Introducción a los Números Complejos: Clasificación, Operaciones y Propiedades, Diapositivas de Álgebra

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UNIDAD DIDÁCTICA

NÚMEROS

COMPLEJOS

UNIDAD DIDÁCTICA

NÚMEROS

COMPLEJOS

INTRODUCCIÓN

Clasificación de los

números

NÚMEROS NATURALES

El conjunto de los números

naturales está formado por:

N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

NÚMEROS ENTEROS

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

El conjunto formado por los

números racionales e irracionales, es el conjunto de

los números reales, se designa por

NÚMEROS REALES

Con los números reales se puede

realizar todas las operaciones,

excepto la radicación de índice par y

radicando negativo y la división por

cero.

A todo número real le corresponde un punto

de la recta y a todo punto de la recta un

número real.

NÚMEROS COMPLEJOS

Un número imaginario se denota por b i , donde :

b es un número real

Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice

par y radicando negativo

Por Ejemplo: x

2

• 9 = 0

NÚMEROS IMAGINARIOS

Los valores se repiten de cuatro en

cuatro , por eso, para saber cuánto vale

una determinada potencia de i , se divide

el exponente entre 4, y el resto es el

exponente de la potencia equivalente a la

dada.

¿Cómo podemos determinar

cualquier potencia de i?

Solución:

Dividiendo el exponente por 4.

se obtiene: 514=128. (4) + 2

D= d * c + r

RMAS DE REPRESENTAR UN NÚMERO COMPLEJO

Se escribe como la suma de

un número real a y un

número real b multiplicado

por la unidad imaginaria i

FORMA BINÓMICA

ORMA TRIGONOMÉTRICA

FORMA POLAR

En la forma polar, el complej

se escribe en función de s

módulo |z||z| y s

argumento αα como

OPERACIONES CON NÚMEROS

COMPLEJOS

Para sumar dos números complejos, sume la parte

real a la parte real y la parte imaginaria a la parte

imaginaria.

SUMA

RESTA

        a  ib  c  id  a  c  i b  d

MULTIPLICACIÓN

Ejemplo

        a  ib c  id  ac  bd  i bc  ad

CONJUGADO

PROPIEDADES

Dado un número complejo , su complejo conjugado, o

simplemente su conjugado, se obtiene cambiando el signo

de la parte imaginaria.

z

Al complejo conjugado de

se le denota ó *.

Si entonces

z

z z

z a ib

z a ib

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

z z z z

z z z z

z z z z

  

  



1 1

2 2

z z

z (^) z

z z

 

  

 



   

 

2

Re

2

z z a ib a ib a

z z

z

     







   

 

Im

z z a ib a ib ib

z z

z

i

PROPIEDADES DE LOS COMPLEJOS

CONMUTATIVI

DAD

ASOCIATIVIDA

D

DISTRIBUTIVI

DAD

1 2 2 1

1 2 2 1

z z z z

z z z z

  



   

   

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

z z z z z z

z z z z z z

    



 

z z  z  z z  z z

INVERSO ADITIVO Y MULTIPLICATIVO

 

El inverso aditivo

existe siempre y es único.

Se tiene

0

z a ib

z z

  

  

z  a  ib

REPRESENTACIÓN GRAFICA

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El

eje X se l lama eje real y el Y , eje imaginario.

El número complejo a + b i se representa:

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA

POLAR

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.

Forma BINOMIAL

Forma POLAR

MODULO

ARGUMENTO

CONVERSIÓN ENTRE LA FORMA POLAR Y CARTESIANA

cos

sin

x r

y r





X

Y

z  x  iy

x

y

r

