UNIVERSIDAD CATÓLICA
DE SANTA MARÍA
PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga
Hilarión Chaco Llamoca
Arequipa – Perú
Ingreso 2023
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Operaciones con intervalos numéricos, Guías, Proyectos, Investigaciones de Ingeniería
Este documento aborda los conceptos fundamentales de los intervalos numéricos, incluyendo su representación gráfica, así como las operaciones básicas de unión, intersección y diferencia entre intervalos. Se presentan ejemplos prácticos y ejercicios relacionados con la aplicación de estas operaciones en diversos contextos, como la medición de temperaturas, la tensión arterial y la edad de personas. El documento proporciona una base sólida para comprender y manipular intervalos numéricos, lo cual es esencial en áreas como matemáticas, física, estadística y otras disciplinas científicas.
Tipo: Guías, Proyectos, Investigaciones
2021/2022
1 / 61
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UNIVERSIDAD CATÓLICA
DE SANTA MARÍA
PRECATÓLICA 2023 - I
MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga
Hilarión Chaco Llamoca
Arequipa – Perú
Ingreso 2023
1 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
I. INTRODUCCIÓN
Cuando se definen los números reales se dice que
son cualquier número que se encuentre o corresponda
con la recta real que incluye a los números racionales
y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los
números reales se encuentra entre menos infinito y
más infinito.
Las principales características de los números reales
son:
Orden. Todos los números reales siguen un
orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4…
Integral. La integridad de los números reales
marca que no hay espacios vacíos, es decir,
cada conjunto que dispone de un límite
superior tiene un límite más pequeño.
Infinitos. Los números reales no tienen final,
ni por el lado positivo ni por el lado negativo.
Por eso su dominio está entre menos infinito
y más infinito.
Decimal. Los números reales pueden ser
expresados como una expansión decimal
infinito.
El conjunto de ℚ de los números Racionales y el
conjunto 𝕀 de los números irracionales
constituyen reunidos, el conjunto de números
reales que se representa por la letra ℝ. Todos los
conjuntos numéricos como: los naturales,
enteros, racionales e irracionales están incluidos
en los Reales como se verá en la siguiente
diagrama:
1. CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES
El conjunto de los números naturales la suma de
números enteros, es el conjunto de los números que
sirven para contar, se denota con N y es
N = {1, 2, 3, 4,5,...}. Para cada número natural n,
existe su siguiente representado por n+1. El siguiente
de 27489 es 27490 y el siguiente de éste es 27491 y
así sucesivamente. El conjunto de los números
naturales tiene infinitos elementos y no existe un
número natural que sea mayor que los demás.
2. CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS ( ℤ)
Los números enteros son los naturales, sus opuestos
(negativos) y el cero. El conjunto de los números
enteros se representa mediante una Z,
Z= {0, 1,-1, 2,-2, 3,-3, 4,-4...}. Se cumple entonces
que todo número natural es entero.
- 456298; 74000000; 26007253187; - 13789 y
453571000000023 son ejemplos de números enteros.
3. CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES
El Conjunto de números racionales, denotado por Q,
es el conjunto de todos los cocientes de dos números
enteros donde el denominador es diferente de cero:
Q= {
𝑚
𝑛
Ejemplos
3
4
; 0,4555…;
− 124
343
;
6
7
Con la definición de número racional, se concluye
que los divisores no pueden ser cero, es decir, división
entre cero no existe, no representa ningún número.
Ejemplo
3
0
es una división indicada. Si
3
0
= 𝑎 se debe cumplir
que a x 0 = 3 y se sabe que todo número multiplicado
por cero da cero.
UNIDAD 1: NÚMEROS REALES
3 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
II. OPERACIONES CON NÚMEROS REALES
1. POTENCIACIÓN
Para un número real 𝑎 y un número entero
positivo 𝑛 se define la potencia n-enésima de 𝑎
al número que se obtiene al 𝑛 veces el factor 𝑎.
