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ÀLGEBRA I CÀLCUL MULTIVARIABLE
Curs 2017-
Solución del Parcial 1, Q
Problema 1. Sean C la base canónica de R
3 y f : R
3 −→ R
3 la aplicación lineal dada por
f (x, y, z) = (− 2 x + 4y + 5z, − 3 x + 5y + 5z, z).
Se pide:
(i) Dar la matriz de f en la base C.
(ii) Determinar si la aplicación lineal f diagonaliza, y en su caso, hallar la forma diagonal
y una base de vectores propios.
Solución:
(i) Para hallar la matriz de f en la base C basta hallar las imágenes de los vectores de
la base canónica y expresarlos, a su vez, en base canónica.
[f ]C =
(ii) Denotamos por A = [f ]C , y calculamos el polinomio característico de f :
pf (λ) = det(A − λI) =
− 2 − λ 4 5
− 3 5 − λ 5
0 0 1 − λ
= −(λ − 1)
2 (λ − 2).
Por tanto, la ecuación característica de f es
(λ − 1)
2 (λ − 2) = 0,
y el espectro es
σ(f ) = { 1 , 2 } con m 1 = 2 y m 2 = 1.
Para determinar si la aplicación lineal es diagonalizable tenemos que hallar los subespacios
de vectores propios asociados a cada uno de los valores propios y estudiar la dimensión de
cada uno de ellos.
(a) Ker(A − I) = 〈(5, 0 , 3), (0, 5 , −4)〉, ya que si ~u = (x, y, z)
(A − I)(~u) =
x
y
z
− 3 x + 4y + 5z
− 3 x + 4y + 5z
=^
~ 0 ⇐⇒ z =
3 x − 4 y
(b) Ker(A − 2 I) = 〈(1, 1 , 0)〉, ya que si ~u = (x, y, z)
(A − 2 I)(~u) =
x
y
z
− 4 x + 4y + 5z
− 3 x + 3y + 5z
−z
=^ ~^0 ⇐⇒^ x^ =^ y, z^ = 0.
Como dimKer(A − I) = 2 que coincide con la multiplicidad del autovalor en el polinomio
característico, la aplicación lineal f diagonaliza. La matriz diagonal correspondiente y una
base de vectores propios son
y^ [I]N C =
Problema 2. Calcular una base y la dimensión del subespacio
F =
(x, y, z, t) ∈ R
4 tal que z − x = 0, t − y = 0
© cCarmona, Á. & Trías, J. ÀLGEBRA I CÀLCUL MULTIVARIABLE. EEBE, 2017
