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Tema Pendiente Deflexión
ESCUELA PROFESIONAL
DE INGENIERÍA CIVIL
MOQUEGUA 2021
CURSO:
MSc. RUTH M. JINES C. SEMESTRE:2021 - I FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
ANÁLISIS
ESTRUCTURAL I
Introducción al Análisis Estructural
Durante los cursos anteriores de estática y
resistencia de materiales, estructuras 1 se
desarrollaron los fundamentos de análisis
estructural al calcular las fuerzas internas
en las barras de las armaduras, marcos y
vigas al igual que se aprendió construir
diagramas de momentos y cortantes en viga
y marcos.
Ahora ampliaremos estos conceptos esenciales mediante la aplicación en forma
sistemática de algunos métodos para la resolución de estructuras determinadas e
indeterminadas, desplazamientos y asentamientos diferenciales.
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ANÁLISIS
ESTRUCTURAL I
Que es una estructura Estáticamente indeterminada
Se denomina de esta manera a una barra sujeta a carga laterales o perpendicular a
su eje longitudinal, en la que el número de reacciones en los soportes superan al
número de ecuaciones disponibles del equilibrio estático, esto es: el número de
incógnitas es mayor que el numero de ecuaciones para la resolución de la
estructura.
Un tipo de viga hiperestática es aquella que tiene más de dos soportes, y que se denomina Viga
Continua, como sólo se dispone de tres ecuaciones de equilibrio; ∑M, ∑Fx y ∑Fy, la viga es
estáticamente indeterminada o hiperestática pues no es posible conocer las tres reacciones con solo
las tres ecuaciones. (Hay más incógnitas que ecuaciones).
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ANÁLISIS
ESTRUCTURAL I
Este caso corresponde a una barra mucho más compleja de analizar puesto que ahora
existen cinco reacciones externas de soporte; las fuerzas cortantes verticales y el
momento flexionante en el empotramiento ubicado en “A”.
Determinación o indeterminación Estática
Para la solución de estas vigas se requieren ecuaciones adicionales a las del equilibrio estático, un
camino a seguir consiste en hacer el análisis de las deformaciones angulares o rotaciones de los nodos
cuando las barras se flexionan (pandean), bajo el efecto de las cargas aplicadas. (Este análisis se plantea
más adelante) de ahí surgen varios métodos de análisis como el método de trabajo virtual, primero y
segundo teorema de Castigliano, el método de pendiente deflexión, etc..
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ESTRUCTURAL I
Método de Pendiente Deflexión: Clasificado dentro de los métodos clásicos, se fundamenta en
un análisis de desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en función de
las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones
son solucionadas para obtener los valores de desplazamientos y rotaciones, para finalmente
determinar los valores de fuerzas internas.
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ESTRUCTURAL I
Se definen nodos como los puntos donde la estructura tiene desplazamientos y/o
rotaciones y grado de libertad como un desplazamiento o rotación que puede tener un
punto de una estructura por efecto de aplicación de carga sobre la estructura.
Pendiente de la Elástica
𝑑𝑦ଶ^
Quedando expresado el Angulo entre las tangentes a la curva de deflexión en los puntos
c y d, que es igual al área del diagrama M/EI entre esos puntos y tiene el mismo signo
de este.
Método pendiente deflexión
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ESTRUCTURAL I
DEDUCCION DE LAS ECUACIONES
Las ecuaciones pendiente-deflexión, con las que se determinan los momentos flexionantes en
los extremos de los elementos estructurales, considerando efectos de flexión y despreciando
los efectos de la fuerza cortante, fuerza normal y torsión, se establecen en función de:
- Cargas en el claro.
- Rotaciones en los extremos de los elementos estructurales. (Giros de la tangente en los
extremos de la curva elástica de la barra.)
- Desplazamiento transversal relativo de los extremos del elemento estructural. (Rotación de
la cuerda que une los extremos de la curva elástica de la barra.)
Tomando en cuenta únicamente las condiciones de carga y deformación mencionados, las
ecuaciones pendiente-deflexión, en un miembro prismático con comportamiento elástico
lineal, se obtienen como una superposición de causas y efectos a traves de las siguientes
consideraciones:
1. Considérese el elemento estructural
mostrado en la siguiente figura (el cual
puede ser uno de los elementos
estructurales que conforman un marco
rígido).
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2. Por condiciones de carga externa, los nodos A y B se consideran sometidos a la acción de
momentos desequilibrantes, lo que origina desplazamientos angulares en tales nodos.
3. Es posible que se dé un desplazamiento
transversal ∆, relativo entre los nodos A y B,
que origina una rotación de la cuerda que une
los extremos A y B de la curva elástica. El
desplazamiento ∆ puede ser ocasionado por
asentamientos en los apoyos o bien por
aplicación de fuerzas horizontales en el caso de
marcos rígidos.
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De la fig. 1.6 se tiene que:
Sustituyendo estas últimas en (1.3 ), se tiene que:
Resolviendo las ecuaciones simultáneas (1.7 ), se tiene
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ESTRUCTURAL I
Éste es un método utilizado antiguamente para la resolución casi exclusiva de vigas
hiperestáticas.
No se deducirán en esta publicación los pormenores de la deducción de las fórmulas
de dicho método. Sin embargo si se explicarán a continuación las fórmulas del
método.
El método de pendiente deflexión cuenta con dos fórmulas básicas:
A y B son los dos extremos de un tramo de la viga entre dos apoyos. Como las vigas
hiperestáticas tienen más de un tramo, en una viga de dos tramos se tendrán por
ejemplo la dupla de momentos (Mab – Mba) y para el siguiente tramo la dupla de
momentos (Mbc – Mcb).
Método de Pendiente Deflexión ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MOQUEGUA 2021
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ANÁLISIS
ESTRUCTURAL I
Ejemplo Para tener una idea más clara del método, se propone el siguiente ejercicio:
Se debe encontrar los momentos en los puntos A, B, C
Para este ejercicio, se plantean las ecuaciones de
pendiente deflexión para cada tramo:
Además por las condiciones del problema, las
condiciones de contorno dictan que:
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ESTRUCTURAL I
Y si escribimos el sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas de forma matricial, queda
Y resolviendo el sistema, se tiene como resultado:
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ANÁLISIS
ESTRUCTURAL I
traduciendo estos resultados en forma gráfica para cada tramo de la viga según la convención de signos del método: Se debe tener en cuenta que la convención de signos para equilibrar momentos mediante ecuaciones es diferente a la convención de signos utilizada para la graficación de diagramas de momentos flectores. En los diagramas de momentos flectores se utiliza la convención de signos que dicta que los momentos son positivos si la tracción de fibras ocurre en la parte inferior de la viga. Por otro lado si la tracción ocurre en las fibras superiores de la viga el diagrama de momentos en ese punto es positivo. Así entonces: Posteriormente se pueden, a partir de estos resultados, calcular los cortantes, ecuaciones de los diagramas de momento, y puntos máximos de cada tramo. Sin embargo esto se realizará en un siguiente post.