Es decir:
𝑛
= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 … × 𝑎 = 𝑝
“𝑛” veces
𝑎 = es la base
𝑛=exponente
𝑛
o 𝑝 = potencia
- 1Propiedades de la potenciación
0
0
1
1
𝑛
𝑚
𝑛+𝑚
2
3
2 + 3
𝑎
𝑛
𝑎
𝑚
𝑛−𝑚
5
8
5
3
8 − 3
𝑛
𝑛
𝑛
3
3
3
𝑛
𝑚
𝑛.𝑚
2
3
- 3
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚
7
5
7
5
−𝑛
1
𝑎
𝑛
− 2
1
8
2
1.2 Regla de signos
Al igual que en ℤ y ℚ se cumple que:
BASE EXPONENTE POTENCIA
- Par +
impar +
− par +
impar −
2. Cuadrado perfecto
Un entero es un cuadrado perfecto, si es el resultado
de elevar al cuadrado un entero distinto de cero.
La condición necesaria y suficiente par a que un
número sea cuadrado perfecto, es que los exponentes
de los factores primos de su descomposición canónica
sean pares
2
2 𝛼
× 𝐵
2 𝛽
× 𝐶
2 𝛾
… × 𝑍
2 𝜙
Ejemplo
4
× 3
2
2
TEOREMA
La condición necesaria y suficiente para que un
número sea cuadrado perfecto es que descompuesto
en factores primos, los exponentes de estos sean pares
(múltiplos de 2)
Ejemplo:
2
× 5
2
2
Caracteres de exclusión de cuadrado perfectos
- Un número acabado en:
2; 3; 7 u 8 no pueden ser cuadrado perfecto
- Para que un número acabo en cero , pueda ser
cuadrado perfecto deberá terminar en una
cantidad par de ceros
2
y 𝑁 = 𝑎𝑏 0 … 00
4 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
- Para que un número acabo en 5 ; pueda ser
cuadrado prefecto su cifra de decenas debe ser 2
y su cifra de centenas : 0;2 ó 6
2
= 20 × 25
4 × 5
- Si un número es múltiplo de un factor primo ;para
que pueda ser cuadrado perfecto deberá ser
también múltiplo del cuadrado de dicho modulo
𝟐
16 es múltiplo de 2 entonces 𝟐
𝟐
es múltiplo de 4
Cubo perfecto
Un entero es cubo perfecto, si es el resultado de elevar
al cubo, un entero positivo.
La condición necesaria y suficiente para, que un
entero sea cubo perfecto, es que los exponentes de los
factores primos de su descomposición canónica sean
múltiplos de 3.
3
3 𝛼
× 𝐵
3 𝛽
× 𝐶
3 𝛾
… × 𝑍
3 𝜙
3
× 2
3
3
Caracteres de exclusión de cubos perfectos
- Para que un número acabado en 5 , pueda
ser cubo perfecto su cifra de decenas
debe ser 2 ó 7
2
2
- Para que un número acabado en cero
pueda ser cubo perfecto debe terminar en
una cantidad de cero múltiplo de 3
Si : 7 𝑎𝑏𝑐 00
es cubo perfecto, hallar:
3
“n” cifras
n= s múltiplo de 3 c=
N= 7 𝑎𝑏𝑐
3
Identificando:
Nos piden
- Si un número es múltiplo de un factor
primo para que pueda ser subo perfecto
deberá ser también múltiplo del cubo de
dicho factor
3
2 744 es múltiplo de 2 entonces 2 744 es
3
= 8× 343
2. RADICACIÓN
La radicación es una operación inversa a la
potenciación. Consiste en dados dos números llamado
índice y radicando, calcular un tercer número llamado
raíz, que elevado a un exponente igual al índice
resulte el radicando.
