PARABOLOIDES Y CILINDROS, Apuntes de Cálculo

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www.usat.edu.pe

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

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CÁLCULO DE VARIAS

VARIABLES

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UNIDAD DIDÁCTICA 1

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

RELACIONES Y FUNCIONES

DE VARIAS VARIABLES

Graficar paraboloides en el espacio de tres dimensiones utilizando los criterios respectivos de graficación 4

Objetivos

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR Graficar cilindros circulares o elípticos utilizando las trazas y los criterios de graficación Graficar cilindros parabólicos utilizando las trazas y los criterios de graficación

• Paraboloide
• Cilindro circular o elíptico
• Cilindro parabólico

CONTENIDOS

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

EL PARABOLOIDE

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

ECUACIÓN: 𝑨𝒙

𝟐

• 𝑩𝒚 𝟐
• 𝑪𝒛 𝟐
• 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭𝒛 + 𝑮 = 𝟎 , A, B y C son números reales, dos de los coeficientes son diferentes de cero y del mismo signo. La tercera variable es de grado uno Reconocimiento de la ecuación Proceso de graficación 1 ) Completamos cuadrados: Al completar cuadrados las fracciones cuadráticas son positivas y la expresión lineal está a la derecha de la igualdad. 2 ) Vértice del paraboloide: V(h, k, 𝒍 ) 3 ) Trazas: Plano XY, hacemos z=𝒍; entonces analizamos que tipo de ecuación obtenemos. Plano XZ, hacemos y=𝒌; entonces analizamos que tipo de ecuación obtenemos. Plano YZ, hacemos x=𝒉; entonces analizamos que tipo de ecuación obtenemos.

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR 4 ) Ubicamos el vértice del paraboloide en el espacio ( R 3 ) 5 ) Graficamos las trazas parabólicas 6 ) Graficamos la última traza que puede ser una elipse o una circunferencia

EL PARABOLOIDE

EJEMPLOS

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR Trazas: Plano XY, si hacemos z= 1 , entonces (𝒙−𝟏) 𝟐 𝟒

(𝒚−𝟏) 𝟐 𝟗 = 𝟎 y la única posibilidad es que x=1, y=1; hemos obtenido nuevamente el vértice. Por tanto, el valor de z debe ser diferente de uno de tal manera que c(z-1)=k>0, en este caso (𝒙−𝟏) 𝟐 𝟒

(𝒚−𝟏) 𝟐 𝟗 = 𝒌; dividiendo por K se tiene una elipse Plano XZ, hacemos y=1; entonces (𝒙−𝟏) 𝟐 𝟒 =z-1 es la ecuación de una parábola. Plano YZ, hacemos x=𝟏; entonces (𝒚−𝟏) 𝟐 𝟗 = 𝒛 − 𝟏 es la ecuación de una parábola.

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR Graficamos la parábola del plano XZ, (𝒙−𝟏) 𝟐 𝟒 =z-1; para graficar una parábola necesitamos tres puntos (uno de ellos es el vértice), se puede dar valores a x o a z. Si z=2, entonces x=3 y x=-1; puntos P(3, 1, 2) y Q(-1, 1, 2) Ubicamos el V(1, 1, 1) del paraboloide en el espacio (R 3 ) Graficamos la parábola del plano YZ, (𝑦−𝟏) 𝟐 𝟗 =z-1; para graficar una parábola necesitamos tres puntos (uno de ellos es el vértice), se puede dar valores a y o a z. Si z=2, entonces y=4 y y=-2; puntos R(1, 4, 2) y S(1, - 2, 2) Graficamos la elipse que encierra a las parábolas

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR Gráfica de: 𝟗𝒙 𝟐

• 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟑𝟔𝒛 + 𝟒𝟗 = 𝟎 Ubicación de los puntos R(1, 4, 2) y S(1, - 2, 2) y la gráfica de la Traza del plano YZ Graficamos la Traza del plano XY

GRÁFICA UTILIZANDO PLATAFORMA TECNOLÓGICA

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR Maple Geogebra Gráfica de: 𝟗𝒙 𝟐

• 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟑𝟔𝒛 + 𝟒𝟗 = 𝟎

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

EJERCICIOS

Graficar cada uno de los siguientes paraboloides 1 ) 𝒙 𝟐

• 𝒚 𝟐
• 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 2 ) 𝒙 𝟐
• 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 3 ) 𝒙 𝟐
• 𝒚 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 + 𝟏 = 𝟎 4 ) 𝒙 𝟐
• 𝒛 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒𝒛 + 𝒚 + 𝟕 = 𝟎 5 ) 𝒙 𝟐
• 𝒛 𝟐
• 𝟐𝒙 + 𝟒𝒛 + 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 6 ) 𝒙 𝟐
• 𝒛 𝟐
• 𝟐𝒙 − 𝟒𝒛 − 𝒚 + 𝟑 = 𝟎 7 ) 𝒚 𝟐
• 𝒛 𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 + 𝒙 + 𝟒 = 𝟎 8 ) 𝒚 𝟐
• 𝒛 𝟐
• 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 + 𝒙 = 𝟎 9 ) 𝒚 𝟐
• 𝒛 𝟐
• 𝟐𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝒙 = 𝟎 10 ) 𝒙 𝟐
• 𝒚 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟕 + 𝒛 = 𝟎

GRÁFICA DEL CILINDRO CIRCULAR O

ELÍPTICO

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR 4 ) Ubicamos el centro del cilindro circular o elíptico en el espacio ( R 3 ) 5 ) Graficamos las cuatro rectas 6 ) A partir del centro a ambos lados trazamos la última traza que puede ser una elipse o una circunferencia CILINDRO CIRCULAR O ELÍPTICO

JORGE CARLOS CHIRINOS SALAZAR

Ejemplos

Graficar cada una de los siguientes cilindros circulares o elípticos. Determine su dominio y rango. 1 ) 𝟗𝒙 𝟐

• 𝟒𝒚 𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟖𝒚 − 𝟐𝟑 = 𝟎 Proceso de graficación: Completando cuadrados: 𝟗(𝒙 − 𝟏) 𝟐 − 𝟗 + 𝟒 𝒚 − 𝟏 𝟐 − 𝟒 − 𝟐𝟑 = 𝟎 𝟗(𝒙 − 𝟏) 𝟐
• 𝟒 𝒚 − 𝟏 𝟐 = 𝟑𝟔 (𝒙−𝟏) 𝟐 𝟒

(𝒚−𝟏) 𝟐 𝟗

Centro del cilindro elíptico: C( 1 , 1 , 𝒍 )