¡Descarga Análisis de la Transferencia de Calor y Masa en Fluidos por Convección Natural y más Guías, Proyectos, Investigaciones en PDF de Transmisión de Calor solo en Docsity!
503
CONVECCIÓN NATURAL
E
n los capítulos 7 y 8 consideramos la transferencia de calor por convec-
ción forzada , en la que se impulsó un fluido sobre una superficie o den-
tro de un tubo por medios externos, como una bomba o un ventilador. En
este capítulo consideramos la convección natural , en la que cualquier movi-
miento del fluido ocurre por medios naturales, como la flotación. En la con-
vección forzada el movimiento del fluido se puede notar bastante, puesto que
un ventilador o una bomba pueden transferir suficiente cantidad de movimien-
to al fluido para desplazarlo en cierta dirección. Sin embargo, en la convec-
ción natural a menudo no se puede notar el movimiento del fluido debido a las
bajas velocidades que intervienen.
El coeficiente de transferencia de calor por convección depende bastante de
la velocidad : entre más alta sea ésta más alto es el coeficiente. Las velocida-
des del fluido asociadas con la convección natural son bajas, por lo común
menores a 1 m/s. Por lo tanto, los coeficientes de transferencia de calor que se
encuentran en la convección natural suelen ser mucho más bajos que los ha-
llados en la convección forzada. Sin embargo, varios tipos de equipo de trans-
ferencia de calor están diseñados para operar en condiciones de convección
natural porque en ella no se requiere el uso de algo que mueva al fluido.
Empezamos este capítulo con una discusión del mecanismo físico de la con-
vección natural y del número de Grashof. Enseguida, presentamos las corre-
laciones para evaluar la transferencia de calor por convección natural para
varias configuraciones geométricas, incluyendo superficies con aletas y recin-
tos cerrados. Por último, discutimos la convección natural y la forzada simul-
táneas.
OBJETIVOS
Cuando el lector termine de estudiar este capítulo, debe ser capaz de: ■ Entender el mecanismo físico de la convección natural ■ Deducir las ecuaciones que rigen la convección natural y obtener el número adimen- sional de Grashof al llevarlas a la forma adimensional ■ Evaluar el número de Nusselt para la convección natural asociada con placas verti- cales, horizontales e inclinadas, así como con cilindros y esferas ■ Examinar la convección natural desde superficies con aletas y obtener el espaciamiento óptimo de éstas ■ Analizar la convección natural en el interior de recintos cerrados, como las ventanas de cristal doble, y ■ Considerar la convección natural y la forzada combinadas, así como determinar la im- portancia relativa de cada modo.
CAPÍTULO
CONTENIDO
9-1 Mecanismo físico de la convección natural 504 9-2 Ecuación del movimiento y el número de Grashof 507 9-3 Convección natural sobre superficies 510 9-4 Convección natural desde superficies con aletas y PCB 517 9-5 Convección natural dentro de recintos cerrados 521 9-6 Convección natural y forzada combinadas 530 Tema de interés especial: Transferencia de calor a través de ventanas 533 Resumen 543 Bibliografía y lecturas sugeridas 544 Problemas 546
9-1 MECANISMO FÍSICO DE LA CONVECCIÓN NATURAL
Muchas aplicaciones conocidas de la transferencia de calor comprenden la
convección natural como el mecanismo principal. Se tienen algunos ejemplos
en el enfriamiento de equipo electrónico como los transistores de potencia, las
televisiones y las reproductoras de DVD; la transferencia de calor desde los
calentadores eléctricos con tablero base o los radiadores de vapor de agua; la
transferencia de calor desde los serpentines de refrigeración y de las líneas de
transmisión de energía eléctrica, y la transferencia de calor desde los cuerpos
de los animales y los seres humanos. La convección natural en los gases sue-
le estar acompañada por radiación de magnitud similar, excepto para las su-
perficies de baja emisividad.
Sabemos que llega un momento en el que un huevo cocido caliente (o una
papa horneada caliente) sobre un plato se enfría hasta la temperatura del aire
circundante (figura 9 -1). El huevo se enfría al transfererir calor por convec-
ción al aire y por radiación hacia las superficies circundantes. Descartando la
transferencia de calor por radiación, el mecanismo físico del enfriamiento de
un huevo caliente (o de cualquier objeto caliente) en un medio ambiente más
frío se puede explicar como sigue:
Tan pronto como el huevo caliente se expone al aire más frío, la temperatu-
ra de la superficie exterior del cascarón cae un tanto y la del aire adyacente al
cascarón se eleva como resultado de la conducción de calor desde el cascarón
hacia el aire. Como consecuencia, el huevo pronto está rodeado por una capa
delgada de aire más caliente y el calor es transferido de esta capa hacia las ca-
pas exteriores del aire. En este caso, el proceso de enfriamiento es más bien
lento, ya que el huevo siempre está cubierto por aire caliente y no tiene con-
tacto directo con el aire frío que está más alejado. No podemos advertir que
exista algún movimiento del aire en la vecindad del huevo, pero mediciones
cuidadosas indican lo contrario.
La temperatura del aire adyacente al huevo es más elevada y, por con-
siguiente, su densidad es más baja, puesto que a presión constante la densi-
dad de un gas es inversamente proporcional a su temperatura. Por tanto, te-
nemos una situación en la que algo de gas de baja densidad o “ligero” está
rodeado por un gas de alta densidad o “pesado” y las leyes naturales dictan
que el gas ligero suba. Esto no es diferente a que el aceite en un aderezo para
ensalada hecho de vinagre y aceite suba hacia la parte superior (puesto que
raceite! rvinagre ). Este fenómeno se caracteriza de manera incorrecta mediante
la frase “el calor sube”, la cual debe entenderse como: el aire calentado sube.
El espacio que deja el aire más caliente en la vecindad del huevo es vuelto a
llenar por el aire más frío cercano y la presencia de éste en el espacio inmedia-
to al huevo acelera el proceso de enfriamiento. La subida del aire más calien-
te y el flujo del más frío para ocupar su lugar continúan hasta que el huevo se
enfría hasta la temperatura del aire circundante. El movimiento que resulta del
reemplazo continuo del aire calentado que está en la vecindad del huevo por
el aire más frío cercano se llama corriente de convección natural y la trans-
ferencia de calor que se mejora como resultado de esta corriente se llama
transferencia de calor por convección natural. Note que de no existir las
corrientes de convección natural, la transferencia de calor del huevo al aire
circundante sería sólo por conducción y la velocidad de esa transferencia des-
de el huevo sería mucho más baja.
