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Péndulo Simple
Antecedentes
Se puede decir que el péndulo es el símbolo de la ciencia. Con este elemento tan
simple, se pudo comprobar la translación de la tierra, ya que este se mantiene
siempre en el mismo lugar, demostrando el giro de la tierra.
El principio del péndulo fue descubierto originalmente por Galileo (físico y
astrónomo), quien estableció que el periodo de oscilación es independiente de la
amplitud (distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio).
Por el contrario, sí depende de la longitud del hilo.
Luego surgió justamente lo que te dije al principio: péndulo de Foucault es un
péndulo largo que puede oscilar libremente en cualquier plano vertical y capaz de
oscilar durante horas. Se utiliza para demostrar la rotación de la Tierra y la fuerza
de Coriolis. Se llama así en honor de su inventor, León Foucault.
Péndulo, usado en los relojes y otros instrumentos para medir con precisión el
tiempo.
Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila
de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en
varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes.
En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que
toda la masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y
dicho punto sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se
aproxima bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no está
limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más
complejo.
El principio del péndulo fue descubierto por Galileo, quien estableció que el periodo
de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse
independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el
péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy
grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles
aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin
embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía
con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa
según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor
en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con
precisión la aceleración local de la gravedad.
“El fenómeno del Péndulo Simple pasó de ser un "formulazo" a un modelo, y de éste
a un experimento, pero la historia no estaba terminada aún. Investigando más
sobre el péndulo "simple" , llegué a encontrar que Galileo por allá del siglo XVI
Este descubrimiento tenía importantes aplicaciones para la medida de intervalos
de tiempo. En 1602 explicó el isocronismo de péndulos largos en una carta a un
amigo, y un año después a otro amigo, Santorio Santorio, un físico de Venecia, que
comenzó a usar un péndulo corto, al que llamó "pulsilogium", para medir el pulso
de sus pacientes. El estudio del péndulo, el primer oscilador armónico, data de este
periodo.
El movimiento del péndulo planteaba interesantes problemas. ¿Qué movimiento
era más rápido desde un punto elevado a otro más bajo, aquél a lo largo de un arco
circular como un péndulo o aquél a lo largo de una línea recta como en un plano
inclinado? ¿Afecta el peso del péndulo al periodo? ¿Cuál es la relación entre la
longitud y el periodo? A través de su trabajo experimental, el péndulo nunca se alejó
demasiado de los pensamientos de Galileo. Pero también estaba la cuestión de su
uso práctico.
Un péndulo podría usarse para medir pulsos o actuar como un metrónomo para
estudiantes de música: sus balanceos medían intervalos de tiempo iguales. ¿Podría
usarse también para mejorar los relojes? El reloj mecánico, que usaba un cuerpo
pesado para proporcionar el movimiento, comenzó a desplazar al reloj de agua en
la Edad Media. Por sucesivas mejoras, el sistema se había hecho más pequeño y
más fiable. Pero la precisión de los mejores relojes era todavía demasiado mala
para, por ejemplo, tener utilidad en astronomía. No solo se adelantaban o
retrasaban, sino que además lo hacían de una forma irregular e impredecible.
¿Podría añadirse un péndulo al mecanismo de escape de un reloj para regularlo?
En 1641, a la edad de 77 años, totalmente ciego, Galileo centró su atención en este
problema. Vincenzo Viviani describe los sucesos tal y como sigue:
"Un día de 1641, cuando yo vivía con él en su pueblo en Arcetri, recuerdo que se le
ocurrió la idea de que el péndulo podría ser adaptado a relojes con pesos, sirviendo
en lugar del habitual tempo, confiando en que el movimiento natural y uniforme
del péndulo corregiría todos los defectos del arte de los relojes. Pero dado que
estaba privado de la vista, no pudo hacer dibujos y modelos del efecto deseado, y le
contó a su hijo Vicenzio que venía un día de Florencia a Arcetri su idea y
discutieron sobre ella. Finalmente decidieron un esquema que debería ser puesto
en práctica para aprender de las dificultades que aparecerían y que no se habrían
previsto por la teoría."
Vivani escribió esto en 1559, diecisiete años después de la muerte de Galileo y dos
años después de la publicación de Horologium de Christiaan Huygens, en el que
éste describía su reloj de péndulo.
Movimiento Armónico Simple
Siempre que un objeto se deforma siempre, aparece en él una fuerza elástica de
restitución que es proporcional a la deformación que ha sufrido. Cuando la fuerza
Movimiento vibratorio
Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada
vibración pasa por él. Y las amplitudes que se generan en ambos lados son iguales.
