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PROBLEMAS RESUELTOS DE OPTIMIZACIÓN
Ejercicio 1
Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R(x), en euros,
viene dada en función de la cantidad invertida, x en euros, por medio de la expresión:
R(x) - 0,001x 0,4x 3,
2 = + +
Deducir qué cantidad de dinero convendrá invertir en dicho plan.
¿Qué rentabilidad se obtuvo en el caso anterior?
Solución:
Obviamente, convendrá invertir la cantidad que mayor rentabilidad produzca:
R' (x)=-0,002x+ 0,
R' (x)= 0 ⇒-0,002x+0,4 = 0 ⇒x = =
R' '(x)= - 0,002< 0 , por tanto x = 200 € es un máximo de la función R(x)
La rentabilidad que se obtiene es R(200) - 0,001(200) 0,4 200 3,5 435
2 = + ⋅ + = , €
Ejercicio 2
Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un círculo de
radio ½
Solución:
Sean x e y las dimensiones del rectángulo.
El área es A = x⋅y
Además, x e y son los catetos de un triángulo
rectángulo de hipotenusa 1:
2 2 2 x + y = 1 ⇒y = 1 −x sustituyendo en A:
2 2 4 f ( x ) = x⋅ 1 −x = x −x
Por tanto, debemos maximizar esta función:
2
2
2
2
2 4
3
1 x
1 2 x
2 x 1 x
2 x 1 2 x
2 x x
2 x 4 x f x
−
0 1 2 x 0 x
1 x
1 2 x f x 0
2
2
2
= ⇒ − = ⇒ = ± = ±
−
De los dos valores obtenidos, descartamos el negativo por no tener sentido en este
problema.
Comprobemos si
2
x = es máximo:
3 2
3
2 2
3 3
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
1 x
2 x 3 x
1 x 1 x
4 x 4 x x 2 x
1 x 1 x
4 x 1 x x 1 2 x
1 x
1 x
4 x 1 2 x x 1 2 x
1 x
1 x
x 1 2 x 4 x 1 x
1 x
2 1 x
2 x 4 x 1 x 1 2 x
f x
2
2 0
2
1
2
32
2
2
4
2 1
2
2 3 8
22 2
2
2 1
2
2 3 2
2 2
2
2 f 3 3 3 2
3
< ⇒
−
=
−
−
=
−
−
=
' ' es máximo
En cuyo caso,
2
y 1 x 1
2 2 = − = − = =
Las dimensiones se corresponden con un CUADRADO de lado
2
Ejercicio 3
Los costes de fabricación, C(x) en euros, de cierta variedad de salchichas, dependen
de la cantidad elaborada (x en kilos) de acuerdo con la siguiente expresión:
C(x) = 10 + 2x
El fabricante estima que el precio de venta en euros de cada kilogramo de salchichas
viene dado por:
6 x P(x) 20 -
2
=
Obtener la función de ganancias
¿Qué cantidad de salchichas interesa producir para maximizar ganancias?
Calcular en este caso, el precio de venta y la ganancia que se obtiene.
Solución:
Sea x el número de kilogramos de salchichas a fabricar
El precio de venta de un kilogramo de salchichas es
800
6 x Px 20
2
() = −
En total obtendremos por la venta de x kilogramos:
800
6 x x Px 20 x
3
⋅ () = −
La función de ganancias es:
( ) 18 x 10
6 x 10 2 x 800
6 x Gx x Px Cx 20 x
3 3
− + = − + −
Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6.6 m, halla sus
dimensiones para que su superficie sea máxima.
Solución:
llamemos:
2x = Lado del triángulo equilátero = base del rectángulo
x = Mitad del lado del triángulo equilátero
y = Altura del rectángulo
h = altura del triángulo
El perímetro es: P = 6 x+ 2 y = 6 , 6
Altura del triángulo:
h ( 2 x) x 3 x 3 x
2 2 2 = − = = ⋅
El área total de la ventana es:
( 2 x) ( 3 x) ( 2 x y) 3 x 2 x y 2
A
2 + ⋅ = ⋅ + ⋅
Despejando “y” del perímetro: 2 y = 6 , 6 − 6 x ⇒ y = 3 , 3 − 3 x
f x 3 x 2 x ( 3 3 3 x) ( 3 6 ) x 66 x
2 2 ( ) = ⋅ + ⋅ , − = − ⋅ + , es la función de superficie a
optimizar.
f ' ( x ) = 2 ⋅ ( 3 − 6 ) ⋅x+ 6 , 6
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
f x 0 2 3 6 x 66 0 x
f ' ' ( x ) = 2 ⋅ ( 3 − 6 ) < 0 , por lo que
( )
es un máximo.