La convección natural es tan eficaz en el calentamiento de las superficies frías
en un medio ambiente más caliente como lo es en el enfriamiento de superficies
calientes en un medio ambiente más frío, como se muestra en la figura 9 -2. Note
que, en este caso, la dirección del movimiento del fluido es inversa.
■
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
HUEVO CALIENTE
Transferen- cia de calor
Aire caliente
Aire frío
Transferen- cia de calor
BEBIDA FRÍA
Aire caliente
Aire frío
FIGURA 9-
Enfriamiento de un huevo cocido en un medio ambiente más frío por convección natural.
FIGURA 9-
Calentamiento de una bebida fría en un medio ambiente más caliente por convección natural.
b " (1/K) (9-3)
En los estudios de la convección natural la condición del fluido suficiente-
mente lejos de la superficie caliente o fría se indica por el subíndice “infinito”,
para servir como un recordatorio de que es el valor a una distancia en donde
no se siente la presencia de esa superficie. En esos casos el coeficiente de ex-
pansión volumétrica se puede expresar de manera aproximada reemplazando
las cantidades diferenciales por diferencias como
(9-4)
o bien,
r% # r " rb( T # T % ) (a P constante P ) (9-5)
en donde r% es la densidad y T % es la temperatura del fluido en reposo lejos de
la superficie.
Podemos demostrar con facilidad que el coeficiente de expansión volumé-
trica b de un gas ideal ( P " r RT ) a una temperatura T es equivalente a la in-
versa de la temperatura:
bgas ideal " (1/K) (9-6)
en donde T es la temperatura termodinámica. Note que un valor grande de b
para un fluido significa un cambio grande en la densidad con la temperatura y
que el producto b & T representa la fracción del cambio de volumen de un flui-
do que corresponde a un cambio de temperatura & T a presión constante. Tam-
bién note que la fuerza de empuje es proporcional a la diferencia de densidad ,
la cual es proporcional a la diferencia de temperatura a presión constante. Por
lo tanto, entre mayor sea la diferencia de temperatura entre el fluido adyacen-
te a una superficie caliente (o fría) y aquel que está lejos de ella, mayor será la
fuerza de empuje y más fuertes las corrientes de convección natural, y como
consecuencia, más alta será la velocidad de la transferencia de calor.
La magnitud de la transferencia de calor por convección natural entre una
superficie y un fluido está relacionada de manera directa con el gasto de este
último. Entre mayor sea el gasto, más alta será la razón de la transferencia de
calor. De hecho, son los gastos muy altos los que incrementan el coeficiente
de transferencia de calor en órdenes de magnitud cuando se usa convección
forzada. En la convección natural no se usan sopladores y, por lo tanto, el gas-
to no se puede controlar en forma externa. En este caso, el gasto se establece
por el equilibrio dinámico de la flotación y la fricción.
Como hemos discutido al principio, la fuerza de empuje es causada por la
diferencia en densidad entre el fluido calentado (o enfriado) adyacente a la su-
perficie y el fluido que lo circunda y es proporcional a esta diferencia y al vo-
lumen ocupado por el fluido más caliente. Asimismo es bien sabido que
siempre que dos cuerpos en contacto (sólido-sólido, sólido-fluido o fluido-
fluido) se mueven uno en relación con el otro, se desarrolla una fuerza de fric-
ción en la superficie de contacto, con dirección opuesta a la del movimiento.
Esta fuerza en oposición desacelera el fluido y, como consecuencia, reduce el
gasto del mismo. En condiciones estacionarias el gasto de aire impulsado por
la flotación se establece en el punto donde estos efectos se equilibran entre sí.
La fuerza de fricción se incrementa conforme se introducen más y más super-
ficies sólidas, perturbando gravemente el flujo del fluido y la transferencia de
calor. Por esa razón, los sumideros de calor con aletas muy poco espaciadas
entre sí no son apropiados para el enfriamiento por convección natural.
La mayor parte de las correlaciones en la convección natural se basan en
mediciones experimentales. El instrumento que se usa con frecuencia en los
T
b! #^1 r
& T
" #^1 r
r% # r T % # T (a^ P^ constante)
( "
) T #^ P^ " #^
r "
)r ) T #^ P
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
experimentos relativos a la convección natural es el interferómetro de Mach-
Zehnder , el cual da una gráfica de las isotermas en el fluido, en la vecindad de
una superficie. El principio de operación de los interferómetros se basa en el
hecho de que a baja presión las líneas de temperatura constante para un gas
corresponden con las líneas de densidad constante, y que el índice de refrac-
ción de un gas es función de su densidad. Por lo tanto, el grado de refracción
de la luz en algún punto en un gas es una medida del gradiente de temperatu-
ra en ese punto. Un interferómetro produce un mapa de márgenes de interfe-
rencia, los cuales se pueden interpretar como líneas de temperatura constante ,
como se muestra en la figura 9 -5. Las líneas suaves y paralelas que aparecen
en la figura a ) indican que el flujo es laminar , en tanto que los remolinos y las
irregularidades que se encuentran en la b ) indican que el flujo es turbulento.
Note que las líneas están más próximas entre sí cerca de la superficie, lo que
indica un gradiente más alto de temperatura.
9-2 ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO Y EL NÚMERO
DE GRASHOF
En esta sección deducimos la ecuación del movimiento que rige el flujo por
convección natural en la capa frontera laminar. Las ecuaciones de conservación
de la masa y de la energía obtenidas en el capítulo 6 para la convección forza-
da también son aplicables para la convección natural, pero necesita modificar-
se la ecuación de la cantidad del movimiento para incorporar la flotación.