Índice
√𝑁
𝑛
= k ↔ N= 𝑘
Radicando Raíz
Ejemplos:
3
4
2.1 Propiedades de la radicación
𝑛
𝑛
𝑛
3
3
3
√
𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
𝑎
𝑏
𝑛
√ 16
4
√ 256
4
16
256
4
𝑛
𝑚
𝑚
𝑛
3
2
2
3
𝑛
𝑚
𝑚.𝑛
3
- 2
6 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
0,000.000.000.000.003 (tres milésimas de
billonésima) los científicos utilizamos la notación
exponencial, por ejemplo:
1.000 = 103 que se lee “diez a la tres”
0,001 = 10- 3 que se lee “diez a la menos tres”
El exponente positivo es el número de ceros que
suceden al 1 y el exponente negativo es la posición en
que se encuentra el 1 detrás del punto. De esa manera,
los números que hemos citado antes se escribirían:
3.000.000.000.000.000 = 3×1015 que se lee “tres
por diez a la quince”
0,000.000.000.000.003 = 3×10- 15 que se lee “tres por
diez a la menos quince”
Esto lo hacemos no solamente para ahorrar espacio,
sino porque el exponente hace explícito lo que más
nos importa a los científicos de una cifra que es su
orden de magnitud. Si tuviéramos que contar el
número de ceros, como hemos hecho antes, nos
volveríamos locos y un error en la cuenta podría tener
consecuencias nefastas. Imagínate que tienes que ir a
algún lugar y te dan la distancia en metros. Si te estás
planteando qué medio emplear para desplazarte no
importa tanto que la distancia sea de 327 o 452
metros, lo que importa es el orden de magnitud. Si la
distancia es del orden 103 metros podrás ir andando,
pero si es de 105 metros será mejor que subas al
coche.
Distancia en
metros
Medio de
transporte más
conveniente
Menos de
3
andando
4
Bicicleta
/moto/auto
5
Auto/autobús/tren
6
Avión
7
Avión ( con
escalas)
8
Nave espacial
De esta manera, un simple vistazo al exponente nos
indica cual es el medio de transporte más adecuado
para el desplazamiento. Un error en la apreciación del
orden de magnitud de la distancia que nos tenemos
que desplazar tendría consecuencias muy serias.
7 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
PRACTIQUEMOS N°
- Completa el cuadro
PRODUCTOS POTENCIA BASE EXPONENTE
- Efectúa las siguientes operaciones
aplicando las propiedades de la
potenciación.
a. 4
5 ÷
3
b. 10
6
÷ 10
3
c. 10
3
× 10
6
× 10
0
d.( 5
7
3
4
e.( ( 2
6
7
) ÷ ( 2
2
8
f. 16
7
÷ 16
7
g. [( 5
3
2
]
0
- Resuelve aplicando las propiedades
a.
b.√ 640 000
c. √ 90 000
d. √ 810 000
4
e.
5
- Calcula el valor de cada raíz aplicando las
propiedades
a.
b.
c. √
3
d.
3
e. √
2 500
1 600
9 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
- La diferencia de los cubos de dos números
impares consecutivos es 602.El valor de su
suma es :
A)21 B) 20 C) 27 D) 22 E) 29
- El cociente del cuadrado de un número entero
menos 45 entre la raíz cuadrada de la
diferencia del cuadrado del número
mencionado y 72 es 12. El valor del número
es :
A)9 B)4 C) 6 D) 5 E) 2
- Calcular un número cuyo cuadrado
disminuido en 119 es igual a 10 veces el
exceso del número con respecto a 3.
A)12 B) 11 C) 13 D )14 E)
- Resolver:
[
√
(
)
- (
)
- 2
]
√
√ 3
4
A) 1 B)2 C)4 D) 6 E)
10 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
- Resolver:
− 6
3
16
3
A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 7
- Hallar el resultado de :
( 3
2
− 1
)
4
. (
√ √
√
3
6
2
3
)
1 / 3
A)25 B) 27 C) 23 D)22 E)
- Resolver:
100
0 , 5
− 16
1 / 4
√
√ 16
81
0 , 5
√
√
√ 3
27
3
3
3
−
2
− 4
2
− 6
- 2
A)3 B) 0 C) 4 D)1 E) 2
- Escribir la notación científica de los
siguientes números
a. 259:
b.2,59:
c. 40,7:
d. 407 000:
e. 259 000:
f. 0,000 040 7
12 PRECATÓLICA 2023-I
MATEMÁTICO I
Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y
contiene a todos los números reales que están
comprendidos entre dos cualquiera de sus elementos.
Geométricamente los intervalos corresponden a
segmentos de recta, semirrectas o la misma recta real.
Los intervalos de números correspondientes a
segmentos de recta son intervalos finitos, los intervalos
correspondientes a semirrectas y a la recta real son
intervalos infinitos
Los intervalos finitos pueden ser cerrados, abiertos o
semiabiertos
- Representación de intervalos
¿Cómo se representará un intervalo que contiene
infinitos números? Pues con infinitos puntos, es decir,
dibujando el tramo de la recta real que representa ha
dicho intervalo. Vamos a verlo a continuación.
