Numeritos somos masi, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Numeritos somos masi y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Unidad 1

Gu´ıa de

actividades

Unidad 1

Conjuntos

Ejercicio 1. Dado el conjunto A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 11 }, decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) 5 ∈ A b) 2 ∈/ A c) { 4 , 7 } ⊆ A d) { 1 , 6 , 11 } ⊆ A e) { 3 , 8 } * A

Ejercicio 2. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) 5 ∈ {x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 10 } b) { 12 , 4 } ⊆ {x ∈ Z : 1 ≤ x ≤ 10 } c) { 12 , 4 } ⊆ {x ∈ R : 1 ≤ x ≤ 10 } d ) {− 1 , 1 } ⊆ {x ∈ R : x^3 = x} e) {− 1 , 1 } = {x ∈ R : x^3 = x}

Ejercicio 3. Dados A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 7 , 11 }, B = { 6 , 8 , 10 } y C = { 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } describir por exten- si´on los siguientes conjuntos. a) A ∪ B b) A ∪ C c) B ∪ C d) A ∩ B e) A ∩ C f ) B ∩ C g) (A ∩ B) ∪ C h) A ∩ (B ∪ C) i) (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) j) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Ejercicio 4. Dados los conjuntos A = {α, β, γ, δ}, B = {α, β, }, C = {α, β} y D = {γ, }, describir por extensi´on los siguientes conjuntos. a) A \ B b) B \ A c) (A \ B) ∪ B d) (B \ A) ∪ A e) C \ A f ) A \ C g) B \ D h) (A \ B) ∪ (B \ A) i) (A ∪ B) \ (A ∩ B) j) Ac, siendo U = {α, β, γ, δ, , θ, ρ} el conjunto universal. k) Ac, siendo U = {α, β, γ, δ, } el conjunto universal.

Ejercicio 5. Graficar en el plano los siguientes conjuntos.

a) A = {(x, y) ∈ R^2 : 1 ≤ x ≤ 8 , 1 ≤ y ≤ 4 } b) B = {(x, y) ∈ R^2 : 1 < x ≤ 8 , 1 ≤ y < 4 } c) C = {(x, y) ∈ R^2 : 3 < x ≤ 5 , 2 ≤ y < 3 } d ) D = {(x, y) ∈ R^2 : 5 ≤ x ≤ 9 , 2 ≤ y < 3 }

e) A \ B f ) A \ C g) A \ D h) C \ D i) A ∩ C j) A ∪ C k) A ∩ D l) A ∪ D m) Ac, siendo U = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 10 , 0 ≤ y ≤ 10 }

Ejercicio 6. Describir por comprensi´on los siguientes subconjuntos de R^2.

Unidad 1

Ejercicio 13. Dados los vectores μ = (1; 2) y χ = (1; 4). Calcular las coordenadas del vector ~v = 12 ( 13 μ + 15 χ):

a) De manera exacta. b) Aproximadas a tres cifras decimales.

Producto escalar

Ejercicio 14. Calcular los siguientes productos escalares de vectores de R^2. a) (1, −1) · (2, 4) b) (1, 3) · (− 6 , 2) c) (1, 2) · (1, 2) d) (− 1 , 0) · (0, 1)

Ejercicio 15. Dados los vectores ~v = (1, − 2 , 2), w~ = (2, 0 , 3) y ~u = (− 1 , − 3 , 2) en R^3 calcular las siguientes operaciones.

a) ~v · w~; w~ · ~v. b) (~v + w~) · ~u; (~v · ~u) + ( w~ · ~u). c) (3~v) · w~; 3(~v · w~). d ) ~v · ~v; w~ · w~. ¿Qu´e conclusiones sacan?

Ejercicio 16. Calcular la norma de los siguientes vectores. a) (− 3 , 4) ∈ R^2 b) (− 1 , 1 , 1) ∈ R^3 c) (1, − 2 , − 2 , −1) ∈ R^4 d) (1, 1 ,... , 1) ∈ Rn.

Ejercicio 17. Dados ~v = (3, −4) y w~ = (1, 2) en R^2 :

a) Calcular ||~v||, || w~||, ||~v + w~||, ||~v|| + || w~||, || 2 ~v|| y || 12 ~v||.

b) ¿Qu´e relaci´on hallaron entre ||~v|| y || 2 ~v||? ¿Y entre ||~v|| y || 12 ~v||? c) ¿Qu´e relaci´on hallaron entre ||~v + w~|| y ||~v|| + || w~||?

