Operaciones con funciones 1, Apuntes de Administración de Negocios

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Operaciones con funciones

Dra. Carmen Ivelisse Santiago Rivera Universidad Interamericana Recinto de Bayamón

Pensamiento

• Nadie te puede dar sabiduría. Tú debes descubrirla por ti mismo, en un viaje a través de la vida, que nadie puede dar por ti. (Libro: Actos de fe.Iyanla Vanzant).
• Lograr el éxito no tiene misterio. ¡Es sólo mucho trabajo! (Cita de: Oscar de la Renta)

Suma o diferencia de funciones

• Sea f(x) = 5x^2 – 2x + 3 y g(x) = x^2 – 2
• Halla f + g
  • (5x^2 – 2x + 3) + (x^2 – 2)
  • 6x^2 -2x + 1
• Halla f – g
  • (5x^2 – 2x + 3) - (x^2 – 2)
  • (5x^2 – 2x + 3) + (-x^2 + 2)
  • 4x^2 – 2x + 5

Encuentre lo siguiente:

• Sea f(x) = 5x^2 – 2x + 3 y g(x) = x^2 – 2
  • Halla (f+g)(-3)
    • (f+g)(-3) = f(-3) + g(-3)
    • = 5(-3)^2 – 2(-3) + 3 + (-3)^2 – 2
    • = 5(9) + 6 + 3 + 9 – 2
    • = 45 + 18 – 2
    • = 45 + 16
    • = 61

Práctica

• Halla f+g y f – g
  • f(x) = 5x^2 y g(x) = 3x – 1 » (f + g)(x) = 5x^2 + 3x – 1 » (f - g)(x) = 5x^2 - 3x + 1
• Halla fg y f/g y establece restricciones.
  • f(x) = x^2 -1 y g(x) = x + 1 » (f • g)(x) = (x^2 – 1)(x + 1) » (f • g)(x) = x^3 + x^2 – x – 1 » (f / g)(x) = (x^2 -1)/(x + 1) donde x ≠ - » (f / g)(x) = (x+1)(x-1)/(x + 1) » (f / g)(x) = x -

Cociente Diferecial

Ejemplo

• Sea f(x) = x^2 – 1 y g(x) = 3x a) Halla f g b) Halla g f ( f g)(x) = f(g(x)) g f = g(f(x)) f(g(x)) = (3x)^2 – 1 g(f(x)) = 3(x^2 – 1) f(g(x)) = 9x^2 – 1 g(f(x)) = 3x^2 – 3 Trata el siguiente: f(x) = -2x^2 + 3 y g(x) = -2x a) Halla f g b) Halla g f

Función inversa

• El inverso de una relación
  • El inverso de una relación de pares ordenados (x, y) consiste en el conjunto de todos los pares ordenados (y, x). - Ej: R 1 ={(1,2),(3,4)}  inverso = {(2,1),(4,3)}
  • El dominio del inverso es el campo de valores de la relación original.
  • El campo de valores del inverso es el dominio de la relación original.

Práctica

• Halla la función inversa de las siguientes:

1. f(x) = x + 1
2. g(x) = 5x – 2
3. h(x) = (x – 1)/
4. k(x) = 3/2(x – 3) + 2

Prueba de la línea horizontal

• El inverso de una función es una función si y sólo si cada línea horizontal interseca la gráfica de la función dada una sola vez.

Cortó la gráfica más de una vez.

Por tanto, la función inversa de f(x) = x^2 no representa una función.

Nota importante

• Si una función tiene inverso y su inverso también es función, entonces se le llama función uno-a-uno. También se le llama función biyectiva.

Relación de composición de funciones y la inversa

• Si f y g son funciones y (f g)(x) = (g f)(x) es igual a I(x) = x, entonces f y g son inversas una de la otra. - Ejemplo: Sea f(x) = 7x – 2 y g(x) = (x+2)/ - Demuestre que f y g son inversas. - (f g)(x) = x y (g f) = x

x

x

x 2 2

7 ( 71 72 ) 2

x

x

x

x

77 0

7

2 7

2 7

7

7 ( 7 2 )^2 7

1

son inversas