Considere una placa plana caliente vertical sumergida en una masa inmóvil
de fluido. Suponemos que el flujo por convección natural es estacionario, lami-
nar y bidimensional, y que el fluido es newtoniano con propiedades constantes,
incluyendo la densidad, con una excepción: debe considerarse la diferencia de
densidad r – r % , ya que es esta diferencia entre el interior y el exterior de la
capa límite la que da lugar a la fuerza de empuje y sostiene el flujo. (Esto se
conoce como la aproximación de Boussinesq .) Tomemos la dirección hacia
arriba a lo largo de la placa como la x y la normal a la superficie como la y ,
como se muestra en la figura 9 -6. Por lo tanto, la gravedad actúa en la direc-
ción – x. Dado que el flujo es estacionario y bidimensional, las componentes
x y y de la velocidad dentro de la capa límite son u " u ( x , y ) y v " v ( x , y ), res-
pectivamente.
En la figura 9 -6 también se muestran los perfiles de velocidades y de tem-
peraturas para la convección natural sobre una placa caliente vertical. Note
que, igual que en la convección forzada, el espesor de la capa límite aumenta
en la dirección del flujo. Sin embargo, a diferencia de la convección forzada,
la velocidad del fluido es cero en el borde exterior de la capa límite de la ve-
locidad, así como en la superficie de la placa. Esto es de esperarse, ya que el
fluido que se encuentra más allá de la capa límite está inmóvil. Por tanto, la
velocidad del fluido aumenta con la distancia a la superficie, alcanza un má-
ximo y, en forma gradual, disminuye hasta cero a una distancia suficientemen-
te lejos de esta última. En la superficie la temperatura del fluido es igual a la
de la placa y, de manera gradual, decrece hasta la del fluido circundante a una
distancia suficientemente lejos de esa superficie, como se muestra en la figu-
ra. En el caso de las superficies frías la forma de los perfiles de velocidades y
temperaturas sigue siendo la misma, pero su dirección se invierte.
Considere un elemento diferencial de volumen de altura dx , longitud dy y
profundidad unitaria en la dirección z (normal al papel) para el análisis. En la
figura 9 -7 se muestran las fuerzas que actúan sobre este elemento de volumen.
Para este volumen de control la segunda ley de Newton del movimiento se
puede expresar como
■
CAPÍTULO 9
FIGURA 9-
Isotermas en la convección natural sobre una placa caliente en el aire.
a ) Flujo laminar b ) Flujo turbulento
T %
u = 0 u = 0
y
x
Ts
Perfil de temperaturas
Perfil de ve- locidades
Capa límite
Fluido esta- cionario a T %
Ts
FIGURA 9-
Perfiles típicos de velocidades y de temperaturas para el flujo de convección natural sobre una placa vertical caliente a la temperatura Ts introducida en un fluido a la temperatura T %.
La ecuación anterior rige el movimiento del fluido en la capa límite debido al
efecto de flotación. Note que la ecuación de la cantidad de movimiento invo-
lucra la temperatura y, por tanto, las ecuaciones de la cantidad de movimien-
to y de la energía deben resolverse simultáneamente.
El conjunto de tres ecuaciones diferenciales parciales (las ecuaciones de la
continuidad, de la cantidad de movimiento y de la energía) que rigen el flujo
por convección natural sobre placas isotérmicas verticales se puede reducir a
un conjunto de dos ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales mediante la
introducción de una variable de semejanza. Pero las ecuaciones resultantes to-
davía tienen que resolverse en forma numérica [Ostrach (19 9 3)]. Se recomien-
da al lector interesado que consulte libros avanzados sobre el tema para
obtener discusiones detalladas [por ejemplo, Kays y Crawford (19 9 3)].
El número de Grashof
Es posible hacer adimensionales las ecuaciones que rigen la convección natu-
ral y las condiciones de frontera dividiendo todas las variables dependientes e
independientes entre cantidades constantes apropiadas: todas las longitudes
entre una longitud característica Lc , todas las velocidades entre una velocidad
arbitraria de referencia, V (la cual, basándose en la definición del número de
Reynolds, se toma como V " Re L (/ Lc ), y la temperatura entre una diferencia
de temperatura apropiada (la cual se toma como Ts # T % ) como
en donde los asteriscos se usan para denotar variables no dimensionales. Sus-
tituyéndolas en la ecuación de la cantidad de movimiento y simplificando da
(9-14)
El parámetro adimensional que se encuentra entre corchetes representa los
efectos de la convección natural y se llama número de Grashof , Gr L ,
(9-15)
en donde
g " aceleración gravitacional, m/s^2 b " coeficiente de expansión volumétrica, 1/K (b " 1/ T para los gases ideales) Ts " temperatura de la superficie, °C T (^) % " temperatura del fluido suficientemente lejos de la superficie, °C Lc " longitud característica de la configuración geométrica, m ( " viscosidad cinemática del fluido, m^2 /s
En los capítulos precedentes mencionamos que el número de Reynolds , el cual
es adimensional y representa la razón entre las fuerzas de inercia y las fuerzas
viscosas que actúan sobre el fluido, rige el régimen de flujo en la convección
forzada. El número de Grashof , el cual también es adimensional y representa
la razón entre la fuerza de empuje y la fuerza viscosa que actúan sobre el flui-
do, rige el régimen de flujo en la convección natural (figura 9 -8).
El papel que desempeña el número de Reynolds en la convección forzada es
realizado por el número de Grashof en la convección natural. Como tal, este
último número proporciona el criterio principal en la determinación de si el
flujo del fluido es laminar o turbulento en la convección natural. Por ejemplo,
para las placas verticales se observa que el número crítico de Grashof es alre-
Gr L "
g b( Ts # T %) L^3 c v^2
u *
) u * ) x *
) u * ) y *
" c
g b( Ts # T % ) L^3 c n 2
d
T *
Re^2 L
Re L
) 2 u * ) y * 2
x *^ " (^) Lx c
y *^ "
y Lc^ u
(^) " u V v
(^) " v V y^ T
* " T^ #^ T %
T (^) s # T %
CAPÍTULO 9
Superficie caliente
Fuerza de fricción
Fuerza de empuje
Fluido frío
Fluido caliente
FIGURA 9-
El número de Grashof es una medida de las magnitudes relativas de la fuerza de empuje y la fuerza viscosa en oposición que actúan sobre el fluido.
dedor de 10 9. Por lo tanto, el régimen del flujo sobre una placa vertical se
vuelve turbulento a números de Grashof mayores que 10^9.