DIMENSIONES DEL RECTÁNGULO:
BASE =
( ) ( ) 1, 5
2 x 2 ≅
ALTURA =
( ) ( ) 0, 10
y 33 3 ≅
LADO DEL TRIÁNGULO: 2 x ≅ 1,
Ejercicio 6
Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de
los coches entre las 2 horas y las 6 horas de la tarde viene dada por:
v t t 15 t 72 t 8
3 2 ( ) = − + + para
t∈[ 2 , 6 ]
¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad? Justifica la respuesta.
¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad? Justifica la respuesta.
Solución:
Para determinar las horas en que los coches circulan a mayor y menor velocidad
debemos calcular los máximos y mínimos de la función v ( t )
v t t 15 t 72 t 8
3 2 () = − + +
v t 3 t 30 t 72
2 '() = − +
v t 0 3 t 30 t 72 0 t
2 '( )
v 4 6 4 30 6 0 máximo
v 6 6 6 30 6 0 mínimo
v t 6 t 30
A las 4 de la tarde los coches circulan a mayor velocidad, mientras que a las 6 circulan
a menor velocidad.
Ejercicio 7
Se dispone de un hilo metálico de longitud 140 metros. Se quiere dividir dicho hilo en
tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud doble de otro y tal que al construir
con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea
mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.
Solución:
Sean los tres trozos x, y, z
Un ellos ha de medir el doble de otro: y = 2 x
Además, los tres han de medir 140 m:
x +y+z = 140 ⇒z= 140 −x−y = 140 −x− 2 x = 140 − 3 x
La función a optimizar es la suma de áreas de los cuadrados que se forman con cada
trozo. Si cada trozo forma un cuadrado, el lado será la cuarta parte de la longitud del
trozo correspondiente:
2 2 2 2 2 2
140 3 x
2 x
x
z
y
x A (^)
^ +
^ =
^ +
^ +
2 y + 2 x = 8 ⇒ y = 4 − x
Por otro lado, por el teorema de Pitágoras:
h y x ( 4 x) x 16 8 x x x 16 8 x 2 4 2 x
2 2 2 2 2 2 = − = − − = − + − = − = ⋅ −
La superficie será: 2 x 2 4 2 x 2 x 4 2 x
2
f ( x ) = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ −
4 2 x
8 6 x
4 2 x
8 4 x 2 x
4 2 x
2 4 2 x 2 x
4 2 x
2 x 2 4 2 x 2 4 2 x
f x 2 4 2 x 2 x
0 8 6 x 0 x 4 2 x
8 6 x f x 0 = ⇒ − = ⇒ = = −
( 2 x) 4 2 x
8 3 x
2 2 x 4 2 x
2 8 3 x
4 2 x 4 2 x
16 6 x
4 2 x 4 2 x
6 4 2 x 8 6 x
4 2 x
4 2 x
8 6 x
4 2 x
6 4 2 x
4 2 x
4 2 x
8 6 x 6 4 2 x
4 2 x
2 4 2 x
6 4 2 x 8 6 x
f x
f <
x = es un máximo.
La base del triángulo es
3
2 x =
Uno de los lados iguales es:
3
y = 4 −x = 4 − =
Se trata de un triángulo equilátero.
La altura es 3
h = 2 ⋅ 4 − 2 x = 2 ⋅ 4 − = ⋅ = =
Ejercicio 10
Una compañía de autobuses interurbanos ha comprobado que el número de viajeros
(N) diarios depende del precio del billete (p) según la expresión:
N(p) = 300 - 6 p .
Dar la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa compañía en
función del precio del billete.
¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del billete es 15 euros?
¿Cuál es el precio del billete que hace máximo los ingresos diarios?
¿Cuáles son esos ingresos máximos?
Solución:
N ( p ) = 300 − 6 pes el número de viajeros según el precio del billete, p.
a) Por tanto la función que nos proporciona los ingresos en función del precio del
billete será el producto del número de viajeros por el precio que paga cada uno:
2 f ( p ) = N ( p ) ⋅p = 300 p− 6 p
b) f 15 300 15 6 ( 15 ) 3150
2 ( ) = ⋅ − = € ingreso diario para un billete de 15€
c) (^) f ' ( p ) = 300 − 12 p
f ' ( p ) = 0 ⇒ 300 − 12 p = 0 ⇒ p = = €
f ' ' ( p ) = − 12 < 0 , por tanto,^ p^ =^25 € es máximo
d) f 25 300 25 6 ( 25 ) 3750
2 ( ) = ⋅ − = € ingresos máximos.
