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OPERADOR MATEMÁTICO: Ejemplo:
Es un símbolo matemático que por sí sólo no tiene Si: x • y³ = x - y ,^2 significación; pero que en la matemática tiene una enorme importancia. (^) Hallar: (4 • 27) • (6 2 • 512)
Solución: ...... Operadores Operadores matemáticos matemáticos clásicos arbitrarios
Ejemplo: +, -,. , : , ,! , log, *, #, D, , a, q, %, Å, Se define en Z: sen, cos, tg, ctg, sec, o, !, , , ,
csc, ò , å , | |, [ ], p 2a + 7 ; si “a” es par a = a + 3 ; si “a” es impar
OPERACIÓN MATEMÁTICA
q q q q Calcular: (9 ) - (6 ) Es una estructura matemática que relaciona operadores matemáticos con cantidades mediante una “Ley de formación”. (^) Solución: ......
Operaciones Usuales:
Ejemplo:
Si:
Operaciones NO Usuales Hallar:
Solución: ......
CAPITULO VI OPERADORES MATEMÁTICOS
Su respuesta se deduce por su ley que se supone conocida ya que son operaciones universales.
Log 4 64 = 3
3
4 * 3 =?
9 q 2 =?
5 =?
f (-2) =?
Su respuesta depende de la ley de formación que se dé en cada caso
x =
x
" x Î Z - {0 ; 2}
y
x ——— x + 2
x ——— x - 2
21 operadores
OPERACIONES EN TABLAS DE Ejemplo: DOBLE ENTRADA Se define en el conjunto: A = {a, b, c, d}
- a b c d
- a b c d (^) a d a b c a a b c d (^) b a b c d b b c d a (^) c b c d a c c d a b (^) d c d a b d d a b c Þ .............................
b * c = ................................ d * b = ................................ (^) 2. Conmutativa:
" a, b Î A Þ a * b = b * a
Ejemplo: En el conjunto: El orden de los elementos en la operación no altera A = {1, 2, 3, 4} se define: el resultado.
Ejemplo: (^1 2 3 4) En N se define la adición: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 5 + 8 = 8 + 5^ Þ^ la adición es conmutativa en N. 3 4 1 2 3 Ejemplo: (^4 1 2 3 4) En N se define la sustracción:
6 - 9 ¹ 9 - 6 Þ la sustracción no es conmutativa en N.
Calcular: (^) En tablas:
Solución: ...... a a b c d
b b c d a c c d a b
PROPIEDADES: Se define en el conjunto A, una d^ d^ a^ b^ c operación representada mediante el operador (*).
1. Clausura:^ Criterio de la diagonal: 1. Se ordena la fila y la columna de entrada. En el mismo orden y a partir del vértice del operador.
" a, b Î A Þ a * b Î A 2. Se traza la diagonal principal (desde el vértice
del operador). Se toma un par de elementos del conjunto A y se (^) 3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en realiza con ellos la operación definida, si el resultado (^) forma simétrica queden elementos iguales. de dicha operación pertenece al conjunto A, (^) 4. Si en todos los casos los elementos son iguales, entonces se dice que la operación cumple la (^) la operación es conmutativa. propiedad de clausura o también que la operación (^) 5. Si en al menos un caso uno de los elementos es es cerrada en el conjunto A. (^) diferente, la operación no es conmutativa.
Fila de entrada
Columna de entrada
E =
Se sabe: Ejemplo:
-1 (^) Hallar: a * a = e (^) -1 -1 -1 - -1 (^) E = [(3 * 5 ) * (1 * 7)] * 7 4 * 4 = 2
4 + 4 - 2 = 2 (^) Solución:
Þ 4 = 0
Por definición de la tabla: También:
-1 -1^ - Þ 6 = .................... 1 * 1^ = ....... = 1 * 5^ Þ^^1 = 5
-1 - 3 * 3 = ....... = 3 * 3 Þ 3 = 3 En tablas :
-1 - 5 * 5 = ....... = 5 * 1 Þ 5 = 1
- 1 3 5 7 1 3 5 7 1 -1 - (^3 5 7 1 3) 7 * 7 = ....... = 7 * 7 Þ 7 = 7 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 Luego, reemplazando:
E = .........................................
- Se verifica que la operación sea conmutativa.
.........................................
- Se busca el elemento neutro “e”.
- Aplicamos teoría de elemento inverso.^ ^ E = ................