Cuando una superficie se sujeta a flujo externo, el problema involucra tan-
to convección natural como forzada. La importancia relativa de cada modo de
transferencia de calor se determina por el valor del coeficiente Gr L /Re L^2 : los
efectos de la convección natural son despreciables si Gr L /Re L^2 , 1, la con-
vección libre domina y los efectos de la convección forzada son despreciables
si Gr L /Re L^2 - 1 y los dos efectos son significativos y deben considerarse si
Gr L /Re L^2! 1.
9-3 CONVECCIÓN NATURAL SOBRE SUPERFICIES
La transferencia de calor por convección natural sobre una superficie depen-
de de la configuración geométrica de ésta así como de su orientación. Tam-
bién depende de la variación de la temperatura sobre la superficie y de las
propiedades termofísicas del fluido que interviene.
Aun cuando comprendemos bien el mecanismo de la convección natural,
las complejidades del movimiento del fluido hacen que sea muy difícil obte-
ner relaciones analíticas sencillas para la transferencia de calor mediante la re-
solución de las ecuaciones que rigen el movimiento y la energía. Existen
algunas soluciones analíticas para la convección natural, pero carecen de ge-
neralidad, ya que se obtienen para configuraciones geométricas simples con
algunas hipótesis simplificadoras. Por lo tanto, con la excepción de algunos
casos simples, las relaciones de transferencia de calor en la convección natu-
ral se basan en estudios experimentales. Del numeroso grupo de esas corre-
laciones, de complejidad variable y de proclamada exactitud de las que se
dispone en la literatura para cualquier configuración geométrica dada, aquí
presentamos las que se conocen mejor y que se usan con más amplitud.
Las correlaciones empíricas sencillas para el número promedio de Nusselt
Nu en la convección natural son de la forma (figura 9 -9 )
(9-16)
en donde Ra L es el número de Rayleigh , el cual es el producto de los núme-
ros de Grashof y de Prandtl:
(9-17)
Los valores de las constantes C y n dependen de la configuración geométrica
de la superficie y del régimen de flujo , el cual se caracteriza por el rango del
número de Rayleigh. El valor de n suele ser para el flujo laminar y para el
turbulento. El valor de la constante C normalmente es menor que 1.
En la tabla 9 -1 se dan relaciones simples para el número promedio de Nus-
selt para varias configuraciones geométricas, junto con esquemas de estas úl-
timas. En esta tabla también se dan las longitudes características de las
configuraciones y los intervalos del número de Rayleigh en los cuales la rela-
ción es aplicable. Todas las propiedades del fluido deben evaluarse a la tem-
peratura de película Tf " ( Ts + T % ).
Cuando se conoce el número promedio de Nusselt y, por consiguiente, el
coeficiente promedio de convección, la velocidad de la transferencia de calor
por convección natural de una superficie sólida que está a una temperatura
uniforme T s hacia el fluido circundante se expresa por la ley de Newton del
enfriamiento como
Q ˙ (^) conv " hAs ( Ts # T %) ( W ) (9-18)
1 2
1 3
1 4
Ra (^) L " Gr L Pr "
g b( Ts # T % ) L^3 c v^2
Pr
Nu "
hLc k
" C (Gr L Pr) n^ " C Ra nL
■
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Nu = C Ra nL
Número de Nusselt
Número de Rayleigh
Coeficiente constante Exponente constante
FIGURA 9-
Las correlaciones de la transferencia de calor por convección natural suelen expresarse en términos del número de Rayleigh elevado a una constante n y multiplicado por otra constante C , las cuales se determinan en forma experimental.
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Placa caliente
y (^) x Fy
F
F (^) x g
u^ u
Flujo en la capa frontera
FIGURA 9-
Flujos por convección natural sobre las superficies superior e inferior de una placa inclinada caliente.
en donde As es el área de la superficie de transferencia de calor y h es el coe-
ficiente promedio de transferencia de calor sobre la superficie.
Placas verticales ( Ts! constante)
Para una placa plana vertical, la longitud característica es la altura L de ella.
En la tabla 9 -1 se dan tres relaciones para el número promedio de Nusselt en
una placa vertical isotérmica. Las dos primeras relaciones son muy sencillas.
A pesar de su complejidad, sugerimos el uso de la tercera (ecuación 9 -21), re-
comendada por Churchill y Chu (19 75), dado que es aplicable sobre todo el
rango del número de Rayleigh. La mayor exactitud de esta relación se tiene en
el rango 10 #^1! Ra L! 109.
Placas verticales ( q˙s! constante)
En el caso de flujo constante de calor en la superficie, se sabe que la razón de
la transferencia de calor es sencillamente Q
" q·^ s As , pero no se conoce la tem-
peratura superficial Ts. De hecho, T s aumenta con la altura a lo largo de la pla-
ca. Resulta que las relaciones del número de Nusselt para los casos de
temperatura superficial constante y flujo constante de calor en la superficie
son casi idénticas [Churchill y Chu (19 75)]. Por lo tanto, las relaciones para
las placas isotérmicas también se pueden usar para las placas sujetas a flujo
uniforme de calor siempre que se use la temperatura TL /2 en el punto medio de
la placa, en lugar de T s , en la evaluación de la temperatura de película, del nú-
mero de Rayleigh y del número de Nusselt. Dado que h " q·^ s /( TL / 2 # T % ), el
número promedio de Nusselt en este caso se puede expresar como
(9-27)
La temperatura T L /2 en el punto medio se determina por iteración, de modo
que concuerden los números de Nusselt determinados a partir de las ecuacio-
nes 9 -21 y 9 -27.
Cilindros verticales
La superficie exterior de un cilindro vertical se puede tratar como una placa ver-
tical cuando el diámetro del cilindro es suficientemente grande, de modo que los
efectos de la curvatura sean despreciables. Esta condición se satisface si
(9-28)
Cuando se satisfacen estos criterios, también se pueden usar las relaciones de
las placas verticales para los cilindros verticales. En la literatura [por ejemplo,
Cebeci (19 74)] se encuentran relaciones del número de Nusselt para cilindros
esbeltos que no cumplen con estos criterios.