Ejercicio 11
Tenemos que hacer dos chapas cuadradas de dos materiales distintos. Los dos
materiales tienen precios respectivamente de 2 y 3 euros por centímetro cuadrado.
¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea
mínimo y si además nos piden que la suma de los perímetros de los dos cuadrados ha
de ser de un metro?
Solución:
Sean “x” e “y” los lados (en cm.) de los
dos cuadrados respectivamente.
Si la suma de perímetros es 1 metro:
4 x + 4 y = 100 ⇒ y = 25 − x
La función de costes es:
C 2 x 3 y 2 x 3 ( 25 x) 2 x 1875 - 150x 3x 5 x -150x 1875
2 2 2 2 2 2 2 = + = + ⋅ − = + + = +
C x 5 x -150x 1875
2 () = +
C ' ( x ) = 10 x- 150 ; 15 10
C ' ( x ) = 0 ⇒ 10 x- 150 = 0 ⇒x = =
C ' ' ( x ) = 10 > 0 ; por tanto x = 15 es mínimo
Los cuadrados deben medir de lados, respectivamente:
x = 15 cm
y = 25 − 15 = 10 cm
Ejercicio 14
Un comercio abre sus puertas a las nueve de la mañana, sin ningún cliente, y las cierra
cuando se han marchado todos. La función que representa el número de clientes,
dependiendo del número de horas que lleva abierto, es:
C h h 8 h
2 () = − +
El gasto por cliente decrece a medida que van pasando horas desde la apertura y
sigue la función:
g ( h ) = 300 − 25 h
a) ¿En que hora se produce la mayor afluencia de clientes?
b) ¿Cuánto gasta el último cliente?
c) ¿Cuando hay mayor recaudación, en la cuarta o en la quinta hora?
Solución:
a) C h h 8 h
2 () = − +
C ' ( h ) = − 2 h+ 8
C ' ( h ) = 0 ⇒ − 2 h+ 8 = 0 ⇒ h = =
C '' ( h ) = − 2 < 0 , por tanto, h = 4 es máximo:
La mayor afluencia de clientes se produce 4 horas después de abrir, es decir, a las 13h.
b) Cuando el último cliente sale, no queda ninguno:
h 8
h 0
C h h 8 h 0 h h 8 0
2 ( )
Cuando h = 0 , es decir, a las 9 de la mañana, el comercio acaba de abrir
Cuando h = 8 , es decir, a las 5 de la tarde, el comercio acaba de cerrar
A esa hora: g ( 8 ) = 300 − 25 ⋅ 8 = 100 € gasta el último cliente
c) La recaudación en un determinado momento es el producto del número de
clientes por lo que gasta cada uno:
R ( h ) =C ( h ) ⋅g ( h )
R 4 C 4 g 4 ( 4 8 4 ) ( 300 25 4 ) 16 200 3200
2 ( ) = () ⋅ () = − + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ = €
R 5 C 5 g 5 ( 5 8 5 ) ( 300 25 5 ) 15 175 2625
2 ( ) = () ⋅ () = − + ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅⋅ = €
Se recauda más a las 4 horas de abrir.
Ejercicio 15
Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente,
en forma de prisma recto de base cuadrada, de 50 m 3 de
volumen, que tenga superficie mínima.
Solución:
2
2
x
V = x ⋅y = 50 ⇒y =
La superficie será la suma de cuatro caras laterales iguales y la base cuadrada:
2 S = 4 ⋅x⋅y+ x
2 2 2
x x
x
x
f ( x ) = 4 x⋅ + = +
2 x
x
f x 2
3 3 2 2
x 100 x 100
x
2 x 0 2 x
x
f ' ( x ) = 0 ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
x
f x 3
( )
( )
f 100 3 3
3 '' = + = + = > ;
3 x = 100 es un mínimo
Las dimensiones del depósito serán:
3 x = 100 cm
( )
y
3 3
2 3
= = cm
Ejercicio 16
La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto
es: 8 x 20
100
x Cx
3
() = + +
Se define la función de coste medio por unidad como
x
C x Q x
¿Cuántas unidades x 0 son necesarias producir para que sea mínimo el coste medio por
unidad?
