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CAPITULO X
PERFILES LONGITUDINALES y TRANSVERSALES PENDIENTES
10-1. Nivelación de perfiles longitudinales.-A la operación de nivelar puntos situados a corta distancia entre sí, a lo largo de una alineación determinada, se le llama nivelación de un perfil. En los proyectos y levantamientos topográficos para carreteras, ferrocarriles, canales, etcétera, se colocan estacas u otras señales a intervalos regulares a lo largo de una alineación ya fijada, ordinariamente en el eje de la obra. El intervalo entre las estacas suele ser de 100 m, y a veces menor, de 50 m y hasta de 25 ó 10 m. Los puntos situados de 100 en 100 m, contados y numerados desde el arranque del perfil, se llaman puntos principales (o estaciones enteras), y todos los demás son puntos destacados (o estaciones decimales). En cada estaca se pinta el número de la estación y la fracción; p. ej., una estaca colocada a 1600 m del origen se numera así: '«16)) ó «16 + 00)), y otra clavada a 1625 m de] punto inicial se numera de este modo: «16 + 25». Las alturas que sirven para dibujar e] perfil se obtienen por lecturas de mira sobre todas las estacas y sobre puntos intermedios en que haya cambios de pendiente.
Perfil longitudinal.
La figura representa, en planta y en alzada, la nivelación de un perfil longitudinal. En este caso las estacas se suponen clavadas de 100 en 100 m. Se estaciona el equialtímetro en un sitio apropiado, tal como N¡, que no tiene que estar forzosamente sobre la alineación, y estando la mira en un punto permanente (P. M. 28, de cota 169,293), se hace una lectura de espalda y se deduce la cota del instrumento (175,761) como en una nivelación compuesta .ordinaria. Se hacen lecturas sobre la mira colocada
en todas las estacas sucesivas, y como no se conoce la cota de estos puntos, tales lecturas son realmente niveladas de frente, sin tener en cuenta si están hacia adelante o hacia atrás respecto al sentido de avance del itinerario. Estas lecturas se llaman niveladas de frente intermedias para diferenciarlas de las tomadas en los puntos permanentes o de cambio. Estas lecturas intermedias (2,1; 8,7; ... ; 3,57), restadas de la C 1. (169,761), dan la cota de los puntos correspondientes. Una vez que llega la mira a un punto a partir del cual no se alcanza a hacer más lecturas, se toma" un punto de cambio (P. CI) y se hace una lectura de frente (3,489) para darle co~a. Se estaciona entonces el nivel en otro punto (N 2 ), bien delante respecto al anterior, y se hace una lectura de espalda (1,23) sobre el punto de cambio (P, C (^) I ) en que se acaba de poner la mira. Se hacen lecturas desde esta estación sobre puntos del itinerario del mismo modo que en la anterior. El portamira coloca además la mira en todos los puritos con cambio de rasante (609 + 50, 610 + 40, ".:, 610 + 65), y se hacen las correspondientes lecturas de mira. Las décimas, o sea la distancia de cada punto intermedio al punto principal anterior, se miden a pasos, con cinta o con estadía, según la precisión requerida.
Como se ve, las cotas se arrastran hacia "adelante como en la nivelación corriente para dar cota a puntos permanentes; es decir, mediante puntos de cambio. La exactitud en las observaciones sobre' estos últimos puntos depende de la distancia entre puntos permanentes cuyas cotas hayan sido determinadas previamente y de la precisión exigida para el perfil; de ordinario, en estos perfiles las lecturas se aproximan al doble milímetro, no teniendo que preocuparse" demasiado de la igualdad entre las distancias de -frente y de espalda; las lecturas de frente sobre los puntos intermedios Se aproximan" solo al doble centímetro. Hay ocasiones en que es conveniente o necesario apreciar el doble milímetro en la lectura de puntos intermedios, como sucede a veces en ciertos tramos de vía férrea o en los canales; en estos casos se hacen las lecturas hasta el 0,5 mm, y se igualan las distancias en las niveladas de frente y de espalda.
