Partículas Identicas: Indistinguibilidad y Simetria en Física Cuántica, Exámenes de Mecánica

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Partículas idénticas

Este concepto surge ante el tratamiento de sistemas de muchas partículas y su indistinguibilidad en la mecánica cuántica Ejemplos: Átomos, moléculas, núcleos, etc.

Los estados de una partícula en mecánica clásica queda espeficado por su posición y velocidad en cierto punto del espacio y su posterior evolución.

• En física clásica el problema de la indistinguibilidad no se presenta ya que en esta las partículas siguen una trayectoria bien definida que permite distinguir unas de otras. Los estados de las partículas cuánticas están especificados por un conjunto de números cuánticos.
• Recordar que en mecánica cuántica no hay trayectorias.

Indistiguibilidad – Incerteza (σ)

DOS PARTÍCULAS EN UNA CAJA UNIDIMENSIONAL

CASO CLÁSICO CASO CUÁNTICO

se conoce el estado final no se conoce el estado final

• Dificultad: si se quiere calcular la probabilidad de alguna medición se necesita conocer el estado final
• Origen del problema: el INTERCAMBIO de las partículas durante el proceso ¿cuál de los dos estados posibles es el resultante? ¿cómo se calculan las probabilidades de ambos? ¿proveen los mismos resultados?

Ambos estados son solución de la ecuación de Schrödinger y degenerados

Las dos densidades de probabilidad serán entónces

Considerando,

• Cada uno de estos estados representa el mismo estado físico DEGENERACIÓN DE INTERCAMBIO
• Esto genera dificultades esenciales en nuestro camino LA DEGENERACIÓN DEBE SER REMOVIDA
• La linealidad de la ecuación de Schrödinger, induce a probar una solución más general como una combinación lineal de ambas
• No hay estados privilegiados, ambos coeficientes deben tener el mismo módulo. Estas son la únicas formas que preservan la forma física adecuada, es decir que ambas soluciones tengan el mismo “peso”. Por ello, estas dos soluciones degeneradas son su suma o su resta,

Que ante intercambio de las partículas se comportan según Simétrica Antisimétrica Ambas funciones tienen la misma energía que cada una de las cuales son combinación

POSTULADO DE SIMETRIZACIÓN

Cuando un sistema está formado por varias partículas idénticas, los estados físicos del sistema solo pueden ser descriptos por cierto tipo de funciones de estados dependiendo de la naturaleza de las partículas idénticas. Estados completamente simétricos (S) o completamente antisimétricos (A) respecto de la permutación de las partículas. Aquellas partículas cuyos estados sean S se denominan BOSONES, mientras aquellas que se comporten como A, FERMIONES. Consecuencia de estos resultados introduce el siguiente POSTULADO que da cuenta de ello

• Observando las funciones propias antisimétrica y simétrica del sistema de dos partículas idénticas, se puede notar que la forma matemática es la de un permanente/determinante, respectivamente Nótese que en 2b, si 2a 2b

Construcción del estado físico del sistema

• Se numeran todas las partículas idénticas y se construye una función de estado correspondiente a ese número de partículas
• Se aplican las reglas de simetrización según sean bosones o fermiones
• Se normaliza el estado de esto RESULTA

Antes de comenzar con la interpretación y

consecuencias de esta construcción surge una

pregunta en forma natural

¿La función de estado es siempre simétrica o

antisimétrica?

La respuesta se encuentra observando la

ecuación de evolución