01. Si: 06. Se define:
a * b = 3ª + b - 8
2a + b; si a ³ b Calcule: E = 2 * 6 a # b = a + b; si a < b a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 7 Hallar: (2 # 1) # (2 # 3)
02. Se define: a) 10^ b) 12^ c) 13 d) 15 e) 16 3 a * 2 b = a - b 07. Se define: f (x) = (x 2)² (27 * 6) Hallar: f (3) + f (4) + f (5) Hallar el valor de: (12 2) a) 15 b) 13 c) 12 a) 1 b) 2 c) 3 d) 11^ e) 14 d) 0 e) 4 **08. Si: f (x + 2) = x² + 3 x
- Si:** Calcular: f (7)
a) 40 b) 30 c) 35 d) 45 e) 36 Hallar “x”.
09. Dada la función definida por:
3x - 1; si x > 3
2 a) 1 b) 2 c) 4^ F(x) =^ x - 2; si -2^ £^ x^ £^3 d) 5 e) 6 2x + 3; si x < - 2
04. Si: a q b = a² - 3b Calcule: Hallar: (2 q 1) + (4 q 2) J = F(2) + F(-1) + F(-3) + F(4) a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 a) 9^ b) 13^ c) 7 d) 11 e) 8 05. Si: b a 10. Se define: a + b ; (a + b); par a * b = (^) x* = x² - (n + 2)x + 6n + 1 ab ; (a + b) : impar Calcular “n” si: Calcular: (2 * 1) * (1 * 3) (^) (n - 2)* = 7
a) 30 b) 28 c) 32 (^) a) 2 b) 1 c) 0 d) 36 e) 29 (^) d) -1 e) -
PRACTICANDO 01
a b
c d
= ab - bc
3x -
8 2
3 x
donde: M = M y N = N
**26. Hallar el valor de:
- Si: x ¡ y = xy - yx ó x? y = xy** D D D D D D E = 8. 3 - 5. 7 + 4. 9 Hallar: [(3 ¡ 2)? 4] Sabiendo que: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 (^) D x = 4x + 2 ...(Si “x” esperar) 22. Si: y^ D y = 3y - 1
a) 40 b) 60 c) 70 Hallar: d) 80 e) 90
27. Si: A * B = 6A + 2B a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Hallar el valor de : 23. Si a = a2 + a y a = a2 + a + 1 [5 * 12] * [14 * 6] * [3 * 2]
a) 3410 b) 3140 c) 3220 Hallar: d) 3230 e) 3240
28. Si a D b = ab + ab Si además: Hallar:
1/ a) 2 b) 1 c) 0 E = [1D 4 + 4D 9 + 9D 16 + 16D 25 + 1] d) 3 e) 4 a) 3 b) 4 c) 5
24. Si: a = a² + a + 1 .............. 0 < a < 6 d) 6 e) 8
b = b² + b 1 .............. 1 < b < 5 29. Si: a * b = 8 y a # b = 9
b a Hallar: a * b Hallar: 16 27 a) 3 b) 72 c) 2 a) 42 b) 31 c) 28 (^24 ) d) 33 e) 40 d) 3 e) 2
**30. Sean a, b, c números positivos. Si
- Hallar: definimos:**
a * b = a + b , si a y b son pares.
a * b = a. b. , si a ó b no es par.
Entonces: (1 * 3) * 6 es igual a:
a) 3 b) 3 2 c) 2 3 a) 24 b) 18 c) 15 d) 10 e) 8 d) 4 2 e) 2 2
A =
15 A
A,B =
5A² - 2B²
a (^) - a
a =
a
A + B
M
N M > 2, si^
0 < N < 4
0 < M < 8
- Si: 4. Si: a ¨j b = a² - b²,
F(x) = F(a + b) - F(a - b) Hallar el valor de:
Además: F(x) = 4x + 3 (4 j ¨ 3) - (3 ¨ 4).
Calcule: E = F(x) a) 15 b) 14 c) 7 d) -7 e) 0 a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
- Si:
- Se define: Hallar: E = (22 L 28) - (15 L 17) x = (x + 1)^2 a) 5 b) 4 c) 3 Hallar “n” en: d) 2^ e) 1
n = 100
- Sabemos que: a = 3 a a) 3 b) 2 c) 3 - 1 Hallar entonces: d) 2 e) 2 - 1
- El resultado de la operación:
[ (3 * 2) * (4 * 3) ] * (2 * 4) = 3
a) 45 b) 43 c) 30/ Corresponde a la tabla: d) 41/3 e) 56
I. II. -
- Si: n L m = (m + n)/2 - 1/(2 m )
- 2 3 4 * 2 3 4 Hallar el valor de: 2 2 3 4 2 2 3 2
3 3 2 3 3 3 3 4 a) 0 b) 1 c) 2 (^4 4 4 2 4 4 4 3) d) 4 e) 8
- Sea (+) la operación definida en: III. (^) A = {a, b, c} mediante la tabla:
Hallar: (^3 4 3 3) E = 4 a + 3 b + 2 c
a) 2 a b) 2 b c) 2 c a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III (^) d) c e) b y d d) I y II e) I y III
PRACTICANDO 02
a b
3 1
a L b =
a + b ——— 2
(^5) ¸ 1/
E = 2L 4L 8L 16L 32L [...]