A medida que se avanza en la nivelación del perfil se suelen ir estableciendo puntos permanentes para facilitar trabajos ulteriores. Siempre que sea posible se hacen puntos de cambio en estos puntos permanentes. Muchas veces es necesario, y siempre conveniente, comprobar la" cota de los puntos de cambio, en los itinerarios de poca longitud de nivelación compuesta, que enlazan el eje principal del perfil con referencias determinadas en otro levantamiento, Excepto en trabajos de importancia no usual, el efecto de un error accidental en las cotas de un perfil no justifica el exceso de labor que supone una doble nivelación, siendo suficiente la comprobación de los puntos de cambio.
10-2. Registro de campo en los perfiles.-En la figura 10-2 se ve un formulario para la anotación de datos de campo en la nivelación de un perfil, donde las lecturas de frente sobre los puntos de cambio y puntos
1.0 Excavación o relleno sobre una superficie dada.-Supongamos que hay que excavar o rellenar una superficie dada hasta una cierta profundidad o altura, como en el ca.so de excavar los cimientos para un edificio o rellenar una parcela dada para dejarla llana. Se toman perfiles transversales del modo indicado en la sección 10-4, aunque ordinariamente los lados de los cuadrados en cuyos vértices se clavan las estacas pueden ser menores de 100 m, llegando a veces a ser hasta de 3 m. Una vez determinada la pendiente de la superficie dada, y conociendo la profundidad (} la altura del corte o del relleno, se puede calcular fácilmente el volumen de tierra correspondiente.
2.° Excavación de una trinchera o zanja.-Cuando se trata de excavar una zanja más o menos grande (desagüe, enterramiento de tuberías, etc.) se levanta un itinerario de nivelación a lo largo de la línea propuesta. Una vez conocida la pendiente del fondo, se puede calcular la sección en cada estación. Dada la anchura de la zanja en el fondo y en la superficie del terreno, así como la profundidad en cada estación, se puede calcular el volumen de tierra a excavar.
3.° Excavación para acopio de tierra o grava.-En un cierto lugar hay que excavar una masa irregular de volumen desconocido, como sucede cuando hay que acopiar material para la construcción de carreteras. Se obtienen datos suficientes para calcular el volumen de la tierra o la grava extraída tomando secciones transversales de la zona a excavar antes y después de sacar la tierra. De ordinario, se toma una alineación a lo largo de esta zona y a un lado de la misma, que sirve de base sobre la cual se clavan estacas a distancias iguales, levantando desde cada una de ellas un perfil transversal. Se nivelan estos perfiles y se anota su longitud a partir de la base. Una vez extraída la tierra, se vuelven a nivelar las secciones transversales. La diferencia entre las secciones iníciales y finales da la superficie del corte en cada una de ellas, con lo cual puede calcularse el volumen.
4.° Desmontes y terraplenes en caminos y canales.-En la construcción de carreteras, vías férreas y canales hay que formar terraplenes y excavar desmontes, y además las secciones transversales han de tener una forma dada de antemano (véanse Secs. 10- 6 a 10-10).
10-4. Perfiles transversales.-Es frecuente el caso de tener que determinar la verdadera forma del terreno en una cierta extensión como
trabajo previo y auxiliar para obras de riego, avenamiento, movimiento de tierras, edificaciones, etc. Para ello se divide la· superficie de que se trate en cuadrados, cuyos vértices se señalan con estacas, y se determinan las cotas de estos vértices y de todos los puntos en que haya un cambio de rasante. La longitud usual de los lados de estos cuadrados es
de 100, 50, 25 ó 10 m. La dirección de las alineaciones se puede obtener con el teodolito o con cinta, y las distancias, con cinta o con estadía; los desniveles se hallan con un equialtímetro o con .un nivel de mano, todo ello dependiente del grado de precisión propuesto. Los datos de un levantamiento de esta clase pueden servir para la confección de un plano con curvas de nivel (véase Seco 24-9).