¿Qué relación existe entre ( ) 0 Q x y ( ) 0 C ' x?
Solución:
a)
x
x
x
8 x 20 100
x
x
Cx Qx
2
3
2 x
x Q ' ( x ) = −
x 1000 x 10
x
x 0
x
x Q x 0
3 2 2
3 x
Q '' ( x ) = +
25 z t
t 25 z
Tiempo h LongitudKm 2
2 2 2
El tiempo total empleado será:
3
25 z
12 z Tz
2
2 2 3 25 z
z
2 25 z
2 z
T z
⋅ +
225 16 z 0 z
5 z 3 25 z 25 z 9 25 z 225 9 z 25 z 0
3 25 z
z
3 25 z
z
T z 0
2
2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
25 z 25 z
25 z 25 z
25 z z
25 z
25 z
z z
25 z
25 z
25 z
25 z
z 25 z z
T z
Obviamente:
T >
z = es un mínimo:
El hombre deberá abandonar la costa a 8,
4
x = 12 −z= 12 − = = Km de
la ciudad A.
Ejercicio 18
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados
por la función: I x 28 x 36000 x
2 ( ) = + , mientras que sus gastos (también en euros)
pueden calcularse mediante la función G x 44 x 12000 x 700000
2 ( ) = + + , donde x
representa la cantidad de unidades vendidas.
Determinar:
La función que define el beneficio anual en euros.
La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo.
Justificar que es máximo.
El beneficio máximo.
Solución:
a) el beneficio es:
16 x 24000 x 700000
Bx Ix Gx 28 x 36000 x 44 x 12000 x 700000
2
2 2
b) B ' ( x ) = − 32 x+ 24000
B ' ( x ) = 0 ⇒ − 32 x+ 24000 = 0 ⇒ x = =
B ' ' ( x ) = − 32 < 0 ⇒ x = 750 es máximo
Deberán venderse 750 unidades
c) El beneficio máximo es:
B 750 16 ( 750 ) 24000 750 700000 8300000
2 ( ) = − + ⋅ − = €
Ejercicio 19
La suma de tres números positivos es 60. El primero más el doble del segundo más el
triple del tercero suman 120. Hallar los números que verifican estas condiciones y cuyo
producto es máximo.
Solución:
Sean “x”, “y”, “z” dichos números:
x 2y 3z 120
x y z 60
e e y 2 z 60 y 60 2 z 2 1
2 e e x z 0 x z 1 2
EL producto es P = x⋅y⋅z = z⋅ ( 60 − 2 z ) ⋅z
La función a maximizar es
2 3 f ( z ) = z⋅ ( 60 − 2 z ) ⋅z= 60 z − 2 z
2 f ' ( z ) = 120 z− 6 z
z 20
z 0 f z 0 120 z 6 z 0 6 z 20 z 0
2 '( )
f ' '( z ) = 120 − 12 z
f '' ( 0 ) = 120 − 12 ⋅ 0 = 120 > 0 ; z = 0 es un mínimo
f ' ' ( 0 ) = 120 − 12 ⋅ 20 = − 120 < 0 ; z = 20 es un máximo
y = 60 − 2 ⋅ 20 = 60 − 40 = 20
x =z = 20
Por tanto, los tres números son iguales a 20.
Ejercicio 20
En los estudios epidemiológicos realizados en determinada población se ha
descubierto que el número de personas afectadas por cierta enfermedad viene dado
por la función:
f x 3 x 72 x 243
2 () = − + +
La función a maximizar es
2 x 1 x 2
f x ⋅ −
2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 1 x
1 2 x
1 x
1 x x
1 x
x
1 x 2
2 1 x
2 x x 2
1 x 2
f x
1 2 x 0 x
2 1 x
1 2 x f x 0
2
2
2
2 2
3
2 2
3 3
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
1 x 1 x
2 x 3 x
1 x 1 x
4 x 4 x x 2 x
1 x 1 x
4 x 1 x x 1 2 x
1 x
1 x
x 1 2 x
1 x
4 x 1 x
1 x
21 x
2 x 4 x 1 x 1 2 x
f x
f 2 2
3
x = es un máximo
Los catetos del triángulo son:
x = 2
y 1 x 1
2
2 = − = =
que es un triángulo rectángulo isósceles.
