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GENERACION DE TENSIONES ALTERNAS SENOIDALES
1.1 Funciones senoidales
Los sistemas actuales de generación de energía eléctrica, presentan una característica senoidal, cuya forma genérica para una fuente de tensión es la se muestra en la figura 1.1.
Función senoidal
t
Tensión
Figura 1.1 Forma de onda senoidal
u(t) = Um sen ωt
Siendo: Um: Amplitud de la onda senoidal ωt : Argumento
ω : Frecuencia angular (Radianes / segundo)
T : Período de oscilación
Se define como frecuencia (f) a la cantidad de períodos por segundo ó sea:
Luego la frecuencia angular será:
[Hz] Ciclospor segundoó Hertz T
f =
Um
T
En el caso en que la función tenga un ángulo de fase θ la expresión es la siguiente:
u(t) =Um sen (ωt + θ)
En esta función el fenómeno ocurre θ/ω radianes antes, lo cual indica que la misma adelanta a u(t) = Um sen ωt, según se muestra en la figura 1.2.
Función senoidal
t
Tensión
Figura 1.2 Función senoidal con ángulo de fase inicial
1.2 Inducción electromagnética
En todo conductor que se mueve a través de un campo magnético, se induce una fuerza electromotriz de acuerdo a la Ley de Faraday. En la figura 1.3 está dibujado un conductor en movimiento a través de un campo magnético, el cual se ha representado por sus dos “polos magnéticos” norte ( N ) y sur ( S ).
Figura 1.3 Movimiento de un conductor dentro de un campo magnético
2 f T
= π
π ω
T
Um
ω
θ
N
S
Líneas de campo magnético
Dirección del movimiento del conductor
El mismo consta de un imán permanente ó electroimán, el cual produce un campo magnético constante, representado por su flujo (Φ). Entre ambos polos (Norte - Sur), se coloca una bobina de “N” espiras, montada sobre un eje, al cual se le impone un movimiento giratorio constante por medio de una máquina impulsora (Motor diesel, turbina de vapor, gas, etc.). Los terminales de dicha bobina se conectan a un par de anillos rozantes fijos al eje (Aislados eléctricamente entre si y del eje), lo cual permite a través de unas escobillas ó carbones, la continuidad eléctrica entre la parte móvil y la fija a la cual se debe llevar la corriente. Si analizamos los fenómenos que ocurren en la bobina en cuestión a lo largo de un giro completo observamos:
- En la posición del dibujo la bobina tiene su eje magnético coincidente con el eje magnético del imán, por lo cual el flujo concatenado por la misma es máximo.
- Al comenzar a girar la bobina, el flujo concatenado va disminuyendo hasta hacerse cero, después de rotar un ángulo de 90 °.
- Continuando en su giro las bobina vuelve a concatenar nuevamente flujo pero en sentido contrario.
- Cuando completa un giro de 180° vuelven a estar los ejes magnéticos en la misma dirección con lo cual el flujo concatenado vuelve a ser máximo pero en sentido contrario al inicial.
- A partir de este instante vuelve a disminuir el flujo hasta hacerse cero cuando completa un giro de 270°
- Desde esta posición la bobina vuelve a concatenar flujo en el sentido inicial, hasta hacerse máximo con el giro completo de la misma.
Si analizamos el flujo concatenado para una posición cualquiera de la bobina en estudio, al girar un ángulo α, tal como se observa en el gráfico de la figura 1.5.
Figura 1.5 Flujo concatenado por una bobina
ϕ = Φ sen α (Flujo concatenado)
α = ωt (Velocidad angular por tiempo)
ϕ = Φ sen ωt
La bobina efectúa “f” revoluciones por segundo, siendo “f” la frecuencia, y como cada revolución comprende 360°, su velocidad angular en radianes será:
ω = 2πf
ω
α S N
De acuerdo a la ley de Faraday - Lenz es:
Em = N Φ ω ⇒ e = Em cos ωt
Lo cual nos lleva a obtener una fuerza electromotriz en los terminales de la bobina cuya variación en el tiempo es de características senoidales (debido al instante en el cual se efectuó el análisis en nuestro caso es cosenoidal). Si se representan los valores instantáneos del flujo concatenado por la bobina y la f.e.m. inducida en la misma, vemos que cuando el flujo concatenado es máximo la f.e.m. inducida pasa por su valor mínimo y cuando es mínimo, la f.e.m. inducida es máxima. Esto nos indica que entre ambos hay un desfasaje de 90°, tal cual se observa en la figura 1.6.
Fuerza electromotriz inducida
t
Flujo magnético
Figura 1.6 Valores instantáneos del flujo concatenado y la fuerza electromotriz inducida
1.4 Corriente alterna
Representación de funciones senoidales por vectores y números complejos
Sea una magnitud cualquiera, por ejemplo una tensión de las siguientes características:
u(t) = Um sen (ωt + θ)
Tomemos ahora un par de ejes ortogonales a – b, de acuerdo con la figura 1.7.