En la figura 10-3 se representa un modelo de formulario para el registro de datos de campo en esta clase de trabajo. El croquis de la página de la derecha del formulario representa la superficie dividida en cuadrados de 100 m de lado; las alineaciones que van en una dirección están numeradas con guarismos, y las perpendiculares a aquellas van indicadas con letras. Las coordenadas de un punto cualquiera del terreno están dadas por el número y la letra correspondiente a las alineaciones que se cortan en tal punto; es decir, que la anotación A-8 identifica un vértice situado en la intersección de la abscisa que pasa por A con la ordenada que pasa por el 8. Las coordenadas de un punto que no sea vértice de alguno de los cuadrados se designan con la letra y el número anteriores, más el exceso; así, pues, (B + 50)-7 representa un punto situado a 50 m de la abscisa de B y sobre la ordenada del punto 7; E-(5 + 40) indica un punto situado sobre la abscisa de E y a 40 m de la ordenada que pasa por 5. en dirección a la del punto 6.
En terreno accidentado y con arbolado, donde no es posible hacer visuales largas y donde basta con una nivelación poco afinada (con aproximación de unos 15 cm), se gana mucho tiempo operando con nivel de mano y mira de agrimensor (véanse Secs. 25-13 y 25-14).
10-5. Proyectos de caminos en general.-En los levantamientos previos para proyectos de carreteras, vías férreas, así- como para canales, se sigue ordinariamente un itinerario medido con cinta, señalando las estaciones con estacas
medio de una visual de espalda sobre la mira colocada en la estaca ('(mi red. Se va disponiendo la mira sobre todos los puntos en que haya ('Jllllbio de pendiente, y se mide con cinta metálica la distancia entre l'/-ll~)~ puntos y el eje o alineación principal.
1,,0 libreta de campo se rellena conforme al formulario representado (\11 hl figura 10-5. Las cotas de las estaciones se deducen de la nivelación dul pcrfil longitudinal. La línea central, más llena, de la página de la (lCrt.:cha de la libreta representa el itinerario, y las distancias y lecturas d(; mira se anotan a la derecha o a la izquierda de dicha línea, según 1\1 bdo del itinerario en que caigan los puntos correspondientes. Cuando ;t-: Prcciso tomar otra cota del instrumento para asegurar las observacio IICIl dc un perfil transversal se rellena otro renglón para esta segunda ·:,¡tllción; p. ej., la estación 405 ocupa dos renglones en el registro y la 406 ocupa tres. Mediante abreviaturas o signos apropiados se indica 111 situación de los vallados, arroyos, etc.'
En la figura 10-6 se ve el formulario ideado por el profesor Bruce Jameyson para la toma de datos en esta clase de trabajos. Este modelo s muy útil cuando hay que reseñar muchos puntos, como en el replanteo de caminos. Cada punto se reseña en un renglón diferente.
10-6. Secciones transversales definitivas de una carretera o vía ffree'l.-En la figura 10-7 se ve la forma clásica de los desmontes y terraplenes en carreteras y vías férreas. De ordinario, la plataforma o lecho
estaca detalud
FIG. lO-l.-Secciones transversales de caminos.
Trabajo de campo.-Las lecturas de nivel para los perfiles definitivos se hacen casi siempre con equialtímetro, y las distancias a uno y otro lado del eje, para la observación de los puntos del perfil, se miden con cinta metálica. El nivel de mano se puede emplear para todas las observaciones en terreno accidentado o para extender la nivelación a puntos que no pueden observarse desde alguna de las estaciones del equialtímetro. En terrenos montañosos y accidentados se puede usar para nivelar un regIón de nivelación, que es una regla larga con un nivel de aire en cada extremo; las lecturas de mira y las distancias se aproximan al doble centímetro. Las secciones transversales pueden levantarse midiendo las distancias inclinadas y los ángulos verticales (véase Seco 25-13).
Antes de salir al campo el topógrafo prepara la libreta con las cotas de los puntos deducidas de los perfiles, así como la cota de la rasante en cada estación. Ya en el campo, se estaciona el nivel en sitio conveniente, y por medio de una nivelada de espalda a un punto de cota conocida, se determina la C. l. Como comprobación de las nivelaciones de los perfiles se coloca la mira sobre una estaca de poca longitud (clavada a ras del suelo) situada en una estación dada, se hace una lectura de frente y se calcula el desmonte o el relleno, que se anota por detrás de la estaca que señala la estación. Desde esta última se levanta un perfil transversal, del modo indicado en la sección 10-5, y se sitúan las estacas de talud, como se dice en la sección 10-10.