Placas inclinadas
Considere una placa inclinada caliente que forma un ángulo u con respecto a
la vertical, como se muestra en la figura 9 -10, en un medio ambiente más frío.
La fuerza neta F " g (r % # r) (la diferencia entre la de empuje y la de la gra-
vedad) que actúa sobre un volumen unitario del fluido en la capa frontera
siempre lo hace en la dirección vertical. En el caso de la placa inclinada, esta
fuerza se puede resolver en dos componentes: Fy " F cos u, paralela a la pla-
ca y que impulsa el flujo a lo largo de ésta, y F y " F sen u, perpendicular a la
D.
35 L
Gr 1/4 L
Nu " hL k
q ˙ (^) s L k ( TL / 2 # T % )
placa. Dado que la fuerza que impulsa el movimiento se reduce, esperamos
que las fuerzas de convección sean más débiles y que la velocidad de la trans-
ferencia de calor sea más baja en relación con el caso de la placa vertical.
Los experimentos confirman lo que sospechamos para la superficie inferior
de una placa caliente, pero se observa lo opuesto sobre la superficie superior.
La razón para este curioso comportamiento en la superficie superior es que la
componente F y de la fuerza inicia el movimiento hacia arriba en adición al
movimiento paralelo a lo largo de la placa y, como consecuencia, la capa
límite se rompe y forma columnas, como se muestra en la figura. Como resul-
tado, el espesor de la capa límite y, por ende, la resistencia a la transferencia
de calor decrecen y aumenta la razón de la transferencia de calor en relación
con la orientación vertical.
En el caso de una placa fría en un medio ambiente más caliente, ocurre lo
opuesto, como era de esperarse. La capa límite sobre la superficie superior
permanece intacta con un flujo más débil en ella y, por consiguiente, una
razón menor de transferencia de calor, y la capa límite sobre la superficie in-
ferior se divide (el fluido más frío cae) y, de este modo, se mejora la transfe-
rencia de calor.
Cuando la capa límite permanece intacta (la superficie inferior de una placa
caliente o la superior de una fría), el número de Nusselt se puede determinar
basándose en las relaciones de la placa vertical siempre que se reemplace g en
la relación del número de Rayleigh por g cos u, para u! 60°. En la literatura
[por ejemplo, Fujiii e Imura (19 72)], se encuentran las relaciones del número
de Nusselt para las otras dos superficies (la superior de una placa caliente o la
inferior de una fría).
Placas horizontales
La razón de la transferencia de calor hacia una superficie horizontal o desde
ésta depende de si la superficie está hacia arriba o hacia abajo. Para una super-
ficie caliente en un medio ambiente más frío, la fuerza neta actúa hacia arriba,
forzando al fluido calentado a subir. Si la superficie caliente está hacia arriba,
el fluido calentado sube con libertad, induciendo fuertes corrientes de convec-
ción natural y, como consecuencia, una transferencia de calor eficaz, como se
muestra en la figura 9 -11. Pero si la superficie caliente está hacia abajo, la pla-
ca bloquea al fluido calentado que tiende a subir (excepto el cercano a los bor-
des), impidiendo la transferencia de calor. Se cumple lo opuesto para una
placa fría en un medio ambiente más caliente, ya que, en este caso, la fuerza
neta (peso menos fuerza de empuje) actúa hacia abajo y el fluido enfriado cer-
cano a la placa tiende a descender.
Se puede determinar el número promedio de Nusselt para las superficies ho-
rizontales a partir de las sencillas relaciones de la ley de la potencia dadas en
la tabla 9 -1. La longitud característica de las superficies horizontales se calcu-
la a partir de
(9-29)
en donde As es el área superficial y p es el perímetro. Note que Lc " a /4 para
una superficie horizontal cuadrada de longitud a , y D /4 para una superficie
circular horizontal de diámetro D.
Cilindros horizontales y esferas
La capa límite sobre un cilindro horizontal caliente se empieza a desarrollar
en la parte de abajo, aumentando su espesor a lo largo de la circunferencia y
formando una columna ascendente en la parte superior, como se muestra en la
L (^) c "
As p
CAPÍTULO 9
Corrientes por convección natural
Corrientes por convección natural
Placa caliente
FIGURA 9-
Flujos por convección natural sobre las superficies superior e inferior de una placa horizontal caliente.
CAPÍTULO 9
. Q
. Q
T % = 20°C
T (^) s = 70°C
conv nat
rad, máx = 553 W
= 443 W
FIGURA 9-
La transferencia de calor por radiación suele ser comparable en magnitud a la convección natural y debe considerarse en el análisis de la transferencia de calor.
T % = 30°C
9 0°C
a ) Vertical
b ) Superficie caliente hacia arriba
c ) Superficie caliente hacia abajo
L = 0.6 m
FIGURA 9-
Esquema para el ejemplo 9 -2.
Discusión El tubo perderá calor hacia los alrededores por radiación así como por convección natural. Suponiendo que la superficie exterior del tubo sea ne- gra (emisividad e " 1) y las superficies interiores de las paredes del cuarto es- tén a la temperatura ambiente, se determina que la transferencia de calor por radiación es (figura 9-14)
Q
rad "^ e As s( T^ s^4 #^ T^ alred^4 ) " (1)(1.508 m 2 )(5.67 0 10 #^8 W/m^2 * K^4 )[(70 + 273 K) 4 # (20 + 273 K)^4 ] " 553 W
la cual es mayor que la convección natural. La emisividad de una superficie real es menor que 1 y, como consecuencia, la transferencia de calor por radiación en tales superficies será menor. Pero la radiación todavía será significativa para la mayor parte de los sistemas enfriados por convección natural. Por lo tanto, un análisis de convección natural normalmente debe de venir acompañado por análisis de la radiación, a menos que la emisividad de la superficie sea baja.
EJEMPLO 9-2 Enfriamiento de una placa en orientaciones diferentes
Considere una placa cuadrada delgada de 0.6 m 0 0.6 m en un cuarto a 30°C. Uno de sus lados se mantiene a una temperatura de 90°C, en tanto que el otro lado está aislado, como se muestra en la figura 9-15. Determine la razón de la transferencia de calor desde la placa por convección natural si se encuentra a ) vertical, b ) horizontal con la superficie caliente hacia arriba y c ) horizontal con la superficie caliente hacia abajo.