A
B
C
a a b c
b b c a
c c a b
- Si a f b = a + b + 3ab,^ 22. Si: a Ì b = ab + b - a , hallar “x” en: (5Ìx) = [(7Ì4) Ì10], Hallar “x” en: a f x = 1 1/ luego determinar: (x Ì x) a) 1/3(a + 1) b) (a + 1) / (3a + 1) (^) a) 50 b) 30 c) 40 c) (1 - a) / (3a + 1) (^) d) 25 e) 65 d) -(a + 1) / (3a + 1)
e) a² + 3ª - 1 23.^ SI: mÑ^ n = (2m + 3n 1) ,
hallar “x” en: (x + 1)Ñ (2x + 2) = 7
- Si : a) 1 b) 3 c) 1/ d) ¼ e) 0 m % n = m² - n², Hallar “r - s” en: -3 (^) 24. Definamos la operación: (r % s) - (r # s) = (1/2) a = 2a ; si a es impar a) 8 b) 16 c) 64 (^) a = a ; si a es par o cero d) 32 e) 4 hallar: 3 + 7 - 6
- Se define como (^) a) 25 b) -5 c) 16
d) 18 e) 20 Hallar “m” en:
m = m (^) 25. Si: x x (^2) 4 ; x = x(x + 4)
a) 4 y 2 b) 4 y -2 c) 4 (^) Calcular el valor de: d) -2 e) 4 y 12 R = ( 3 + 3 - 2 )
- Si: (^) a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
y x
- Si: x f y = x + y ; a # b = ab + ab
simplificar la expresión: Hallar:
a) 4 b) 3 c) 5 a) 105 b) 120 c) 125 d) 6^ e) 1 d) 81 e) 60
- Si: p q r =
- Si: B = (B + 1)² , hallar “D” en: (^2) Además: x % y = y - x y * x = 2xy - y D = 100 Hallar: E = (2 - 2 - 3) a) 3 b) 9 c) 3 - 1 a) -3 b) 9 c) 0 d) 2 e) 2 - 1 d) 1/9^ e) 1
(a + b)² a # b = ———— 2
P =
P + 8
P - 1
H =
R + H + 15
R
x = 14 3
X²
M =
2 f 3
(q%r)*p ———— (r * q)%p
a c d a b
a b c d
b d a b c c a b c d d b c d a
e
28. Se define e como:^ 32.^ Si^ S^ ®^ E = (S + E) (S^ «^ e) ;
(a + b « b) = 2 ab
Hallar: 3 ® 2
a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 25 -1 -
Hallar “x” en: a e b = x e c 33. Sean A // B = A + B N ; si 1 < N < 5 ;
A // B = A + B + N; si 5 < N < 10 a) a b) b c) c d) d e) otro valor (^) Donde “N” es la suma de cifras de los operadores A y B.
- De acuerdo a la siguiente tabla, hallar: (^) Hallar: (12 // 15) // (3 // 1)
R = [(a a b) a (b a c)] a c (^) a) 9 b) 4 c) 45 d) 36 e) 0
n
- Si: n = x¹ + x² + x³ + ........ + x
Hallar el valor de: E = 4 ¸ 2
4 2 2 a) e b) d c) c a) 1 + x^ b) 1 + x^ c) x + 2 d) b e) a 2 4 6 2 d) x + x e) x + x
- Dado la siguiente tabla:
- Si: (^) Hallar el valor de:
Calcular: f (^) (101) ; si f (^) (5) = 2 § 1 2 3
a) 101/2 b) 50 c) 5/2^1 3 1 d) 80 e) 36 (^2 1 2 ) 3 2 3 1
- Si a # b = a + b ; p f q = p - q , (^) M = (323 § 212) § (111 § 231)
hallar “x + y” si se sabe que: (^) a) 122 b) 211 c) 311 d) 321 e) 332
- Si se sabe que:
32 # 10 = 26 50 # 33 = 58 18 # 17 = 26 Hallar “x” en 50 # x = x # 30
a) No se puede b) 5 c) 6 (^) a) 5 b) 7 c) 10 d) 4 e) 0 (^) d) 13 e) 15
e a a
a b b c d e a
c c d e d e a e a b a b c b c d
d e
b b c c d d e e
2f (^) (n+1)- 1 f (^) (n) = 2
- La operación n* es definida como (^) 17. Si: a ^ b = 2a + b cuando a > b n* = n(n +1). (^) a ^ b = 3a b cuando a £ b Entonces el valor de (2) (3) (4*) es: Hallar: (3 ^ 4) (-2 ^ -3) a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 e) 1 440 (^) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
- Si la operación o es definida como:
- Considerando la operación : a Å b = a + b + 3ab Hallar el valor de x en: b Å x = 1 Entonces: 4 =?
