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Informe 2-Oscilador Amortiguado
Hecho por: Julián Esteban Becerra Bernal Presentado a: Cesar Otálora
I. INTRODUCCIÓN
En esta experiencia se estudió un oscilador amortiguado (péndulo simple) ya que se consideró la acción de las fuerzas disipativas (como la fricción con el aire). A partir del sistema que se mencionó se tomaron valores de las amplitudes con sus respectivos tiempos. Datos que se consignaron en tablas y se hicieron diversas graficas que demostraron de forma ilustrativa y algebraica que para este tipo de sistemas la amplitud y la energía decrecen de forma exponencial con respecto al tiempo. De igual forma, se encontró que el tiempo de vida media y el factor de calidad del oscilador no son valores muy grandes, pero que, sin embargo, nos pueden resultar útiles a la hora de replicar el experimento. Además, se concluyó que entre mayor sea el valor del coeficiente de amortiguamiento, más rápido decrecerán los valores de la amplitud y energía del sistema.
II. MÉTODOS
Desarrollo teórico
Los sistemas que se han considerado hasta ahora son idealizaciones en las cuales se considera que no existe fricción, únicamente intervienen fuerzas conservativas de tal manera que no hay disminución de la energía mecánica y que una vez que el sistema se pone en movimiento, éste continúa oscilando para siempre sin disminución de su amplitud. En la práctica los sistemas siempre tienen alguna forma de fricción y las oscilaciones van disminuyendo a menos que se provea de alguna forma de reemplazar la energía mecánica perdida por la fricción (el péndulo de un reloj). La disminución en la amplitud originada por las fuerzas disipativas es llamada el amortiguamiento, y el movimiento corresponde a oscilaciones amortiguadas. Entre las diferentes posibilidades, el caso más simple de analizar es el de una fuerza de amortiguamiento que es proporcional a la velocidad del cuerpo que oscila. Este tipo de comportamiento se presenta en el movimiento de líquidos viscosos, como en el caso de los amortiguadores de automóviles o el deslizamiento entre superficies lubricadas con aceite. En este tipo de casos tenemos una fuerza adicional sobre el cuerpo, debido a la fricción, de la forma:
F = - bv
donde v = dx/dt es la velocidad y b es una constante que describe la intensidad de la fuerza de amortiguamiento. El signo negativo nos indica que la fuerza siempre se opone a la dirección de la velocidad. Así, en el caso de un péndulo donde consideremos la fricción con el aire, tendremos la siguiente ecuación:
Sea, la componente 𝛳 de la fuerza: F𝛳 = - m.g.sen 𝛳 – bv
Por la segunda ley de Newton: ma = - m.g.sen 𝛳 – bv
Como la longitud del arco medido desde la parte inferior de la circunferencia es s y s = 𝛳.L m. Ӫ .L = - m.g.sen 𝛳 – bv , y, sea v= (d 𝛳/dt).L
Ӫ = - (g/L).sen 𝛳 - (b/m)(d 𝛳/dt) … (1)
Suponiendo una solución de la forma:
Figura 1. 𝛳 = e𝜆t …(2)
Entonces, (d 𝛳 /dt) = 𝜆. e𝜆t^ ; Ӫ = 𝜆^2. e𝜆t^ …(3)
Considerando oscilaciones para ángulos pequeños, aproximamos sen 𝛳≈ ϴ Entonces (1) queda como:
Ӫ = - (g/L). 𝛳 - (b/m)(d 𝛳/dt) …(4)
Reemplazando (2) y (3) en (4):
𝜆^2. e𝜆t^ = - (g/L) e𝜆t^ – (b/m) 𝜆. e𝜆t
Como sabemos del movimiento armónico simple de un péndulo que 𝜔^2 = g/L
Así, llegamos a:
𝜆2 +^
𝑏
𝑚 λ^ +^ 𝜔
Utilizando la fórmula cuadrática:
− 𝑚𝑏 ± √( 𝑚𝑏)^2 − 4 𝜔^2
)^2 − 𝜔^2
Así, la solución será:
𝛳(t) = A´𝑒−^
𝑏
2 𝑚𝑡𝑒√(^
𝑏
2 𝑚)^2 −^ 𝜔^2 𝑡^ + B𝑒−^2 𝑏𝑚𝑡𝑒−√(^
𝑏 2 𝑚)
2 − 𝜔^2 𝑡
Como nos interesa el caso en que nuestro sistema oscile, supondremos 𝜔> 2 𝑏𝑚 , 𝑎𝑠í:
𝒊 √𝜔^2 − ( 2 𝑏𝑚)
2
Así, la solución será:
𝛳(t) = Ao 𝑒−^
𝑏 2 𝑚𝑡^ cos(𝑤´𝑡 + 𝛿) …(6)
Detalles experimentales
Para este experimento se hizo uso de materiales tales como:
- Péndulo.