Si el terreno es horizontal en una dirección perpendicular al eje de la obra solo hay que hacer la lectura sobre la estaca central, y la distancia a la estaca de talud se calcula una vez que se haya determinado el relleno o el desmonte sobre el eje; una sección de esta clase se llama sección a nivel. Cuando se hacen lecturas de mira sobre cada estaca de talud, además de la que se hace sobre la estaca central, se dice que la sección es de tres lecturas, y cuando además de estas tres lecturas se hacen otras dos, una a cada lado del eje, a distancia igual a la mitad de la explanación, se dice que la sección es de cinco lecturas. Una sección transversal en que se hacen observaciones sobre puntos situados a intervalos irregulares entre el eje y las estacas de talud se llama sección irregular (véase Seco U-8). Si una sección transversal pasa de desmonte a terraplén se denomina sección de paso de desmonte a terraplén (Fig. 10-8) Y requiere una observación más para determinar la distancia del centro. al punto de paso, es decir al punto en que la explanación corta a la superficie natural del terreno. Es costumbre clavar una estaca en este punto, cuya situación se indica con otra estaca-testigo marcada con la palabra «niveh. En este caso hay que levantar otros perfiles transversales en estaciones adicionales, según se describe en la sección siguiente.
10-7. Registro de campo de perfiles transversales.-En la figura 10-9 se ve un formulario para anotar los datos de campo en el levantamiento de perfiles transversales. La página de la izquierda es la misma que para los perfiles longitudinales, excepto la columna destinada a consignar las cotas de la
explanación. Hay quien prefiere registrar los datos de modo que se lean de abajo hacia arriba, pero en este caso los cálculos no se hacen con la misma facilidad que en el formulario propuesto. En algunas libretas de campo no figuran las columnas N. E., C. I. y N. F., Y las tres primeras columnas están reservadas para las estaciones, las cotas y las pendientes. Con esta disposición queda más espacio para notas aclara!)! ias o para el cálculo de secciones transversales y de cubicación de tierras.
Los datos que aparecen en este formulario corresponden a un trozo del itinerario a que se refiere el registro de campo de la figura 10-2. La nivelación de los perfiles transversales sirve de comprobación para las cotas de las estaciones, determinadas por el perfil longitudinal, con una diferencia tolerable de 3 a 6 cm, que es el error probable de cierre. Las notas que figuran en la parte de la derecha del formulario corresponden a la estación anotada en el mismo renglón, a la izquierda, y se refieren a un trozo de itinerario que pasa de desmonte a terraplén. y donde la pendiente es tal que hay que levantar perfiles de tres visuales. Se toman secciones transversales a 608 + 25 donde el borde izquierdo de la explanación pasa de desmonte a terraplén; a 608 + 90 donde el eje
pasa de desmonte a relleno, y a 609 + 20 donde el borde de la derecha de la explanación pasa igualmente de excavación a relleno. Las secciones a 608 + 90 y a 609 son secciones de paso. En este formulario se ve que se anotan las alturas o profundidades de los rellenos o excavaciones, y no las cotas, y que tanto dichas alturas o profundidades como la distancia para cada punto se expresan en forma de
FIG. lO-ll.-Sección de carretera en desmonte.
Se determina previamente la cota del instrumento (c. l.) y se supone conocida la cota de la explanación para la estación de que se trata. El operador calcula la diferencia entre las C. J. y la cota de la explanación; esta diferencia se conoce abreviadamente con el nombre de mira en explanación, es decir, que C. J. - cota explano = mira en explano Se coloca la mira en algún punto donde haya que excavar, y a esta lectura se le llama mira en terreno. La diferencia entre mira en terreno y mira en explanación es igual a la profundidad del corte o excavación.
De ordinario, una vez hecha la lectura de mira en explanación, se calcula mentalmente la profundidad del corte en un punto dado.
En la figura 10-12 se representa una sección transversal en terraplén. Se ve claramente que si la C. 1. está por encima de la explanación (como en A), el relleno será igual a la diferencia entre la lectura de mira sobre el terreno y la hecha sobre mira en la explanación; si la C. 1. está por debajo de la explanación (como en B), el relleno será igual a la suma de ambas lecturas.
10-10. Situación de las estacas de talud.-El método de colocación de estas estacas requiere alguna aclaración adicional.