a) 3/8 b) ½ c) 4 a) b) c) d) 3/7 e) ¾
d) e) -
Se define las operaciones: Entonces hallar: (2 * 3) * (3 * 2) a # b = (a + b) * (a - b) a) 84 b) 96 c) 143 a * b = (a + b). (a - b) d) 132 e) 121 Entonces hallar: E = (4 * 5) + (5 # 4)
Si: (x + 1) * 2y = x(y + 1)
a) 29 b) 19 c) 0 Hallar: 3 * 6 d) 60 e) 71 a) 21 b) 9 c) 8
- Hallar el valor de: d) 10 e) N.A. [(2 * 3) * (4 * 2)] [(2 * 1) * (2 * 2)]
- Se definen estas operaciones : Usando los valores de la tabla adjunta:
a D b = 2a - b p * q = 3p + q. *^2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 Entonces: es igual a: 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 a) 2 b) 10/13 c) 1 19/ d) ½ e) 1 1/21 (^) a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Otro valor
- Si:
- La operación n es definida como:
Hallar y en: (^) n = n(n + 1)
Entonces el valor de 2. 3. 4 es: a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 (^) a) 120 b) 240 c) 360 d) 720 e) 1 440
n =
n + 2 ——— n²
Definimos: a * b =
a² + b : si : a > b
a + b² : si : a £ b
8 D 5
a b
c d
= ad - bc
x
x y
y
b 1 + 3b
-b 1 + 3b
1 + b 1 + 3b
b 1 + 3b
1 - b 1 + 3b
- Definimos:
- Sea la operación:
Entonces, el valor de x en: x = x es: entonces, hallar : (2 * 3) * (3 * 2) a) 1 b) 2 c) 3 a) 13 b) 14 c) 15 d) 4 e) Otro valor entero d) 16 e) 17
- Se define, las operaciones:
- Definamos la operación: n = 2n - 5 n = 2 n a = 2a ; si a es impar Hallar x en: x = 6 - 3 a = a ; si a es par o cero a) 17 b) 7 c) 15 d) 12 e) 19 hallar: 3 + 7 - 6
a) 25 b) -5 c) 16 30. Si: d) 18 e) 20 Hallar “x” en:
- Si: a D b = 2a + 3b ; hallar : 3 D 4
a) 18 b) 17 c) 15 d) 21 e) 23 a) 3 b) 5 c) 2
- Sabiendo que para todo número impar n, se d) 6^ e) 4 define: n = 1 + 3 + 5 + ......... + n 31.^ Se definen las operaciones:
x = x^2 - 9 hallar el valor de: 35 - 25
a) 100 b) 600 c) 400 d) 425 e) 625 x^ = x(x + 6)
- Se define la operación: x = x² - 1 Según esto hallar el valor de: 2 + 3
¿Cuál es equivalente al producto de 3 y 4? a) 10^ b) 14^ c) 8 d) 1 e) 16 a) 12 b) 9 c) 11
d) 10 e) 7 32.^ Se define:
- Se define: Calcular el valor de:
Luego. Hallar:
a) 7 b) 8 c) 10 a) 1, 512 b) 2, 152 c) 5, 125 d) 11 e) 12 d) 5, 215^ e) 1, 125
a * b =
a² + b ; si : a > b a + b ; si : a < b
m O n =
2mn ——— m + n
x =
x =
3x + 2 ———— 2x
a * b * c = (a + b + c)
5 * 1 * x 7 * 9 * x
R =
(2Ä3) Ä(1Ä3)
(1Ä3)
(1Ä1)
——— Ä(1^ Ä^ 2)
a Ä = (a2 + b2)
- Se define en Z+. (^) 45. Se define: m D n = n - m
x = x (x + 1) Hallar “x” : Hallar “n” : n + 1 = 5 256
a) 6 b) 8 c) 9 (^) a) 1 + a + b b) a + b d) 10 e) 7 (^) c) a b d) a^2 b^2 e)
- Se define: f(x - 2) = 8x - 3 (^) 46. Si: m # n = m² - mn + n²
Hallar: f(4n + 1) Calcular: (2 # 1) # (2 # 3)