- Cinta adhesiva.
- Papel blanco.
- Escuadra de madera y metro.
- Cronómetro.
Procedimiento:
- Se preparó un péndulo con aproximadamente 1,2 m de longitud con una masa de 0,5kg. Se ató el hilo a la masa y se amarró al sistema para hacer el experimento. Debajo el péndulo y centrado con respecto a su punto de equilibrio se tomó el sistema de referencia. Además, se colocó una
De la figura 2, se puede concluir que en un oscilador amortiguado, a pesar de que oscila, a medida que transcurre el tiempo su amplitud va decreciendo de forma exponencial (se demostrará con un gráfico de A+^ vs t, donde A+^ representa los valores positivos de las amplitud), como era de esperarse, y, de forma consecuente, el período también irá decreciendo. Por otra parte, analizando el gráfico podemos percatarnos de que para un tiempo mayor al del estudio, el período y la amplitud formarán, aproximadamente, una constante. Esto se deberá a que el sistema estará próximo a alcanzar nuevamente su posición de equilibrio, y una vez alcanzada, dicha constante será 0.
Ahora bien, para demostrar gráficamente que el valor de la amplitud decrece de forma exponencial graficaremos A+^ vs t:
De la figura 3 podemos ver la demostración gráfica de que la amplitud tiende a decrecer de forma exponencial. Por otra parte, en la ecuación que nos arroja el programa “Excel” podemos apreciar la relación entre la amplitud y el tiempo, pero no es de extrañarse, ya que en (6) tenemos la misma ecuación. Retomando ambas ecuaciones:
𝛳(t) = Ao 𝑒−^
𝑏 2𝑚𝑡^ cos(𝑤´𝑡 + 𝛿) …(6)
A(t)= 0,2538e-0,196t^ …(7)
Podemos ver de forma explícita la equivalencia entre ambas ecuaciones, donde,
A(t)= Ao 𝑒−^
𝑏
2 𝑚𝑡^ = 0,2538e-0,196t^ …(8)
Y, en efecto Ao = 0,2538. Por tanto:
𝑒−^
𝑏
2 𝑚𝑡^ = e-0,196t^ …(9)
De esta forma nos percatamos de que entre mayor sea la constante de amortiguamiento, más rápido decrecerá la amplitud y el período del sistema.
Por otra parte, podemos deducir de (9) que:
− 2 𝑏𝑚 𝑡 = − 0 , 196 𝑡 , entonces, 𝑏 = 0 , 196 ( 2 𝑚)
A+^ = 0,2538e-0,196t
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 1 2 3 4 5
t (s)
A+^ vs t
Figura 3.
Como m = 0,5kg, la constante de amortiguamiento será:
b = 0,
Finalmente, hablaremos de la energía del sistema. Por tanto, sabemos que la energía de
un movimiento armónico simple (MAS) para un péndulo, viene dado por:
E(t) =
1
2. 𝑚.^
𝑔
Como conocemos A(t), gracias a (8), entonces,
E(t) =
1
2 .𝑚.^
𝑔
2. 𝑒−^ 𝑚𝑏𝑡^ = Eo. 𝑒−^ 𝑚𝑏𝑡^ …(10)
De esta forma, vemos que Eo= = 12 .𝑚. 𝑔𝐿. 𝐴𝑜^2 = 12. (0,5). (9,8)(1,2).(0,25)^2 = 0,13 J
Considerando una tabla de datos con las energías respectivas:
E (J) t (s)
Nota: Para estos valores se tomó en cuenta solo los A+^ con sus respectivos valores de “t”.
E (t)= 0,1297e-0,395t
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 1 2 3 4 5
E (J)
t (s)
E vs t
Tabla 2.
Figura 4.
mitad de su energía inicial, de lo cual se infiere que el sistema estará próximo a retomar su estado de equilibrio debido a la acción de las fuerzas disipativas presentes en el experimento.
-Notamos que, sería adecuado replicar varias veces el experimento para reducir el error total del sistema.