N cos t dt
d e N ω ω
ϕ = = Φ
Diagramas fasoriales
Si en lugar de utilizar los valores máximos ó amplitud de las funciones, utilizamos los valores “eficaces” a dicho diagrama le daremos el nombre de Fasorial. El valor eficaz de una función periódica se define como la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la función. Si la función es de la siguiente característica:
u(t) = Um sen (ωt + θ) su valor eficaz será:
Para una función de características senoidales el valor eficaz de la función es:
Un diagrama fasorial muestra la magnitud y el ángulo de fase de cada cantidad fasorial en el plano de los números complejos. Los ángulos se miden en el sentido antihorario y a partir del eje real positivo, y las magnitudes a partir del origen de coordenadas. Para indicar que el vector que se está analizando es un fasor, se lo identifica: con la letra en negrita , colocándole una raya ó un punto sobre la letra.
U , U, U
Tomemos por ejemplo dos funciones como las siguientes:
u(t) = Um sen ωt y
i(t) = Im sen (ωt - ϕ)
Vemos que la segunda atrasa un ángulo “ϕ” a la primera, por lo tanto su representación fasorial con sus valores eficaces “ U ” e “ I ”, para t = 0, es el dibujado en la figura 1.8.
Figura 1.8 Diagrama de fasores
T 0
2 2 ef Um sen ( t )dt T
U ω θ
U
U
m ef =
U
I
ω
ϕ
Resistores
Al aplicar una tensión alterna senoidal sobre un resistor puro, la corriente que circula por el mismo será de acuerdo a la ley de Ohm :
u(t) = Um sen ωt
Ambos valores están en fase y su representación instantánea y fasorial (Para t= 0), es dibujada en la siguiente figura 1.9.
Tensión
t
Corriente
Figura 1.9 Diagrama de valores instantáneos y fasorial Correspondiente a carga óhmica pura
A los efectos de no trabajar con los valores instantáneos de la corriente y la tensión, se define el valor eficaz de los mismos. El valor eficaz de la corriente alterna es igual numéricamente a la intensidad de una corriente continua tal que, en un intervalo de tiempo igual a un período, libera en una resistencia una cantidad de calor igual a la que libera la corriente alterna.
El calor producido en una resistencia por efecto Joule está dado por:
Pcc = I
2 cc R
En corriente alterna el valor instantáneo de la potencia es:
pca = (Im sen ωt)^2 R = I^2 m sen^2 ωt R
Como: sen^2 ωt = ½ (1 - cos 2ωt) nos quedará:
pca = (R I^2 m/2) (1 - cos 2ωt)
El gráfico correspondiente se observa en la figura 1.10.
ω
IR
U
sen t R
U
R
u(t) (t)
m
iR = = ω
u (^) R
+ iR
Observamos que la tensión tiene un adelanto de 90°, con respecto a la corriente, con lo que sus diagramas de valores instantáneos y fasorial (Para t = 0) son los dibujados en la figura 1.11.
Tensión
t
Corriente
Figura 1.11 Diagrama de valores instantáneos y fasorial correspondiente a carga inductiva pura
Las relaciones entre los valores eficaces está dado por:
U = XL IL
Si tenemos en cuenta estos valores como fasores:
U = ω L IL ejπ/2^ = j ω L IL ejπ/2^ = j
O sea que la multiplicación por “j” hace girar el vector un ángulo de 90° en el sentido antihorario, con lo que nos queda expresado matemáticamente el desfasaje de 90° entre un fasor y el otro. Por lo tanto para dejar expresado este desfasaje que se produce en un inductor, asociaremos “j” a su reactancia y al conjunto lo llamaremos impedancia inductiva:
ZL = j XL [Ω]
Capacitores
En un capacitor ideal al cual le aplicamos una tensión
u(t) = Um sen ωt
La corriente que circulará por el mismo será:
U
IL
ω
En este caso la corriente tiene un adelanto de 90° con respecto a la tensión, lo que se observa en los diagramas de la figura 1.
Lo cual se toma en cuenta en el cálculo fasorial
Llamaremos a Z C = - j XC Impedancia capacitiva [Ω]
Tensión
t
Corriente
Figura 1.12 Diagrama de valores instantáneos y fasorial correspondiente a carga capacitiva pura
Xc
U
I
Xc Reactanciacapacitiva[ ] C
Lamaremosa:
i (t) C U cos t U C sen( t
C(CapacidadenFaradios) dt
du i (t) C
m Cm
C m m
C
ω
π ω ω ω ω
U
e Xc
U
I 2
π
IC
U
ω
C
u
+ iC
La representación vectorial de la impedancia se puede observar en el gráfico de la figura 1.14.