SOLUCIÓN Se considera una placa caliente con su cara posterior aislada. De- be determinarse la razón de la transferencia de calor por convección natural pa- ra diferentes orientaciones. Suposiciones 1 Existen condiciones estacionarias de operación. 2 El aire es un gas ideal. 3 La presión atmosférica local es de 1 atm. Propiedades Las propiedades del aire a la temperatura de película de Tf " ( T (^) s
- T %)/2 " (90 + 30)/2 " 60˚C y 1 atm son (tabla A-15)
k " 0.02808 W/m * ˚C Pr " 0.
( "1.89 6 0 10 #^5 m^2 /s b " "
Análisis a ) Vertical. En este caso, la longitud característica es la altura de la placa, la cual es L " 0.6 m. El número de Rayleigh es
Ra L "
Entonces se puede determinar el número de Nusselt en la convección natural a partir de la ecuación 9-21 como
Nu "
" (^) $ 0.825 + " 113.
1 + (0.49 2/0.7202)9 /16^ ]8/27^ %
2
$ 0.825^ +^
0.387 Ra1/6 L [1 + (0.49 2 / Pr) 9 /16]8/27^ %
2
(9 .81 m/s 2 )[1/(333 K)](9 0 # 30 K)(0.6 m) 3 (1.89 6 0 10 #^5 m^2 /s)^2
g b( Ts # T % ) L^3 v^2
Pr
333 K
T (^) f
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Note que la relación más sencilla de la ecuación 9-19 daría Nu " 0.59 Ra L^ 1/4^ " 98.14, el cual 13% más bajo. Entonces,
h " Nu " (113.3) " 5.302 W/m^2 * ˚C
As " L^2 " (0.6 m)^2 " 0.36 m^2
y
Q
" hAs ( Ts # T % ) " (5.302 W/m^2 * ˚C)(0.36 m^2 )(9 0 # 30)˚C " 115 W
b ) Horizontal con la superficie caliente hacia arriba. En este caso la longitud ca- racterística y el número de Rayleigh son
Lc " " 0.15 m
Ra L " Pr
Se puede determinar el número de Nusselt en la convección natural a partir de la ecuación 9-22 como
Nu " 0.54 Ra 1/4 L^ " 0.54(1.19 5 0 107 )1/4^ " 31.
Entonces,
h " Nu " (31.75) " 5.9 44 W/m^2 * ˚C y
Q·^ " hAs ( Ts # T % ) " (5.9 44 W/m^2 * ˚C)(0.36 m^2 )(9 0 # 30)˚C " 128 W
c ) Horizontal con la superficie caliente hacia abajo. En este caso la longitud ca- racterística, el área superficial de transferencia de calor y el número de Ray- leigh son los mismos que los determinados en b ). Pero el número de Nusselt en la convección natural se debe determinar basándose en la ecuación 9-24,
Nu " 0.27 Ra (^) L^ 1/4^ " 0.27(1.19 5 0 107 )1/4^ " 15.
Entonces,
h " Nu " (15.87) " 2.9 71 W/m^2 * ˚C
y
Q·^ " hAs ( Ts # T % ) " (2.9 71 W/m^2 * ˚C)(0.36 m^2 )(9 0 # 30)˚C " 64.2 W
Note que la transferencia de calor por convección natural es la más baja en el caso de la superficie caliente hacia abajo. Esto no es sorprendente, dado que, en este caso, el aire caliente queda “atrapado” debajo de la placa y no puede alejarse de ella con facilidad. Como resultado, el aire más frío que está en la ve- cindad de la placa tendrá dificultad para llegar a ésta, lo cual da por resultado una velocidad reducida de la transferencia de calor. Discusión La placa perderá calor hacia los alrededores por radiación así como por convección natural. Suponiendo que la superficie de la placa sea negra
0.02808 W/m * ºC 0.15 m
k Lc
0.02808 W/m * ºC 0.15 m
k Lc
(9 .81 m/s 2 )[1/(333 K)](9 0 # 30 K)(0.15 m) 3 (1.89 6 0 10 #^5 m^2 /s)^2
g b( Ts # T % ) L^3 c v^2
As p "^
L^2
4 L "^
L
4 "^
0.6 m 4
0.02808 W/m * ºC 0.6 m
k L
Bar-Cohen y Rohsenow (19 84) han recopilado los datos de los que se dispo-
ne con diversas condiciones de frontera y desarrollado correlaciones para el
número de Nusselt y el espaciamiento óptimo. El espaciamiento S entre aletas
adyacentes suele tomarse como la longitud característica para placas paralelas
verticales usadas como aletas, aun cuando también se podría usar la altura L
de la aleta. El número de Rayleigh se expresa como
Ra S " Pr y Ra L " Pr " Ra S (9-30)
La relación recomendada para el número promedio de Nusselt para las placas
paralelas verticales isotérmicas es
Ts " constante: Nu " (9-31)
Una pregunta que surge a menudo en la selección de un sumidero de calor
es si se selecciona uno con aletas con poco espacio entre ellas o ampliamente
espaciadas , para un área dada de la base (figura 9 -17). Un sumidero de calor
con aletas con poco espacio entre ellas tendrá una mayor área superficial para
la transferencia de calor pero un coeficiente más pequeño de transferencia de
calor debido a la resistencia agregada que introducen las aletas adicionales al
flujo del fluido por el paso entre ellas. Por otra parte, un sumidero de calor con
aletas ampliamente espaciadas tendrá un coeficiente más alto de transferencia
de calor pero un área superficial más pequeña. Por lo tanto, debe haber un es-
paciamiento óptimo que maximice el coeficiente de transferencia de calor por
convección natural desde el sumidero para un área dada WL de la base, en
donde W y L son al ancho y la altura de la base del mismo, respectivamente,
como se muestra en la figura 9 -18. Cuando las aletas son isotérmicas y el es-
pesor t de la aleta es pequeño en relación con el espaciamiento S entre ellas,
según Bar-Cohen y Rohsenow se determina que el espaciamiento óptimo pa-
ra un sumidero vertical de calor es
Ts " constante: S ópt " 2.714 " 2.714 (9-32)
Se puede demostrar mediante la combinación de las tres ecuaciones antes da-
das que cuando S " S ópt el número de Nusselt es constante y su valor es 1.307,
S " S ópt : Nu " " 1.307 (9-33)
La razón de la transferencia de calor por convección natural desde las aletas
se puede determinar a partir de
Q
" h (2 nLH )( T (^) s # T % ) (9-34)
en donde n " W /( S + t )! W / S es el número de aletas en el sumidero de calor
y Ts es la temperatura superficial de ellas. Todas las propiedades del fluido se
deben evaluar a la temperatura promedio T prom " ( Ts + T % )/2.