Llamando w a la anchura de la explanación; d a la distancia medida entre el eje y ]a estaca de ta]ud; s a la pendiente de este talud (o sea a la relación entre la distancia horizontal y la elevación o depresión), y h a la altura o la profundidad del relleno o de la excavación, se verifica, como se ve en la figura 10-13, cuando la estaca de talud está en el punto debido c;
EJEMPLO. Este ejemplo se refiere a. un desmonte, y comprende las operaciones necesarias para situar exactamente una estaca de talud sobre el terreno;
el mismo método se sigue si se trata de un terraplén. Sea W. = 6 m; la pendiente del talud, 1,5jl; la lectura de mira en la explanación, 4,56 m. Supongamos que hay que clavar una estaca de talud a la izquierda del eje de la obra, como en la figura 10-13. En un primer ensayo se coloca la mira en A; mira en terreno = 1, m:
h 1 = mira en explano - mira en terreno = 4,56 - 1,98 = 2,58.
La distancia calculada en función de este valor de hl es, según la fórmula [1], (wj2) + h¡s = 3,00 + 2,58 X 1,5 = 6,87 m. La medición desde la estaca central da un valor dI = 5,46 m, luego el portamira debe aléjarse.
En un segundo intento se coloca la mira en B; mira en terreno = 2,64; h2 = mira en explan. - mira en terreno = 4,56 - 2,64 = 1,92 m; (wj2) + h2S = = 3,00 + 2,88 = 5,88. La distancia d2, medida directamente, resulta ser de 6,75 m; la mira se ha colocado demasiado lejos.
Supongamos que en un tanteo se coloca la mira en C; mira en terreno = 2,34 m; h = 4,56 - 2,34 = 2,22; (wj2) + hs = 3,00 + 2,22 x 1,5 = 6,33 m. La distancia d medida directamente es también de 6,33 m, es decir, que la mira está exactamente en el punto en que ha de ir la ·estaca de talud. En la libreta de campo se anotan las coordenadas de este modo: e 2,22j6,33; pero no se registran las observaciones hechas en los ensayos.
Las estacas de talud se colocan en el perfil transversal, inclinadas hacia afuera en los terraplenes y hacia adentro en los desmontes; se pinta en la parte posterior de la estaca el número de la estación; en la cara delantera (la más próxima a la obra) se anota el corte o el relleno en ese punto, y a veces su distancia al eje. Las cifras se leen de abajo arriba.
En los desmontes, algunos operadores disponen las estacas de talud a una distancia fija; p. ej., a 60 cm más allá del borde del declive. La altura que se indica en la estaca es la del terreno en el punto correspondiente.
cada 15 m, en curva, verticales. En calles y carreteras (pavimentación y alcantarillado) fli\ toman rasantes cada 15 m si la pendiente es uniforme, y cada 7 l1l (y hasta cada 3 m) si el perfil longitudinal es una curva vertical.
10-12. Visual forzada.-A menos que la rasante sea horizontal, el método deM" cnto en la sección anterior requiere el cálculo de la lectura de mira para C~c111 estación que haya de estar en la rasante; de análoga manera, si hay que determinada la rasante en puntos intermedios cuya situación no se haya fijado de antemano, debe medirse la distancia de cada nuevo punto a la estación anterior antes de alcular la lectura de la rasante.
Cuando la alineación es tangente (línea recta en el dibujo del perfil) y la pen- Uiente es constante en una longitud considerable, el trabajo de fijar estacas en la I asante se facilita grandemente por el llamado método de la visual forzada, que vnmos a describir a continuación. Sean A y B dos estaciones alejadas entre sí (p. ej., de 250 a 300 m) y situadas sobre la tangente, entre las cuales hay que situar
stacas en pendiente uniforme. Se levanta un itinerario de nivelación compuesta (lile induya los puntos dados A y B, Y se clavan en estos últimos estacas en la /'nsonte, o a cierta altura por encima o por debajo de la misma. Se estaciona el ¡,Ivel cerca de B con un par de tornillos nivelantes en dirección de A y se hace una lectllra sobre la mira en B, mirando por el objetivo del anteojo. El portamira lleva In mira al punto A y el observador mueve el anteojo en un plano vertical (por nledio de los tornillos si se trata de un equialtímetro, o con el tornillo de coin-
Ideneia del círculo vertical si ~e emplea un teodolito) hasta que el hilo horizontal Ne ve sobre la mira en la lectura hecha antes sobre la mira en B, Despreciando el ;(ecto de la curvatura terrestre y de la refracción atmosférica (que no tiene Importancia ·alguna para las distancias supuestas), la· segunda visual está a distancia
onst·ante de la rasante uniforme para todos los puntos comprendidos entre A y B.