Velocidad en el M.A.S
Considere un cuerpo que se mueve de un lado a otro, bajo la influencia de una fuerza
de recuperación. Puesto que la dirección del cuerpo que vibra se invierte en los
puntos extremos de su movimiento, su velocidad debe ser cero cuando su
desplazamiento es máximo. Entonces se acelera hacia el centro mediante la fuerza
de recuperación, hasta que alcanza su máxima velocidad en el centro de la
oscilación, cuando su desplazamiento es cero.
En el supuesto en el que se tenga un cuerpo que vibra en la que su velocidad se
compara en tres distintos instantes con los correspondientes puntos sobre el
círculo de referencia. Se observará que en la velocidad del cuerpo que vibra, en
cualquier instante dado, es la componente horizontal de la velocidad tangencial del
punto de referencia. En un segundo instante en el que el punto de referencia se
mueve en dirección vertical hacia arriba y no tiene velocidad horizontal. Por lo
tanto, este punto corresponde a la velocidad cero del cuerpo que vibran cuando este
alcanza su amplitud A. En un tercer instante C la componente horizontal es igual a
su magnitud total. Este punto corresponde a una posición máxima velocidad para
el cuerpo que vibra, es decir, a su centro de oscilación. En general, la velocidad del
cuerpo que vibra en cualquier punto se determina a partir del circulo de referencia
en la siguiente forma:
𝑇
sin 𝜃 = −𝑣
𝑇
sin 𝜔𝑡
El signo es negativo en virtud de que la dirección de la velocidad es hacia la
izquierda, Podemos darle una forma mas conveniente a la ecuación tomando en
cuenta la relación entre la velocidad tangencial y la velocidad angular:
𝑇
Entonces tendríamos que:
𝑣 = − 2 𝜋𝑓𝐴 sin 2 𝜋𝑓𝑡
Donde A describe a cualquier cuerpo.
Periodo y Frecuencia
Periodo
Se define periodo al tiempo que toma para realizar un recorrido completo u
oscilación.
Frecuencia
Es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo. Puesto que el
periodo es el tiempo en que se realiza una oscilación, la frecuencia tiene que ser
reciproco del periodo es decir:
péndulo simple y su longitud L con la aceleración de la gravedad lo que nos deja lo
siguiente:
Para obtener la frecuencia del oscilador del péndulo aplicaremos el principio de la
conservación de la energía
teniendo que:
ℎ = 𝐿 − 𝐿 cos 𝜃
Por otra parte la trayectoria del péndulo es un arco
de circunferencia. Su movimiento podemos
describirlo de manera tangencial y de manera
normal, lo que describe aproximadamente un
movimiento armónico simple, Al soltar la masa en
reposo, la fuerza que actuará sobre ella será la
componente tangencial del peso:
𝐹 = −𝑚𝑔 sin 𝜃
L
M
𝐿 ∙ cos 𝜃
h
Por lo que la fuerza es proporcional y de signo contrario al desplazamiento siendo
constante:
Este tipo de fuerza recuperadora es la que caracteriza al movimiento armónico
simple, en el que la frecuencia de oscilación 𝛚 viene dada por la relación
2
Siendo T el periodo de oscilación. Al sustituir K obtenemos la formula general que
ya había mencionado
Ejemplo
En un experimento de laboratorio un estudiante recibe un cronómetro, una lenteja
de madera y un trozo de cuerda. Se le pide que determine el valor de la aceleración
de la gravedad. Si el estudiante construye un péndulo simple de 1 m de longitud y
al medir el periodo, este es de 2s ¿Qué valor obtendrá para gravedad?
En la posición 𝜃, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial.
2
𝑙 − 𝑙 cos 𝜃
La energía se conserva. Para calcular la velocidad del péndulo tendríamos la
siguiente formula:
2
= 2 𝑔𝑙( 3 cos 𝜃 − 2 cos 𝜃
0
Y la tensión de la cuerda se calcula en función del ángulo entonces tenemos lo
siguiente:
𝑇 = 𝑚𝑔( 3 cos 𝜃 − 2 cos 𝜃
0
La tensión de la cuerda no es constante, si no que varía con la posición angular 𝜃.
Su valor máximo se alcanza cuando 𝜃 = 0 , el péndulo pasa por la posición de
equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando 𝜃 = 𝜃 0
(la velocidad
es nula)
Bibliografía
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Tippens, P. E. (2001). Física, Conceptos y Aplicaciones (Sexta ed.). (A. C. Ruiz, Trad.)
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