Enfriamiento por convección natural de PCB
verticales ( q˙ (^) s! constante)
A menudo los arreglos de tableros de circuitos impresos que se usan en los sis-
temas electrónicos se pueden considerar como placas paralelas sujetas a flujo
uniforme de calor q·^ s (figura 9 -19 ). En este caso la temperatura de la placa se
incrementa con la altura, alcanzando un máximo en el borde superior del ta-
h S ópt k
L
" (^) Ra 0.25 L
S^3 L
Ra (^) S^ #
hS k
" (^) & 576 (Ra (^) SS / L )^2
( Ra (^) SS / L )0.5^ '
#0.
L^3
S^3
g b( Ts # T %) L^3 v^2
g b( Ts # T % ) S^3 v^2
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
FIGURA 9-
Sumideros de calor con aletas a ) ampliamente espaciadas y b ) con poco espacio entre ellas (cortesía de Vemaline Products).
W (^) H
T (^) s
L
g
t
S
Aire inmóvil, T
FIGURA 9-
Diversas dimensiones de una superficie con aletas, orientada verticalmente.
blero. El número modificado de Rayleigh para flujo uniforme de calor sobre
las dos placas se expresa como
(9-35)
El número de Nusselt en el borde superior de la placa, en donde se tiene la
temperatura máxima, se determina a partir de [Bar-Cohen y Rohsenow
(19 84)]
(9-36)
El espaciamiento óptimo de las aletas para el caso de flujo uniforme de calor
en ambas placas queda dado como
q·^ s " constante: S ópt " 2.12 (9-37)
La razón total de la transferencia de calor desde las placas es
Q
" q·s As " q·s (2 nLH ) (9-38)
en donde n " W /( S + t )! W / S es el número de placas. La temperatura super-
ficial crítica TL se tiene en el borde superior de las placas y se puede determi-
nar con base en
q·s " hL ( TL # T % ) (9-39)
Todas las propiedades del fluido deben evaluarse a la temperatura promedio
T prom " ( T L + T % )/2.
Gasto de masa por el espacio entre placas
Como mencionamos al principio la magnitud de la transferencia de calor por
convección natural está directamente relacionada con el gasto de masa del
fluido, el cual se establece por el equilibrio dinámico de dos efectos opuestos:
la flotación y la fricción.
Las aletas de un sumidero de calor introducen los dos efectos: inducen flo-
tación adicional como resultado de la temperatura elevada de las superficies
de las aletas, y retardan el fluido al actuar como un obstáculo agregado a la
trayectoria de flujo. En consecuencia, el incremento del número de aletas en
un sumidero de calor puede mejorar o reducir la convección natural, depen-
diendo de cuál de los efectos es el que domine. El gasto de fluido impulsado
por el empuje se establece en el punto en donde estos dos efectos se equilibran
entre sí. La fuerza de fricción se incrementa conforme se introducen más y
más superficies sólidas, perturbando gravemente el flujo del fluido y la trans-
ferencia de calor. En algunas condiciones el incremento en la fricción puede
más que compensar el incremento en el empuje. Esto, a su vez, tenderá a re-
ducir el gasto y, por consiguiente, la transferencia de calor. Por esa razón, los
sumideros de calor con aletas con poco espacio entre ellas no resultan apro-
piados para el enfriamiento por convección natural.
Cuando el sumidero de calor tiene aletas con espacio reducido entre ellas,
los angostos canales formados tienden a bloquear o “sofocar” el fluido, en es-
pecial cuando el sumidero es largo. Como resultado, la acción de bloqueo
producida abruma el empuje adicional y degrada las características de trans-
ferencia de calor del sumidero. Entonces, en un ajuste fijo de potencia, el su-
midero opera a una temperatura más alta en relación con el caso en el que no
se tiene recubrimiento. Cuando el sumidero tiene aletas ampliamente espacia-
"
S^4 L
Ra* S^ #
Nu L "
hLS k
" (^) & 48 Ra* S S / L
(Ra* L S / L )0.
'
#0.
Ra* S "
g b q ˙ s S^4 kv^2
Pr
CAPÍTULO 9
W
S
H
L
qs^ · T %
FIGURA 9- Arreglos de tableros verticales de circuitos impresos (PCB) enfriados por convección natural.
9-5 CONVECCIÓN NATURAL DENTRO
DE RECINTOS CERRADOS
Una parte considerable de la pérdida de calor de una residencia típica ocurre
a través de las ventanas. Si pudiéramos, aislaríamos las ventanas para conser-
var energía. El problema es hallar un material aislante que sea transparente.
Un examen de las conductividades térmicas de los materiales aislantes revela
que el aire es un mejor aislador que la mayor parte de esos materiales. Ade-
más, es transparente. Por lo tanto, tiene sentido aislar las ventanas con una ca-
pa de aire. Por supuesto, necesitamos usar otra lámina de vidrio para atrapar
el aire. El resultado es un recinto cerrado , el cual se conoce como ventana de
hoja doble. Otros ejemplos de recintos cerrados incluyen las cavidades en las
paredes, los colectores solares y las cámaras criogénicas que contienen cilin-
dros o esferas concéntricos.
En la práctica los recintos cerrados se encuentran con frecuencia y la trans-
ferencia de calor a través de ellos tiene un interés práctico. La transferencia de
calor en los espacios encerrados se complica por el hecho de que, en general,
el fluido en el recinto cerrado no permanece estacionario. En un recinto cerra-
do vertical el fluido adyacente a la superficie más caliente sube y el adyacen-
te a la más fría baja, estableciendo un movimiento de rotación dentro del
recinto que mejora la transferencia de calor a través de él. En las figuras 9 -
y 9 -22 se muestran patrones típicos de flujo en recintos cerrados rectangula-
res verticales y horizontales.