De aquí se deduce que en cualquier punto intermedio se fija la rasante observando la misma lectura de mira, no moviendo, como es natural, el instrumento mientras se están situando las estacas. Como comprobación conviene mirar nuevamente a la mira en A antes de levantar el nivel, para descubrir cualquier desviación de la visual.
uando ]a rasante es casi horizontal, como ocurre en las obras de avenamiento, se puede simplificar el método anterior. La sensibilidad del nivel se determina del modo indicado en el problema de campo núm. 2 del capítulo VIII y se calcula el 1I¡'lInero de divisiones que sobre el.nivel tubular corresponde a las distintas pen- dicntes. Por medio de la burbuja se puede inclinar la visual hasta darle la misma ¡)()lIdicllte que la rasante.
~'Iislltlelro,-Cuando hay que fijar pendientes con un nivel provisto de tornillo JilNlmél rico (véase Seco 2-20) las cotas se arrastran por nivelación directa del 'IIndo descrito en la sección anterior, con el instrumento estacionado siempre cerca du IIna estación del itinerario. Una vez determinada la C. 'l. para cierta estación, NIl pone a cero el tornillo clisimétrico, después de nivelado el instrumento. Se dispo/le In visual paralela a la rasante haciendo girar el tornillo clisimétrico hasta marcar In pendiente propuesta; es decir, que si una vuelta de tambor inclina la visual en un I % y si el tambor está dividido en 100 partes, para fijar una pendiente del 1,2 % hay que dar ¡¡l tornillo una vuelta completa más 20 divisiones. Puesto que la visual es paralela a la rasante, la lectura de mira en la estación donde está situado el nivel
s tnmbién la lectura para otra estación cualquiera en la dirección en que el nnteojo esté orientado. Para puntos situados delante del nivel, el ciisímetro debe ponerse marcando una lectura igual y opuesta a la de los puntos situados detrás del instrumento.
10-13. Determinación de curvas de nivel.-Se llama curva de nivel a una línea imaginaría que une puntos de igual cota sobre parte de la superficie terrestre (véase Seco 24-6). En los levantamientos topográficos se emplea el equialtímetro, con otros instrumentos, para situar directamente curvas de nivel. También se hacen nivelaciones para situar curvas de nivel en los levantamientos de embalses, pantanos, etc. El procedimiento general que se sigue en esta clase de trabajos consiste en nivelar itinerarios con puntos de cambio y en haIlar, por ensayos sucesivos, una serie de puntos del terreno que tengan la cota requerida.
La línea de que se trata (p. ej., la de máximas avenidas o la orilIa de un embalse) se marca con estacas colocadas a grandes intervalos si la línea es recta o muy cerca unas de otras si es quebrada o curva. A lo largo de esta línea se levanta un itinerario de nivelación. En cada estación se calcula la lectura de mira debida (diferencia entre la cota del instrumento y la de la línea de que se trate). El portamira recorre la línea propuesta haciendo lecturas en los puntos críticos o singulares. En cada punto sube o baja por el declive, siguiendo las indicaciones del operador, hasta que la lectura de mira es la correspondiente a la curva de nivel respectiva, y entonces clava una estaca en el punto así determinado. En los levantamientos topográficos, el método es, en esencia, el mismo, salvo que no se clavan estacas (véase Seco 25-15).
10-14. Determinación de curvas de igual rasante.-A la vez que se hacen los levantamientos previos para el trazado de carreteras y canales en terreno montañoso, donde generalmente va la obra a media ladera, es frecuente hacer itinerarios de nivelación para fijar puntos a lo largo de u,na línea de igual rasante. La línea irregular que une tales puntos se llama ·curva de igual rasante. Si se dispone de un equiaItímetro (o de un teodolito) con tornillo clisimétrico, el método más sencillo a seguir es el mismo que para las curvas de nivel (véase Seco 10-13),
la longitud del arco comprende un número par de estaciones, tratándose de vías férreas, o un número entero de metros, en la construcción de carreteras.