Ejercicio 18. Calcular la distancia entre los puntos ~v = (2, 5) y w~ = (1, 3)

a) de forma exacta. b) redondeando con tres decimales de exactitud. c) redondeando con cinco decimales de exactitud.

Ejercicio 19. Calcular la distancia entre los puntos dados. a) (1, −3) y (0, 0) b) (1, −3) y (4, 1) c) (1, 2 , 3) y (4, 1 , 2) d) (4, − 2 , 6) y (3, − 4 , 4).

Ejercicio 20. Determinar todos los valores de k ∈ R que verifican.

a) ~v = (4, k) y ||~v|| = 5. b) ~v = (2, k, −1) y ||~v|| = 2. c) ~v = k.(2, 2 , 1) y ||~v|| = 1. d ) Los puntos P = (1, 1 , 1), Q = (k, −k, 2) de R^3 est´en a distancia 2.

Ejercicio 21. Graficar en el plano los siguientes conjuntos.

a) {(x, y) ∈ R^2 : ||(x, y)|| = 1}. b) {(x, y) ∈ R^2 : ||(x, y)|| ≤ 1 }. c) {(x, y) ∈ R^2 : ||(x, y) − (1, 1)|| = 1}. d ) {(x, y) ∈ R^2 : ||(x, y) − (1, 1)|| ≤ 1 }.

Unidad 1

Ejercicio 22. Calcular el ´angulo entre los siguientes pares de vectores. a) (1, 0) y (0, 1) b) (1, 2) y (− 2 , 1). c) (1, 1) y (0, 1) d) (1, − 1 , 0) y (0, 1 , 1).

Ejercicio 23. Hallar todos los k ∈ R que verifican simult´aneamente:

a) la norma del vector (2, − 2 , k) es igual a 3.

b) el ´angulo entre los vectores (2, 1 , 1) y (1, − 1 , k) es

π 2

Ejercicio 24.

a) Dar todos los vectores de R^2 cuya norma es 2 y el ´angulo que forman con el semieje positivo de las x es π 6. b) Dar todos los vectores de R^3 que verifican que la norma es 3 y los tres ´angulos que forma con los semiejes positivos son iguales.

Ejercicio 25. Determinar si los siguientes pares de vectores son ortogonales o no. a) (1, −1) y (2, 4) b) (1, 3) y (− 6 , 2) c) (1, 2) y (1, 2). d) (1, 3 , 5) y (3, 0 , −2) e) (− 1 , 2 , 1) y (6, 1 , 4) f ) (2, 4 , −2), (− 3 , − 6 , 3).

Ejercicio 26. En cada caso, hallar:

a) tres vectores distintos de R^2 que sean ortogonales a (2, 3). ¿Qu´e relaci´on encuentra entre los vectores hallados? b) todos los vectores de R^2 que son ortogonales a (2, −2) y tienen norma 1. c) dos vectores no nulos de R^3 ortogonales a (1, 2 , 1) que no sean paralelos entre s´ı. d ) tres vectores distintos de R^3 que sean ortogonales a (1, 2 , 1) y (1, − 3 , 0) simult´aneamente. ¿Qu´e relaci´on cumplen entre si?

Ejercicio 27. Para vectores ~v, ~w, ~u en Rn, decidir cuales de las siguientes afirmaciones son verdades y cuales falsas.

a) Si ~v es ortogonal a w~ entonces ~v es ortogonal a − w~ y a 5 w~. b) Si ~v es ortogonal a w~ y a ~u entonces ~v es ortogonal a w~ + ~u y a 3 w~ − 2 ~u. c) Si ~v es ortogonal a w~ entonces ~v + w~ es ortogonal a w~. d ) Si ~v es ortogonal a w~ y a w~ − 3 ~u entonces ~v es ortogonal a ~u.

Ejercicio 28.

a) Sean ~v, ~w ∈ R^2. Sabiendo que ||~v|| = 1, ||~v + w~|| =

2, el ´angulo que forma el vector ~v, perteneciente al primer cuadrante, con el semieje positivo de las x es π 4 y el ´angulo que forma ~v + w~ con el semieje positivo de las x es π 2 hallar w~. b) Sean ~v, ~w ∈ R^3. Sabiendo que el ´angulo entre ~v y w~ es π 3 , || w~|| = 4 y ~v − w~ es ortogonal a ~v, calcular ||~v||.

Ejercicio 29. Sean ~v y w~ dos vectores de R^3 donde ~v tiene norma 1 y w~ = (k, k − 4 , −k). Hallar el ´o los valores de k ∈ R para que se cumplan simult´aneamente las siguientes condiciones:

~v es ortogonal a w~ − 2 ~v El ´angulo que forman ~v y w~ es π 3