■
CAPÍTULO 9
Ra L " Pr
Con base en la ecuación 9-32 se determina que el espaciamiento óptimo entre las aletas es
S ópt " 2.714 " 7.45 0 10 #^3 m " 7.45 mm
el cual es cerca de siete veces el espesor de ellas. Por lo tanto, en este caso re- sulta aceptable la suposición de que el espesor de las aletas es despreciable. El número de aletas para este caso de espaciamiento óptimo de las mismas es
n " "! 14 aletas
Por la ecuación 9-33 el coeficiente de transferencia de calor por convección pa- ra este caso de espaciamiento óptimo es
h " Nuópt " 0.4863 W/m 2 * ˚C
Entonces la razón de la transferencia de calor por convección natural queda
Q
" hAs ( Ts # T % ) " h (2 nLH )( T (^) s # T % ) " (0.4863 W/m 2 * ˚C)[2 0 14(0.18 m)(0.024 m)](80 # 30)˚C " 29.4 W
Por lo tanto, este sumidero puede disipar calor por convección natural a razón de 29.4 W.
k S ópt^ "^ 1.
0.02772 W/m * ºC 0.00745 m
0.12 m (0.00745 + 0.001) m
W
S + t
L
Ra (^) L^ 0.^
" 2.714 0.18 m (1.845 0 10 7 ) 0.
(9 .81 m/s 2 )[1/(328 K)](80 # 30 K)(0.18 m) 3 (1.847 0 10 #^5 m^2 /s) 2
g b( Ts # T %) L^3 v^2
. Q
Superficie caliente
Perfil de velocidades
Superficie fría
L FIGURA 9- Corrientes de convección en un recinto cerrado vertical rectangular.
Las características de la transferencia de calor a través de un recinto cerra-
do horizontal depende de si la placa más caliente está en la parte de arriba o
en la de abajo, como se muestra en la figura 9 -22. Cuando la placa más calien-
te está en la parte de arriba , no se desarrollan corrientes de convección en el
recinto, ya que el fluido más ligero siempre está arriba del más pesado. En es-
te caso la transferencia de calor es por conducción pura y tendremos Nu " 1.
Cuando la placa más caliente está en la parte de abajo , el fluido más pesado
está arriba del más ligero y se tiene una tendencia de éste de derribar a aquél
y subir hasta la parte superior, en donde entra en contacto con la placa más fría
y se enfriará. Sin embargo, hasta que sucede, la transferencia de calor todavía
es por conducción pura y Nu " 1. Cuando Ra 1 1708, la fuerza de empuje
vence la resistencia del fluido e inicia las corrientes de convección natural, las
cuales se observa que tienen la forma de celdas hexagonales llamadas celdas
de Bénard. Para Ra 1 3 0 10 5 , las celdas se rompen y el movimiento del flui-
do se vuelve turbulento.
El número de Rayleigh para un recinto cerrado se determina a partir de
Ra L " Pr (9-40)
en donde la longitud característica L c es la distancia entre las superficies ca-
liente y fría, y T 1 y T 2 son sus temperaturas, respectivamente. Todas las pro-
piedades del fluido deben evaluarse a la temperatura promedio del mismo
T prom " ( T 1 + T 2 )/2.
Conductividad térmica efectiva
Cuando se conoce el número de Nusselt la razón de la transferencia de calor a
través del recinto cerrado se puede determinar por medio de
Q·^ " hAs ( T 1 # T 2 ) " k Nu As (9-41)
ya que h " k Nu/ L. La razón de la conducción estacionaria de calor de uno a
otro lado de una capa de espesor Lc , área As y conductividad térmica k se ex-
presa como
Q·^ cond " kAs (9-42)
en donde T 1 y T 2 son las temperaturas en los dos lados de la capa. Una com-
paración de esta relación con la ecuación 9 -41 revela que la transferencia de
calor por convección en un recinto cerrado es análoga a la conducción de ca-
lor de uno a otro lado de una capa de fluido en ese recinto, siempre que la con-
ductividad térmica k se reemplace por k Nu. Es decir, el fluido en un recinto
cerrado se comporta como un fluido cuya conductividad térmica es kNu como
resultado de las corrientes de convección. Por lo tanto, la cantidad kNu se lla-
ma conductividad térmica efectiva del recinto; es decir,
k ef " k Nu (9-43)
Note que para el caso especial de Nu " 1 la conductividad térmica efectiva
del recinto se vuelve igual a la conductividad del fluido. Esto es de esperarse,
dado que este caso corresponde a conducción pura (figura 9 -23).
La transferencia de calor por convección natural en espacios encerrados ha
sido el tema de muchos estudios experimentales y numéricos, y existen nume-
rosas correlaciones para el número de Nusselt. Relaciones sencillas del tipo de
la ley de la potencia en la forma de Nu " C Ra Ln^ , en donde C y n son constan-
tes, son suficientemente exactas, pero suelen ser aplicables a un intervalo re-
T 1 # T 2
Lc
T 1 # T 2
Lc
g b( T 1 # T 2 ) L^3 c v^2
TRANSFERENCIA DE CALOR Y MASA
Nu = 3 k ef = 3 k
Convección natural
Conducción pura
(Sin movi- miento)
. Q = 10 W
. Q = 30
Caliente (^) k Fría Caliente Fría
FIGURA 9-
Un número de Nusselt de 3 para un recinto cerrado indica que la transferencia de calor a través de éste, por convección natural , es tres veces mejor que por conducción pura.
Fluido ligero
Fluido pesado
Fluido pesado
Fluido ligero
Caliente
Frío
Frío
(Nulo movimiento del fluido)
a ) Placa caliente en la parte de arriba
b ) Placa caliente en la parte de abajo
Caliente
FIGURA 9-
Corrientes de convección en un recinto cerrado horizontal con a ) placa caliente en la parte de arriba y b ) placa caliente en la parte de abajo.