- Operaciones con intervalos
Los intervalos son conjuntos de números reales, por lo
tanto, se pueden realizar las operaciones definidas entre
conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia
simétrica y complemento. Para los conjuntos definidos
como intervalos, el conjunto universal o de referencia
U es el conjunto de los números reales R.
Cualquier subintervalo se denota por una letra
mayúscula. Si A está contenido en los números reales,
gráficamente, se puede representar de la siguiente
manera:
El intervalo A = [a,b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, es un
subconjunto de números reales y en la recta real se
representa de la siguiente forma:
2.1 Unión de intervalos
La unión entre los conjuntos A y B se define como
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}.
El conjunto A ∪ B está formado por todos los
elementos que pertenecen a A o pertenecen a B sin
repetirlos.
En la unión de dos conjuntos A y B se pueden presentar
tres situaciones: A y B no tienen elementos en común,
como se muestra en la siguiente figura.
A∪B, si A y B no tienen elementos en común
Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no tienen
elementos en común. Gráficamente se representan de
la siguiente manera:
Para los intervalos A y B, A∪B = (−3,0] ∪ [1,2) se
representa gráficamente como sigue:
A y B tienen elementos en común.
MATEMÁTICO I
A∪B, si A y B tienen elementos en común.
Ejemplo : Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen
al intervalo (−1,0] en común. Gráficamente se
representan de la siguiente manera:
La unión A∪B = (−3,0] ∪ (−1,2) = (−3,2), que se
representa gráficamente como sigue:
Uno de los dos conjuntos está totalmente
contenido en el otro. En la figura siguiente, el
conjunto B, es totalmente contenido en el A.
A∪B, si B está totalmente contenido en A
Ejemplo Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2, −1].
El intervalo B, está totalmente contenido en el
intervalo A. gráficamente se representan de la
siguiente manera:
La unión A∪B = (−3,0] ∪ [−2, −1] = (−3,0], que se
representa gráficamente como sigue:
2.2 Intersección de intervalos
La intersección entre los conjuntos A y B se define
como:
A∩B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}
El conjunto A∩B está formado por todos los elementos
comunes entre los dos conjuntos sin repetirlos. En
general, en la intersección de dos conjuntos A y B se
pueden considerar tres situaciones: A y B no tienen
elementos en común, como se muestra en la siguiente
figura.
Ejemplo : Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no
tienen elementos en común.
Gráficamente se representan de la siguiente manera:
A∩B, si A y B no tienen elementos en común.
La intersección A∩B = (−3,0] ∩ [1,2) = ∅ (conjunto
vacío), que no tiene una representación gráfica en la
recta real.
Al efectuar la unión entre conjuntos, los
elementos en común no se repiten.
MATEMÁTICO I
La diferencia A−B = (−3,0] − (−1,2) = (−3, −1], que se
representa gráficamente como sigue:
Observe que −1 ∈ A y −1 ∉ B, por lo tanto
−1 ∈ A−B. Uno de los dos conjuntos está totalmente
contenido en el otro.
En la figura siguiente, el conjunto B, está totalmente
contenido en el A.
B−A, si A y B tienen elementos en común.
Ejemplo Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2, −1]. El
intervalo B, está totalmente contenido en el intervalo
A. Gráficamente se representan de la siguiente manera:
La diferencia
A−B = (−3,0] − [−2, −1] = (−3, −2) ∪ (−1,0], que se
representa gráficamente como sigue:
Observe que los elementos que pertenecen a los dos
intervalos no están en la diferencia
Para los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2) se tiene que
A−B = (−3, −1] y B−A = (0,2).
Gráficamente estos dos últimos intervalos se
representan de la siguiente manera:
2.4 Complemento de un conjunto
El complemento de un conjunto A,
A ′ = 𝐴
𝑐
= {x/x ∉ A}, en palabras, se define como el
conjunto de todos los elementos que no están en A ó lo
que le falta a A para ser igual al universal.
