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FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ATICA´ Segundo semestre 2018
Departamento de Matem´
atica - Universidad del B´
ıo-B´
ıo - 2018-
Pauta Sumativa 1: Algebra Lineal MOD2 (220167-220141)´
- (25 puntos) Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique sus respuestas ( optar por 5 de ellas).
a) (V) Si T : V → W es un isomorfismo, entonces Im(T ) = W. Justificaci´on Si T es un isomorfismo entonces T es biyectiva y se cumple que Ker(T ) = {θV } y Im(T ) = W. (5 puntos) b) (V) Si T : R^3 → R^2 T una transformaci´on lineal, entonces T −^1 no existe. Justificaci´on Para que T −^1 exista T debe ser un isomorfismo, pero T : R^3 → R^2 y los espacios R^3 y R^2 no son isomorfos. (5 puntos)
c) (F) T : R^2 → M 2 (R) dada por T (x, y) =
x + y y − x 1 − x y + 2x
es una transforma- ci´on lineal Justificaci´on Se tiene: T (0, 0) =
. Luego, no puede ser lineal.
d ) (V) Sean V espacio vectorial, B 1 = {v 1 , v 2 } y B 2 = {w 1 , w 2 } bases de V. Si
[v 1 ]B 2 =
, [v 2 ]B 2 =
y [v]B 1 =
, entonces [v]B 2 =
Justificaci´on Como AB 1 B 2 =
y [v]B 1 =
, entonces [v]B 2 = AB 1 B 2 [v]B 1 = ( 1 1 1 2
(5 puntos)
e) (F) Sean V = P[R], con producto interior 〈p, q〉 =
0 p(x)q(x)dx.^ p(t) =^ t^ + 1 y q(t) = a − t son ortogonales si a = 2. Justificaci´on
〈(t + 1), (a − t)〉 =
0 (t^ + 1)(a^ −^ t)dx^ =
[
at^2 2
t^3 3
t^2 2
] 1
0
a 2
Si a = 2 entonces 〈(t + 1), (a − t)〉 =
= 0 (5 puntos)
f ) (V) Sean V espacio vectorial, B 1 = {v 1 , v 2 } y B 2 = {v 1 + v 2 , 2 v 1 − v 2 } bases
de V. La matriz de cambio de base de B 1 a B 2 es A =
Justificaci´on Como la matriz cambio de base de B 2 a B 1 es: C = [Id]B 2 B 1 =
, luego
A = [Id]B 1 B 2 = C−^1 =
(5 puntos)
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- (25 puntos) Desarrolle
a) Sean V = R^3 espacio vectorial con producto interior usual y S = {(x, y, z) ∈ R^3 / 2 x − y + z = 0}. Halle su complemento ortogonal de S. Adem´as, una base ortogonal de S Soluci´on Como 2x−y +z = 0 entonces z = y − 2 x. Tomando t 1 = x y t 2 = y par´ametros, se tiene que (x, y, z) = (t 1 , t 2 , t 2 − 2 t 1 ) = t 1 (1, 0 , −2) + t 2 (0, 1 , 1). Luego
S = gen{(1, 0 , −2), (0, 1 , 1)}
Entonces el complemento ortogonal es
S⊥^ = {(x, y, z) ∈ R^3 /(x, y, z) · (1, 0 , −2) = 0 ∧ (x, y, z) · (0, 1 , 1) = 0} = {(x, y, z) ∈ R^3 /x − 2 z = 0 ∧ y + z = 0} = {(x, y, z) ∈ R^3 /x = 2z ∧ y = −z} ( 7 puntos)
Ahora para hallar una base ortogonal de S tomamos la base B = {(1, 0 , −2), (0, 1 , 1)} de S y aplicamos el proceso de ortogonalizaci´on de Gram Schmidt a B.
u 1 = (1, 0 , −2)
u 2 = (0, 1 , 1) −
Entonces una base ortogonal para S es
B′^ =
( 7 puntos)
b) Sean V = P[R], B 1 = {t, t+2} y B 2 = { 2 t, t− 1 } y p(t) = 5t−3. Halle [p(t)]B 2 usando la matriz de cambio de base. Soluci´on La matriz de cambio de base de B 1 a B 2 se puede obtener resolviendo las siguientes ecuaciones
t = α 2 t + β(t − 1) y t + 2 = γ 2 t + δ(t − 1)
O bien t = (2α + β)t − β y t + 2 = (2γ + δ)t − δ Entonces obtenemos lo siguiente
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b) Halle Im(L) y una base de ´esta. Soluci´on Por el teorema dimensiones para T.L., se tiene dim(P 2 [R]) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )) ⇒ 3 = 1 + dim(Im(T )) ⇒ dim(Im(T )) = 2. Por lo tanto, T es sobreyectiva, luego Im(T ) = R^2 ( 7 puntos) y una base para sta es: {(1, 0), (0, 1)} (3 puntos)
- (30 puntos) Dada la aplicaci´on T : R^3 → R^3 dada por
T (x, y, z) = (x − y, y − x, 2 x − 2 y + z)
a) Demuestre que T es una transformaci´on lineal. Soluci´on Para que T sea una transformaci´on lineal debe cumplir que: T (u + v) = T (u) + T (v) y T (αu) = αT (u). Sean (x, y, z) y (a, b, c) dos elementos de R^3 y α ∈ R. Entonces
T ((x, y, z) + (a, b, c)) = T (x + a, y + b, z + c) = (x + a − (y + b), y + b − (x + a), 2(x + a) − 2(y + b) + z + c) = (x − y, y − x, 2 x − 2 y + z) + (a − b, b − a, 2 a − 2 b + c) = T (x, y, z) + T (a, b, c) ( 5 puntos)
Y adem´as
T (α(x, y, z)) = T (αx, αy, αc) = (αx − αy, αy − αx, 2 αx − 2 αy + αz) = α(x − y, y − x, 2 x − 2 y + z) = αT (x, y, z) ( 5 puntos)
Luego, T es una transformaci´on lineal. b) Obtenga el N´ucleo (Kernel) de T. Soluci´on El n´ucleo de la transformaci´on lineal debe cumplir que
(x − y, y − x, 2 x − 2 y + z) = (0, 0 , 0)
Formando la matriz ampliada y realizando operaciones elementales se obtiene lo siguiente
(^) ( 5 puntos)
De lo cual se obtiene que x = y ∧ z = 0 Tomando un par´ametro λ = x se obtiene que
Ker(T ) = {(λ, λ, 0) : λ ∈ R} = gen{(1, 1 , 0)} ( 5 puntos)
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c) Obtenga la Imagen de T. Soluci´on Tomando un (a, b, c) ∈ R^3 arbitrario tenemos que
(x − y, y − x, 2 x − 2 y + z) = (a, b, c)
Formando la matriz ampliada y realizando operaciones elementales se obtiene lo siguiente
1 − 1 0 : a − 1 1 0 : b 2 − 2 1 : c
1 − 1 0 : a − 1 1 0 : b 0 0 1 : 2 b + c
1 − 1 0 : a 0 0 0 : a + b 0 0 1 : 2 b + c
(^) ( 5 puntos)
De lo cual se obtiene que a + b = 0 Entonces la imagen es
Im(T ) = {(a, b, c) ∈ R^3 : a + b = 0} ( 5 puntos)
AO 27 de octubre de 2018
