m´on de les matrius tenim una resoluci´o completament analoga d’aquest tipus d’equacions, sempre que la matriu que multiplica la matriu incognita sigui invertible. No obstant, com que el producte de matrius no ´es commutatiu, hem de vigilar per quin cant´o multipliquem per la matriu inversa per a¨ıllar la incognita. Per exemple, imaginem que tenim plantejada l’equaci´o: AX = B, amb A ∈ Kn×n, B ∈ Kn×r^ matrius conegudes, i X ∈ Kn×r^ matriu desconeguda. Si A ´es

Notes d’`algebra lineal Materials 17

invertible, podem a¨ıllar la inc`ognita multiplicant els dos membres de la igualtat per l’esquerra per la matriu inversa A−^1 :

AX = B =⇒ A−^1 (AX) = A−^1 B =⇒ (A−^1 A)X = A−^1 B =⇒ X = A−^1 B,

ja que A−^1 A = I i IX = X. En canvi, si volem resoldre l’equaci´o: XA = B, amb X, B com abans i A ∈ Kr×r^ una matriu invertible, haurem de multiplicar els dos membres de la igualtat per la dreta per la matriu inversa A−^1 :

XA = B =⇒ (XA)A−^1 = BA−^1 =⇒ X(AA−^1 ) = BA−^1 =⇒ X = BA−^1 ,

ja que AA−^1 = I i XI = X. Una altra diferencia, m´es radical, amb el m´on dels nombres ´es que hi ha ma- trius no nul.les que no s´on invertibles. Una tasca pendent, doncs, ´es caracteritzar les matrius invertibles. Aixo es far`a a la secci´o 1.4.

Taller 1. Operacions amb matrius

1. Resoleu el seg¨uent sistema d’equacions amb inc`ognites A, B ∈ Q^2 ×^3.

4 A − 3 B =

( − 2 − 3 − 5 8 − 4 6

) , 5 A + 2B =

( 9 2 11 10 − 5 − 4

) .

1. Unifiqueu les seg¨uents igualtats en una sola expressi´o de la forma AB = C, amb A ∈ Q^3 ×^2 , B ∈ Q^2 ×^3 , C ∈ Q^3 ×^3.

 

2 3 5 1 0 2

 

( 2 2

)

 

10 12 4

  (^) ,

 

2 3 5 1 0 2

 

( 1 − 1

)

 

− 1 4 − 2

  (^) ,

 

2 3 5 1 0 2

 

( 0 1

)

 

3 1 2

  (^).

1. Calculeu la matriu producte AB de les dues matrius:

A =

 

0 3 / 2 − 7 1 2 9

  (^) , B =

( 6 1 0 5 − 1 2 2 4

) .

Expresseu la segona fila de la matriu producte AB com a combinaci´o lineal de les files de B. Expresseu la quarta columna de la matriu AB com a combinaci´o lineal de les columnes de A.

1. Comproveu que les seg¨uents matrius s´on inverses l’una de l’altra: ( 5 7 6 8

) ,

( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) .

Notes d’`algebra lineal Materials 19

Aplicant la proposici´o 1.1 tenim directament: ( − 43 − 5 2 − 31

) = − 7

( 6 1 0 5

)

( − 1 2 2 4

) ,  

6 − 31 46

  (^) = 5

 

0 − 7 2

  (^) + 4

 

3 / 2 1 9

  (^).

1. Per comprovar que les dues matrius que ens donen s´on inverses l’una de l’altra, multipliquem les dues matrius per la dreta i per l’esquerra i comprovem que en els dos casos obtenim la matriu identitat: ( 5 7 6 8

) ( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

)

( 1 0 0 1

) ,

( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) ( 5 7 6 8

)

( 1 0 0 1

) .

Ara, per a¨ıllar la matriu X de la primera igualtat multipliquem els dos membres

d’aquesta igualtat per la dreta per la matriu inversa de la matriu

( 5 7 6 8

) : ( X

( 5 7 6 8

)) ( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

)

 

9 9 9 9 4 2

 

( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

)

 

− 9 9 − 9 9 − 10 9

 

i aquesta matriu ja ´es el valor de X, perqu`e a l’esquerra de la primera igualtat hem a¨ıllat la X; en efecte, per la propietat associativa del producte de matrius:

( X

( 5 7 6 8

)) ( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) = X

(( 5 7 6 8

) ( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

)) = X

( 1 0 0 1

) = X.

L’equaci´o en la inc`ognita Y es pot simplificar: ( 5 7 6 8

) Y + 5

( 2 − 1 − 3 4 0 12

)

( − 3 10 − 14 6 18 58

) ⇐⇒

( 5 7 6 8

) Y =

( − 3 10 − 14 6 18 58

) − 5

( 2 − 1 − 3 4 0 12

)

( − 13 15 1 − 14 18 − 2

) .

Ara podem a¨ıllar la Y com hem fet abans, per`o multiplicant els dos membres de la

darrera igualtat per l’esquerra per la matriu inversa de

( 5 7 6 8

) : ( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) (( 5 7 6 8

) Y

)

( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) ( − 13 15 1 − 14 18 − 2

)

( − 3 3 − 11 − 4 0 8

) .

Com abans, aquesta matriu ja ´es el valor que pren Y , perqu`e a l’esquerra de la igualtat ha quedat la Y a¨ıllada:

( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) (( 5 7 6 8

) Y

)

(( − 4 7 / 2 3 − 5 / 2

) ( 5 7 6 8

)) Y =

( 1 0 0 1

) Y = Y.

20 Materials Enric Nart

1.3 Transformacions elementals de matrius

A la secci´o 2.1 traduirem al llenguatge de les matrius el metode de Gauss per resoldre sistemes d’equacions lineals. Per fer aquesta traducci´o cal introduir una tecnica de manipulaci´o de matrius mitjan¸cant transformacions elementals. De l’analisi d’aquesta tecnica n’extreurem conseq¨uencies for¸ca interessants, m´es enlla de la seva aplicaci´o a la resoluci´o de sistemes.

Transformacions elementals per files

Considerarem els seg¨uents tres tipus de transformacions de les matrius, que anomenarem transformacions elementals per files:

1. Intercanviar dues files de la matriu.
2. Multiplicar una fila per un escalar no nul.
3. Sumar el producte d’una fila per un escalar, a una altra fila diferent.

Aquestes transformacions es poden aplicar a una matriu de mida arbitraria. Normalment s’aplica consecutivament una cadena de transformacions d’aquestes amb la intenci´o de simplificar la matriu, sense que es perdi la informaci´o que cont´e. Noteu, per exemple, que aplicant successivament diferents transforma- cions del primer tipus podem realitzar qualsevol permutaci´o de les files de la matriu. Quan apliquem una serie de transformacions elementals a una matriu, conv´e anotar quina transformaci´o es fa en cada pas. Utilitzarem la simbologia seg¨uent:

Fi ↔ Fj intercanviar les files i, j λFi multiplicar la fila i per l’escalar λ 6 = 0 Fi ← Fi + λFj sumar a la fila i el resultat de multiplicar la fila j per λ

Noteu que en aquesta darrera transformaci´o la fila j queda inalterada. Sovint combinem transformacions dels dos darrers tipus en un sol s´ımbol:

Fi ← λFj + μFi multiplicar la fila i per μ 6 = 0 i despr´es sumar a la fila i el resultat de multiplicar la fila j per λ

Exemple 2

A =

 F^1 ↔^ F^3

 4 F^2

F 2 ← F 2 − 3 F 3