El complemento de un intervalo A = [a, b], es
A ′ = (−∞, a) ∪ (b, ∞). Son todos los números reales
que no pertenecen a. Se representa en la recta real de la
siguiente manera:
Complemento del intervalo [a,b],
A ′ = (−∞,a)∪(b,∞)
Note que si a ∈ A, a ∉ A’, si b ∈ A, b ∉ A’. El
complemento de un intervalo B = (a,b), es
B’ = (−∞,a]∪[b,∞). Son todos los números reales que
no pertenecen a B. Se representa en la recta real de la
siguiente manera:
La diferencia entre intervalos no es
conmutativa, es decir A−B ≠B−A.
El complemento del conjunto A, son todos los
elementos que están por fuera de A.
MATEMÁTICO I
Complemento del intervalo (a,b) es
B ′ = (−∞,a]∪[b,∞).
Note que si a ∉ B, a ∈ B ′ , si b ∉ B, b ∈ B ′.
Ejemplo Encontrar y graficar los complementos de los
intervalos A = [3,5] y B = [−2,3). Para el conjunto A,
su complemento es
A ′ = (−∞,3)∪(5,∞). Gráficamente, se representa de la
siguiente manera: Para el intervalo B, su complemento
es
B ′ = (−∞,−2)∪[3,∞) y gráficamente se representa por:
MATEMÁTICO I
- A un bingo asistieron personas de
diferentes edades marcando un orden de
llegada al evento de esta manera: en primer
lugar de 12 a 20 años, en el segundo lugar
de 17 a 24 años y en tercer lugar de 15 a 29
años ¿En qué intervalo de edades se
encontraban todas las personas que
asistieron?
A)
[𝟏𝟐; 𝟐𝟗]
B)
[𝟏𝟓; 𝟏𝟖⟩
C)
〈𝟏𝟒; 𝟐𝟗〉
D)
⟨𝟏𝟑; 𝟏𝟔]
E)
[𝟏𝟐;𝟐𝟒⟩
6. Dado los conjuntos:
Graficar y dar respuesta en intervalos:
- Con los datos del ejercicio anterior ,
graficar y dar respuesta a la siguiente
operación
𝑀 ∩ 𝑁 ∩ 𝑃
A)
B)
A)
〈−𝟐; 𝟓〉
B)
⟨−𝟏; 𝟔]
C)
[−𝟐; 𝟖]
D)
[−𝟑; 𝟗]
C) E)
D) 〈𝟓; 𝟔〉
A) ⟨−𝟐; −𝟏]
- Marita por la pandemia tiene las sesiones
sincrónicas de Matemática de 8:00 a 11:00, Lucho
de 9:00 a 12:00 y Toño de 9:00 a 13:00 ¿En qué
intervalo de tiempo se encontrarán los tres en la
clase de Matemática?
A)
B) 〈 9 : 00 ; 12 : 00 〉
C) [ 10 : 00 ; 11 : 00 ]
D) [ 8 : 00 ; 10 : 00 ]
E) 〈 9 : 00 ; 11 : 00 〉
MATEMÁTICO I
- Dado los conjuntos:
M = {x/x ∈ ℝ ∧ 5 < x < 9 }
E = {x/x ∈ ℝ ∧ − 1 < x ≤ 6 }
G = {x/x ∈ ℝ ∧ − 4 ≤ x ≤ 8 }
Graficar y dar respuesta a la siguiente operación.
- Considerando el ejercicio anterior resolver:
- ¿Entre qué edades coinciden tres grupos de
personas que se presentan a una convocatoria de
audición para un musical : cantantes, músicos y
sonidistas?, sus edades respectivamente
son:
[
]
[
]
]
? (edades
expresadas en intervalos)
A)
〈 14 ; 35 〉
B)
⟨ 12 ; 34 ]
C)
[ 17 ; 23 ]
D)
[ 15 ; 34 ]
E) E)
F) 〈 15 ; 36 〉
- Los alumnos de un colegio deben trazar una
recta numérica de números reales en su
cuaderno. Un alumno dibuja del punto - 3 al
punto 9, su amigo del punto 0 al punto 9 y otro
del punto - 7 al punto 6 ¿Cuál es el trazo que
realizaron los tres a la ves?
A)
〈− 1 ; 5 〉
B)
⟨− 2 ; 4 ]
C)
[ 0 ; 6 ]
D)
[− 3 ; 0 ]
G) E)
H) 〈− 7 ; 9 〉