PARCIAL
3`
Algebra i C`alcul Multivariable
20 de novembre 2019
Problema Trobeu els extrems de la funci´o f(x, y) = (x−2)2+y2en l’el.lipse
d’equaci´o
4(x−2)2+ (y−1)2= 1.
Resposta
Per a calcular els extrems de f(x, y) = (x−2)2+y2amb la condici´o
g(x, y) = 4(x−2)2+ (y−1)2−1 = 0,
observem que f, g ∈ C∞(R2) i per tant es pot aplicar el m`etode dels multiplicadors
de Lagrange. Hem de comprovar que
(a) El conjunt K={(x, y)∈R2|g(x, y) = 0}est`a fitat.
(b) Per a qualsevol (x, y)∈Kes compleix ∇g(x, y) = g′(x, y)6= (0,0).
El punt (a) es compleix at`es que una el.lipse ´es sempre fitada. Per comprovar el
punt (b) calculem g′(x, y). Tenim
g′(x, y) = ∂g
∂x (x, y),∂g
∂y (x, y)=8(x−2),2(y−1),
aix´ı que g′(x, y) = (0,0) si i nom´es si x= 2 i y= 1. Observeu que el punt
(2,1) /∈Kaix´ı que es satisf`a el punt (b). En conseq¨u`encia,
(i) Kcont´e un m`axim i un m´ınim de famb la condici´o g(x) = 0.