La estación y los puntos destacados en el vértice, o punto de intersección de los dos tramos de desigual pendiente, así como la cota de las estaciones a lo largo de las líneas de pendiente uniforme, se determinan partiendo del perfil longitudinal. La longitud del arco de enlace se calcula o se estima en un valor conveniente dentro de las normas vigentes; hay que calcular las cotas de las estaciones y de los puntos inicial y final de la curva. También se calculan las desviaciones de la curva respecto a la pendiente uniforme, y así se determinan las cotas de las rasantes en las estaciones a lo largo de la curva. En el campo se marca la curva de redondeamiento clavando estacas en tales estaciones, exactamente como se hace en las alineaciones de pendiente uniforme.
A continuación puede verse un método para el cálculo de un are vertical de enlace: se calcula la cota del punto medio de la cuerda A e, que une los puntos inicial y final de la curva (Fig. 10-14). Como esta curva es un arco de parábola, la cota de su punto medio es la media de la cota del vértice B y de la cota del punto' medio D de la cuerda. S calculan las distancias entre los puntos de las tangentes y la QUrvo fundándÓse en la propiedad conocida de la parábola, que dice que las ordenadas de sus puntos varían como el cuadrado de la distancia al punto de tangencia.
EJEMPLO. Un tramo de vía férrea de un + 0,8 % de pendiente empalma con otro de un -0,4 % en la estación 90 + 00, cuya cota es de 100m, represéntada por el punto B en la figura 10-14. El máximo tolerable de cambio de pendiente por estación es de 0,2. Se trata de determinar una curva vertical de enlace entre estas dos pendientes.
La diferencia algebraica de las pendientes es +0,8-(-0,4) = 1,2 %. La longitud mínima de la curva será, por consiguiente, 1,2/0,2 = 6 estaciones, o 600 m. La longitud de cada una de las tangentes AB = BC = 600/2 = 300 m. La estación A es, pues, la 90 - 3 = 87, y la .estación C será 90+ 3 = 93. La cota. de A es 100,00 - 3 X 0,80 = 97,60 m, y la de C, 100,00 - 3 X 0,40 = 98,80 m.
La cota del punto medio D de la cuerda AC es la media aritmética de las cotll~ de A y de C, o sea,
t(97,60 + 98,80) = 98,20 m.
El punto medio E de la curva está situado en el punto medio de la distancia BD, y su cota será.
1(98,20+100,00) = 99,10 m.
La distancia del vértice B del ángulo al punto E de la curva es
100,00 - 99,10 = 0,90 m.
Las separaciones de las tangentes, en las estaciones 89 y 91, son 2 2
-- X 0,90 = 0,40 m, 3 2
y en las estaciones 88 y 92 estas distancias son 12
-- X 0,90 = 0,10 m. 3 2
Una buena comprobación se tiene calculando las «diferencias segundas. entre las cotas de los puntos sucesivos de la curva, que en una parábola deben ser constantes. Para el ejemplo que estamos considerando, el cuadro siguiente pone de manifiesto los cálculos necesarios:
Estaciones Cota en^ ID^ Diferencias,^ Difer. segundas, Est. de espalda Est. de frente en ID en ID 87-88 97,60 98,30 +0,7Q
88-89 I^ 98,30 98,80 +0,50 0,
89-90 98,80 99,10 +0,30. 0, 90-91 99,10 99,20 +0,10 0, 91-92 99,20 99,10 -0,10 0, (1, 92-93 99,10 98,80 -0,
La variación de pendiente 2a es conocida o se puede calcular fácilmente con los datos de la curva.
La separación de la tangente en el vértice V de la curva se halla resolviendo en y la ecuación general para dicho punto. La cota del vértice se calcula restando la separación de la tangente de la cota del punto considerado en la misma.
En el ejemplo de la sección 10-15 el cambio de pendiente por estación es 2ci = 0,20; sustituyendo este valor en la ecuación [4], resulta:
G 0,.
x = ~ = 0,20 = 2,00 estacIOnes.