Figura 1.14 Diagrama vectorial de impedancias
Resonancia serie
La impedancia de un circuito serie está dada por la siguiente expresión:
2 f C
R j 2 fL j
Z = + π −
En esta se observa que manteniendo constantes R, L y C, a medida que la frecuencia aumenta, la reactancia inductiva aumenta y la capacitiva disminuye, lo cual nos lleva a que partiendo de un circuito con características capacitivas, al aumentar la frecuencia pasa a tener características inductivas. Cuando las partes reactivas toman el mismo valor, se compensan y el circuito presenta las características de una resistencia para la fuente que lo alimenta. Por ejemplo si tenemos un circuito alimentado por una fuente a la que le podemos variar la frecuencia, vamos a tener un valor de la misma en que se cumple que XL = XC, o sea que:
2 f C
2 f L R
R
Siendo fR la frecuencia para la cual se igualan las reactancias y que llamaremos de resonancia, y cuyo valor será:
L.C
fR
En la figura 1.15 vemos lo aquí analizado, siendo el valor de la resistencia mayor al de las reactancias cuando el circuito se hace resonante. En este caso siendo la corriente única, las caídas de tensión en las reactancias serán menores que en la resistencia, por lo tanto no aparecerán tensiones mayores que los de la fuente, o sea:
U R = R. I = U FUENTE U L = j XL I U C = - j XC I U L + U C = 0
En la figura 1.16 se observan las tensiones sobre los elementos componentes de circuito.
j
j XL
R
Z
ϕ
De acuerdo a los valores de XL ó XC, la impedancia resultante tendrá características “óhmico - inductivas” u “óhmico – capacitivas”. En el gráfico se ha representado una impedancia en la que prepondera la reactancia inductiva
Valor de la im pedancia en función de la frecuencia
Frecuencia [Hz]
R, XL, Xc, Z
Figura 1.15 Valor de las impedancia en función de la frecuencia para R › XL y XC en resonancia
Tensiones en función de la frecuencia
Frecuencia [Hz]
Tensiones [V]
Figura 1.16 Tensiones sobre los elementos componentes del circuito, para R › XL y XC en resonancia
R
Z
XL
XC
(XL - XC)
fR
fR
UR UL
UC
1.5.2 Conexión en paralelo de resistor, inductor y capacitor
En este tipo de conexión todos los elementos reciben la misma tensión según se observa en la figura 1.19.
Figura 1.19 Impedancias conectadas en paralelo
Las corrientes que circularán por cada elemento tendrán los siguientes valores:
La corriente total está dada por la suma fasorial de las corrientes en cada elemento:
I = IR + IL + IC Que reemplazando sus valores nos queda:
I = U (G - j BL + j BC)
Siendo la admitancia del circuito:
Y = G - j BL + j BC (Inversa de la impedancia equivalente)
I = U. Y
C
C L
R L R jX -jX
U
I
U
I
U
I = = =
jX
jX
R
R jXL - jXC L − C
= + + = U + +
U U U
I
jB Susceptanciacapacitiva [Siemens]
- jB Susceptanciainductiva[Siemens] jX
G Conductancia[Siemens] R
Sillamamos:
C C
L L
I R I L I C
U
I
R (^) j XL - j XC
Su representación gráfica es la de la figura 1.20.
Figura 1.20 Diagrama vectorial de admitancias
Resonancia paralelo
En forma análoga al estudio de un circuito serie, en paralelo tenemos:
2 f L
G j 2 fC j
Y = + π − Las partes reactivas se igualan para una frecuencia
L.C
fR
Por lo tanto se puede realizar el mismo análisis que para el circuito serie, trabajando con las admitancias, tal cual se observa en las figuras 1.21.
G
(B B )
Arctg
Donde: Y G (B B )
C L
2 C L
2
j
j BC
G
Y
ϕ
Ejercicio N° 2 : Para el circuito de la figura hallar el valor de las corrientes y tensiones y dibujar el fasorial correspondiente
XL = ω L = 2π 50. 50. 10 -3^ = 15,7 Ω
XC = 1/ω C = 10^6 /2π 500 = 6,37 Ω
ZRC = 5 - j 6,37 = 8,1 ∠ - 51,87° Ω YRC = 1/ ZRC = 0,123 ∠ 51,87° S
ZRL = 5 + j 15,7 = 16,48 ∠ 72,33° Ω YRL = 1/ ZRL = 0,061 ∠ - 72,33° S
YBC = YRC + YRL = 0,076 + j 0,097 + 0,019 - j 0,058 = 0,095 + j 0,
YBC = 0,103 ∠ 22,32° S ZBC = 1/ YBC = 9,71 ∠- 22,32° Ω
Z = 10 ∠ 0° + 9,7 ∠- 22,32° = 10 + 8,98 - j 3,69 = 18,98 - j 3,
Z = 19,34 ∠- 11° Ω
I = U/Z = 220 ∠ 90 / 19,34 ∠- 11° = 11,38 ∠ 101° A
UBC = I. ZBC = 11,38 ∠ 101°. 9,71 ∠- 22,32° = 110,5 ∠ 78,68° V
A
B
C
U AB D
U BC
U CD
U AD
ω
I
I RL I RC
U = 220 ∠90° [V]
50 Hz
I
50 mH 500 μF
A 10 Ω B
C
IRL = UBC. YRL = 110,5 ∠ 78,68°. 0,061 ∠- 72,33° = 6,74 ∠ 6,35° A
IRC = UBC. YRC = 110,5 ∠ 78,68°. 0,123 ∠ 51,87° = 13,59 ∠ 130,55° A
UAB = 10 ∠ 0°. 11,38 ∠ 101° = 113,8 ∠ 101° V
I
I RL
I RC
U AB
U BC U
ω