a) 32 + 24 n a) 30^ b) 32^ c) 39 b) 32 n + 21 d) 37^ e) 38 c) 30n + 1 d) 32 n + 8 47.^ Si:m * n = 3m - 7n e) 0 Hallar “x” : (3x - 2) * (x - 3) = 37
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
x - b ——— a
x - a ——— b
a
b
x
x
100 3 4 2 1
Se define en Z Se define en R
Se define en R
calcule el valor de m en la siguiente ecuación
Se define en R
calcule E = [(-5 * -3)] * 4 + (5 * 7) * - 6
a * b =
a² - b ; a < b a + b ; a = b b² - a ; a > b
= x + 1 ; x = x³
x calcule
80 operaores
Se define en R
Se define en R
Se define en R Calcule
A =
además
Calcule
x+ = (x - 83)
2 x + 3 + 1 2
Calcule
x = 2x - 5
Calcule
4 = a² x b b a
A) 70 B) 72 C) 60
D) 62 E) 65
A) 81 B) C)
D) E) 1
A) 9 B) 10 C) 19
D) 5 E) 17
A) -12 B) 10 C) 6
D) -4 E) -
A) 3 B) -1 C) -
D) 0 E) 7
A) -1 B) -2 C) -
D) -4 E) -
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 100
x
x
m - 7 (^) = 2 7
Se define la siguiente operación
Si se cumple que
Si
Se define la siguiente operación para tres
casos. Se define Calcule el valor de m en la siguiente ecuación.
Calcule:
S= + + … +
a b x c
a b c 2 1 3
Calcule:
a²
3
64
27
b = (a ) ( (^6 6) b)
1 2
Calcule:
Si a * b = a - b
Si x = x² - 2x + 3
Si se cumple que:
Si = 3x - 2
x+
n - 1
n 2
(10 D 11) halle E = (12D11)
23 D 12 = 15
33 D 21 = 18
27 D 22 = 36
10 D 83 = 11
Calcule el valor de n en
n + 1 - n - 1 = 4
y m q n = + 1
Halle el valor de x en (4 * 5) qx = 5/
Calcule M = 1 2 3
A
3 4 B C
C
A + B
A) 1 B) 3 C) 4
D) 5 E) 2
A) -1 B) -2 C) 1
D) 2 E) 3
A) 24 B) 4 C) 6
D) 2 E) 8
A) 1/70 B) 1/71 C) 70/
D) 69/71 E) 71/
A) 64 B) 36 C) 32
D) 25 E) 49
A) 3 B) -3 C) -
D) 6 E) 5
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
A) 64 B) 36 C) 81
D) 25 E) 49
m n
x =^ x + 1 ; x = x²
m - 7 = 2^7
Calcule ((3 O 2)O 5)O 2.^.^.
a² - 1 ; a < b
a² - b² ; a ³ b
a O b =.
Se define la operación O en R como.
Si
Si
Si se cumple
Si
Si
halle el valor de:
x² + 4 = x + 1
halle el valor de: 12 — 10
x² + 1 = x² + 1
f(x + 1) = f(x) + 2x + 1 y además f(1) = 1 Calcule f(16)
M(x² - 2) = x² + 1 , halle M(-1)
Calcule 13 (^) * 29
a (^) *b
a + 2
= 5a ; a b > 0*
= a² + 1
Si
Se define x = 2x + 1
Si
Si n fn = (-1) + 1
An = F 1 + F 2 + f 3 + ..... + fn
Calcule M = A 100 - A 99
halle el valor de
A =
x - 1 + x + x + 1 = 10
o = 2
Además x = 5
Entonces el valor de E =
-x 1 4
m©n =
m(m + 2n) + n(n - 4m) m(m - 2n) + n(n + 4m)
Calcule 5©
A) -1 B) 0 C) 1
D) -2 E) 2
A) -1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 4
A) 8 B) 8 C) 10
D) 13 E) 29
A) 2 B) 3 C) 1
D) 2 E) 0
A) 210 B) 256 C) 149
D) 190 E) 310
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
A) -1 B) 1 C) 2
D) -2 E) 0
A) 1/8 B) 1/16 C) 16
D) 8 E) 1/
A) -2 B) -1 C) 1
D) 2 E) 3
A) 45/8 B) 15/4 C) 17/
D) 9/16 E) 3
